《2022年一元二次方程韦达定理2讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年一元二次方程韦达定理2讲义（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载特尔教育一对一个性化辅导讲义学科：数学任课教师：徐老师授课时间： 2015 年月日(星期 ) 姓名年级性 别总课时 _ 第_ 课教学目标通过根与系数的关系的发现与推导韦达定理，进一步培养学生分析、 观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；难点重点韦达定理与推论是重点。难点是如何灵活应用韦达定理与推论。教学过程一、知识回顾1复习提问（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？2写出问题（ 2）的正确答案，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c0，如果方程有两个不相等的实数根，则
2、0；如果方程有两个相等的实数根，则 =0；如果方程没有实数根，则0 ”即根据方程的根的情况，可以决定值的符号，的符号，可以确定待定的字母的取值范围不解一元二次方程，判断根的情况。不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）2x23x-4 0；（2）16y2924y；（3）5（x21）-7x 0名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载已知ax2+bx+c=0（a 0）且 b2-4ac 0，试推
3、导它的两个根x1=242bbaca，x2=242bbaca分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c? 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去解：移项，得： ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得 x2+bax=-ca配方，得： x2+bax+（2ba）2=-ca+（2ba）2 即（x+2ba）2=2244bacab2-4ac 0 且 4a20 2244baca0 直接开平方，得： x+2ba=242baca即 x=242bbacax1=242bbaca，x2=242bbaca由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c 而定，
4、因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当 b-4ac 0时，? 将 a、b、c 代入式子 x=242bbaca就得到方程的根（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根二、新课讲解名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载如果这个一元二次方程是一般形式ax2+b
5、x+c=0（a0） ，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题问题 ： 已知 ax2+bx+c=0 （a0） 且 b2-4ac 0， 试推导它的两个根 x1=242bbaca，x2=242bbaca.042acb由此得出，一元二次方程的根与系数的关系（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）韦达定理设方程 ax2bxc0 (a0)的两根为 x11, x2则 x11x2ab，x11x2ac，这个方程的根与系数a,b,c 的关系叫做根与系数的关系定理，也叫韦达定理。1. 若两个数 x11，x2满足 x11x2ab，x11x2ac，则 x11，x2是方程 ax2bxc0 (
6、a0)的两个根，这个定理称为韦达定理的逆定理。2. x11， x2是方程 ax2bxc0 (a0)的两个实数根，则必有b24ac0,反之亦成立。若12,xx是方程2220070 xx的两个根，试求下列各式的值：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载(1) 2212xx； (2) 1211xx； (3) 12(5)(5)xx；(4) 12|xx【典型例题】例 1：已知 x11，x2是方程
7、 x23x10 的两个根，求 x21x2 x11x22的值。解：x1, 32121xxx原式 x32121xxx例 2：如果 a，b 是方程 x2x10 的两个实数根， 求代数式 a3a2bab2b3的值。解：ab1 , ab 1 . 又 a32222abbab原式 a32222babababba例 3. 若实数 x，y 满足（x1）233(x 1), 3(y1)3(y 1)2，求xyyx的值。解：（x1）03132x, （y1）03132y. 且021若 xy. 则 x,y 为方程 t0152t的两实根xy5，xy1 原式232222xyxyyxxyyx若 xy ，则原式 2 . 原式 2
8、或 23 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载例 4：验证 x1131，x2231 为方程 x233x530 的实数根。解：若是，则 x35,331121yxx以 x2, 1为根的一元二次方程为x035332x显然 x2, 1为给定方程的两实根。例 5：请写出一个两个实数根之和为1 的一个一元二次方程。解：设 x121x,x为常数kkx21, 则由韦达定理之逆，得 x02kx但 x2
9、1x为方程两实根 . 041k. k41比如设 x2121x. 则方程为 x0412x等等。例 6：已知 2 x25x30，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根是原方程两根的倒数。解：设所求方程两根为y1、y2，则22111,1xyxy, y21212121211,xxyyxxxxy但 x23,252121xxx. y32,352121yyy所求的方程为 y032352y. 即 3y0252y例 7：设 x1，x2为方程（ xa）(x b)cx 的实根，求证：关于 x 的方程（ xx11）（xx2）cx0 的两实根为 a，b 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -
10、- - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载解： （xa）（xb）cx 02abxcbaxcbaxx21abxx212121xxabcxxba021212xxxcxxx021212cxxxxxxx命题得证【巩固练习】1. 若 x23x10 的两根是 x1，x2，则11x21x_ 2. 已知 x1，x2是方程 3 x214x 的两根，不解方程，则212xx221xx_ 3. 设 x123是方程 x24x10 的一个实根，则另一个实根x2_ 4. 方程
11、3 x22x20 的两根差的平方为（）A928B328C 94D3725. 以方程 3 x22x60 的各根的负倒数为根的一个一元二次方程是（）A6 x22x10 B6 x22x30 C6 x22x10 D6 x22x30 6. 已知方程 2 x25ax3b0 的两根之比为2：3，方程 x22bx8a0 的两名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载根相等（ ab0），求证：当m为任意实数
12、时，方程ax2（bm 1）x（m 1）0 恒有实数根。课堂小结设方程 ax2bxc0 (a0) 的两根为 x11, x2则 x11x2ab，x11x2ac，这个方程的根与系数a,b,c 的关系叫做根与系数的关系定理，也叫韦达定理。1. 若两个数 x11，x2满足 x11x2ab，x11x2ac，则 x11，x2是方程 ax2bxc0 (a0)的两个根，这个定理称为韦达定理的逆定理。2. x11， x2是方程 ax2bxc0 (a0)的两个实数根，则必有b24ac0,反之亦成立。课后作业1. 巳知 a、 b 是一元二次方程 x22x1=0的两个实数根， 则代数式（ab） （a+b2）+ab 的值
13、等于 _2. 已知关于 x 的方程 x2+mx 6=0的一个根为 2，则 m= ，另一个根是3. 若 x1，x2 是方程 x2+x1=0 的两个根，则 x12+x22= 4. 已知一元二次方程y23y+1=0的两个实数根分别为y1、y2，则（ y11） （y21）的值为5. 已知关于 x 的方程 x2+（2k+1）x+k22=0 的两实根的平方和等于11，则 k 的值为6. 若 x1、x2 是方程 x22x5=0的两根，则 x12+x1x2+x22= 7. 若关于 x 的一元二次方程x24xk30 的两个实数根为 x1、 x2，且满足 x13x2，试求出方程的两个实数根及k 的值名师归纳总结
14、精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载8. 关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是 x1和 x2（1）求 k 的取值范围；（2）如果 x1+x2x1x21 且 k 为整数，求 k 的值9. 阅读材料：如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根，那么，12bxxa，12cxxa这就是著名的韦达定理现在我们利用韦达定理解决问题：已知 m与 n 是方程 2x26x+3=0
15、的两根（1）填空： m+n= ，m ?n= ；（2）计算nm11的值10. 已知关于 x 的方程 x22（k1）x+k2=0有两个实数根 x1，x2（1）求 k 的取值范围；（2）若| x1+x2|= x1x21，求 k 的值11. 已知： x1、x2是一元二次方程 x24x+1的两个实数根名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载求： （x1+x2）2（2111xx）的值课堂检测听课及知识掌握情况反馈教学需 : 加快 ; 保持 ; 放慢; 增加内容课后作业签字名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -
