《2022年一元二次不等式的解集》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年一元二次不等式的解集（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载第十一讲 - 一元二次不等式的解集知识要点1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。不等式的 基本性质 有：（1）对称性： abbb，bc，则 ac；（3）可加性： aba+cb+c；（4）可乘性： ab，当 c0时，acbc；当 c0时， acb，cd，则 a+cb+d；（2）异向相减：ba，dcdbca. （3）正数同向相乘：若ab0，cd0，则 acbd。（4）乘方法则：若 ab0，nN+，则nnba；（5）开方法则：若 ab0，nN+，则nnba；（6）倒数法则：若 ab0，ab，则b1a1。例 1、若 abb2a3b31，其中正确的有（）A1 个B2 个C3 个D
2、4 个2、一元二次不等式的解法：解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。求 一 般 的 一 元 二 次 不 等 式20a xbxc或20axbxc(0)a的 解 集 ， 要 结 合20a xb xc的根及二次函数2yaxbxc图象确定解集对 于 一 元 二 次 方 程20(0)axbxca， 设24ba c， 它 的 解 按 照000，可分为三种情况 相应地，二次函数2(0)yaxbxc a的图象与x轴的位置关系也分为三种情况因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式20ax
3、bxc(0)a的解集，列表如下：a1b1ba名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载分析求算术根，被开方数必须是非负数解据题意有， x2 x60，即(x3)(x 2)0，解在“两根之外” ，所以 x3 或 x 2例 3 解下列不等式(1)(x 1)(3x)52x (2)x(x 11)3(x1)2(3)(2x 1)(x3)3(x22) 分析将不等式适当化简变为ax2bxc0( 0)形式，
4、然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)答(1)x|x 2 或 x4 (4)R (5)R 说明： 不能使用解公式的时候要先变形成标准形式例 4已知集合Ax|x25x40 与 Bx|x22axa2例有意义，则的取值范围是2 xx2x6(4)3x231325113122xxxxx x( )()(2)x|1x 32(3)，若，求 的范围0BAa名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下
5、载分析先确定 A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关解易得 Ax|1 x4 设 yx22axa2(*) 4a24(a2)0，解得 1a 2说明： 二次函数问题可以借助它的图像求解例 5、行驶中的汽车， 在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离，在某种路面上，某种型号的汽车的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米 /小时）满足下列关系：y（n 为常数，且nN） ，我们做过两次实验，有关数据如图所示其中（1）求出 n 的值（2）要使刹车距离不超过18.4 米，则行驶的最大速度应为多少? 系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式BAa(1)BBA0若，则显然，
6、由 得(2)B(*)116若，则抛物线的图像必须具有图特征：应有 从而x|xxx x|1x41212a12042a4a201412a22 解得 aa22187综上所述得的范围为 a1a187100nx1002x15137521yy名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解： （1）由图像知y1n 4，y2n，依题意，即，n， nN， n3（2）由 y18.4 ，解得 0 x80 ，汽车
7、行驶的最大速度为80 千米 /小时自主探究在解关于含参数的一元二次不等式时，往往都要对参数进行分类讨论。分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点。下面举例说明解题时如何做到分类“不重不漏”。【题型一】对根的大小讨论例 6解关于 x 的不等式x2-2x+1-a2 0.分析： 若不等式对应方程的根12,x x中含有参数， 则须按12,x x的大小来分类， 即分1x2x三种情况。【题型二】对首项系数a 的讨论例 7解关于 x 的不等式 (x2)(ax2)0分析不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论解1 当 a0 时，原不等式化为x20 其解集为 x|x 2；10040n4
8、0016005210070n4004900107449154491071374525nn1455141521552nn2514551003x4002x2a02(x2)(x)0 当 时，由于，原不等式化为 ，其解集为22aax|2ax2 ；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载4 当 a1 时，原不等式化为(x2)2 0，其解集是 x|x 2；从而可以写出不等式的解集为：a0 时， x
9、|x 2 ；a1 时， x|x 2；说明： 讨论时分类要合理，不添不漏【题型三】与一元二次不等式解法有关的逆向问题例 8 若 ax2bx10 的解集为 x|1x2，则 a_ ，b_分析根据一元二次不等式的解公式可知，1 和 2 是方程 ax2bx10 的两个根，考虑韦达定理解根据题意， 1，2 应为方程ax2bx10 的两根，则由韦达定理知例 9若不等式 ax2bxc0 的解集为 x| x(0 )，求 cx2bxa0 的解集分析由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系考虑使用韦达定理：解法一由解集的特点可
10、知a0，根据韦达定理知：30a12(x2)(x)0 当 时，因，原不等式化为 ，其解集为22aax|x2x或 ；2a5a12(x2)(x)0 当 时，由于，原不等式化为 ，其解集是22aax|xx2或 2aa0 x|2ax2 时， ；0a1x|x2x 时，或 ；2aa1x|xx2 时，或 2abaa()()1211122得ab1212，baca名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载a
11、0， b0，c0解法二cx2bxa0 是 ax2bxa0 的倒数方程且 ax2bxc 0 解为 x，说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维课堂精练一、选择题1.不等式 (x5)(32x)6 的解集是() A. x|x 1 或 x92B. x|1x92 C.x|x92或 x1 D. x|92x1 解析： 因为不等式 (x5)(32x)6 可化为 2x27x90，而 2x27x9 0的两根为x192，x21，所以函数 f(x)2x27x9 与 x 轴的交点为 (92，0)，(1,0)，又函数 f(x)2x27x9 的图象开口向上，所以不等式(x5) (32x)6 的解集是 x|92x1. 答案：
12、D 2.b24ac0 是一元二次不等式ax2bxc0 的解集是R 的() A.充分条件，但不是必要条件B.必要条件，但不是充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析： 若一元二次不等式ax2 bxc0 的解集为R，则有 a0 且 b24ac0；若 b24ac 0，即 ， baca()00又，baacbc由，bccaac(1)111对 化为 ，cxbxa0 xx022bcac由得，是 两个根且 ，1111xx002bcac即 的解集为或 xx0cxbxa0 x|xx22bcac11 的解集为或 cxbxa0 x|xx 211名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - -
13、 - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载ax2 bxc0 的解集可能是R(当 a0 时)，也可能是 ?(当 a0 时). 答案： B 3.设 Ax|x22x30，Bx|x2axb0 ，若 AB R，A B(3,4，则 ab 等于() A.7 B. 1 C.1 D.7 解析： A( ， 1) (3， ) ， A BR，A B(3,4，则 B1,4， a (14) 3，b 1 4 4， ab 7. 答案： D 4.若 ax2xa0 的解集为 ?，则实数a
14、 取值范围() A.a12B.a12C.12a12D.a12或 a12解析： ax2 xa0 的解集为 ?，01,.02aa答案： A 5.在 R 上定义运算：x*yx(1y).若不等式 (xa)*( xa)1 对任意实数x恒成立，则 () A.1a1 B.0a2 C.12a32D.32a12解析：依题设 xax2a21 恒成立，即(x12)2(a34a2)0 恒成立 ? a2 a340 恒成立 ? 12a32. 答案： C 二、填空题6.若关于 x 的方程 x2axa210 有一正根和一负根，则a 的取值范围为. 解析： 令 f(x) x2 axa21，二次函数开口向上，若方程有一正一负根，
15、则只需f(0)0，即 a210， 1a1. 答案： 1a1 7.当 a0 时不等式组0101xaxa的解集为. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解析： 由11axaaxa画轴讨论便得 . 答案： 当 a12时为 ?；当 a12时为 12；当 0a12时为 a,1a 8.已知关于x 的不等式ax1x10 的解集是 ( ， 1)(12， ) ，则 a. 解析：ax 1x10? (a
16、x1)(x1)0，根据解集的结构可知，a0 且1a12， a 2. 答案： 2. 三、解答题9.解下列不等式：(1)x22x230；(2)9x26x10. 解： (1)两边都乘以3，得 3x26x20，因为 30，且方程3x26x 20 的解是x1133，x2133，所以原不等式的解集是x|133x 133. (2)法一 ：不等式 9x26x10，其相应方程9x2 6x1 0， (6)24 90，上述方程有两个相等实根x1 x213，结合二次函数y9x26x1 的图象知，原不等式的解集为R. 法二 ：9x26x10? (3x1)20， x R，不等式的解集为R. 10.某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车车速x km/h 有如下关系：s120 x1180 x2，在一次交通事故中， 测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到0.01 km/h) 解： 设这辆汽车刹车前的车速为x km/h，根据题意，有120 x1180 x239.5，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精
