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1、学习必备欢迎下载一元二次方程知识盘点1方程中只含有个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程。通常可写成如下的一般形式( a、b、c、为常数， a )。2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的的平方，而另一边是一个时，可以根据的意义，通过开平方法求出这个方程的解。（2）配方法：用配方法解一元二次方程02aocbxax的一般步骤是：化二次项系数为，即方程两边同时除以二次项系数；移项，使方程左边为项和项，右边为项；配方，即方程两边都加上的平方；化原方程为2()xmn的形式，如果 n是非负数，即0n，就可以用法求出方程的解。如果 n
2、0，则原方程。（3）公式法 : 方程20(0)axbxca，当24bac_ 0时，x = _ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：将方程的右边化为；将方程的左边化成两个的乘积；令每个因式都等于，得到两个方程；解这两个方程，它们的解就是原方程的解。3.一元二次方程的根的判别式. （1）acb420一元二次方程002acbxax有两个的实数根 , 即2,1xx（2）acb42=0一元二次方程有两个的实数根，即21xx, （3）acb420一元二次方程002acbxax实数根。4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20axbxc(0)a的两根为12,x x，则12xx
3、，12x x提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。考点呈现考点一一元二次方程的基本概念及解法例 1、（2011山东济宁）已知关于x 的方程 x 2bxa0 有一个根是 a(a0) ，则ab 的
4、值为AB0 C1 D2 【分析】 ：依据方程根的定义，把已知根代入原方程从而获得一个关a 方程，利用因式分解法即可求得a的值【解答】 ：把 x= -a 代入原方程得：20aaba(1 )0a aba0, a-b+1=0 1ab【点评】 ：本题是一元二次方程根的定义，解法，及整体思想的综合应用。中考题对基础知识的考查都具有一定的综合性，基础扎实才可灵活应用。例 2、 （2011安徽）一元二次方程x（x2）=2x 的根是（）A1 B2 C1 和 2 D1 和 2 【分析】 ：移项后，用因式分解法解方程。【解答】 ： x（x2）+x2=0 （x2）(x+1)=0 x2=0 或 x+1=0 x1=2
5、x2= -1 答案 D 【点评】 ：解一元一次方程时， 要注意根据方程的特点， 选择适当的方法求解。一般地，若方程左边是一个非负数或完全平方式，就采用直接开平方法；若能分解因式就用因式分解法；当两种方法都行不通时，可采用公式法或配方法。考点二一元二次方程根的判别式例 3、 （2011山东潍坊）关于 x 的方程2210 xkxk的根的情况描述正确的是( )Ak 为任何实数方程都没有实数根B，k 为任何实数方程都有两个不相等的实数根Ck为任何实数方程都有两个相等的实数根D根据 k 的取值不同方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种【分析】本题需先求出方程的根的判别式
6、的值，通过配方，将结果与0 作比较，从而得出答案【解答】关于 x 的方程2210 xkxk中名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载=（2k）2-4 （k-1）=4k2-4k+4 =（2k-1）2+30 k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根故选 B【点评】本题主要考查了根的判别式、配方法，在解题时要能对根的判别式进行整理变形是本题的关键例 4、 （2011重庆江津区）已知关于x
7、的一元二次方程（ al）x22x+l0 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A、a2 B、a2 C、a2 且 alD、a2 【分析】利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式确定a的取值范围【解答】 ：44（a1）84a0 a2又 a10a2 且 a1 故选 C【点评】 ：只有一元二次方程才具有根的判别式，因此在逆用判别式时，一定要保证二次项系数不等于0。对于根的判别式的考查一般有两个命题角度：判别一元二次方程根的情况；求一元二次方程字母系数的取值范围。考点三一元二次方程根与系数的关系例 5、 （2011四川南充）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0 的实数解是 x1和 x2。（1
8、）求 k 的取值范围；（2）如果 x1+x2x1x21 且 k 为整数，求 k 的值。【分析】 (1)一元二次方程有两个实根的条件是0，二次项系数不等于零(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得x1x22，x1x2k1. 【解答】 ：(1)方程有实数根，224(k1)0，k0，所以 k 的取值范围是 k0.(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得 x1x22，x1x2k1. x1x2x1x22(k1)由已知，得 2(k1)1，解得 k2. 又由(1)得 k0 ，2k0. k 为整数，k 的值为 1 和 0. 【点评】 ：此题是对根与系数的关系、根的判别式、一元一次不等式等基础知识的综合考查，一
9、元二次方程根与系数的关系常用于求有关两根的代数式的值和求方程中未知系数的值，体现了整体、转化等数学思想，用根与系数的关系求字母的值时，不要忽视0 的前提条件。【对应训练】 （2011四川乐山）已知关于x的方程222(1)740 xaxaa的两根为1x、2x，且满足12123320 x xxx.求242(1)4aaa的值。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载考点四列一元二次方程解应用
10、题例 6（2011? 日照）为落实国务院房地产调控政策，使“ 居者有其屋 ” ，某市加快了廉租房的建设力度2010年市政府共投资2 亿元人民币建设了廉租房8 万平方米，预计到 2012 年底三年共累计投资9.5 亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，求到 2012年底共建设了多少万平方米廉租房【分析】 ： （1）设每年市政府投资的增长率为x根据到 2012年底三年共累计投资9.5 亿元人民币建设廉租房，列方程求解；（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资 单位面积所需钱数可得结果【解答】 ：解： （1）设每年市政
11、府投资的增长率为x，根据题意，得： 2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，整理，得： x2+3x1.75=0，解之，得：275.1493xx1=0.5，x2=3.5（舍去）答：每年市政府投资的增长率为50% （2）到 2012 年底共建廉租房面积 =9.5（万平方米）【点评】 ：增（降）率问题应用题是列一元二次方程解应用题中的最基本题型，此类问题关键是掌握增（降）率问题中的一般形式为a（1+x）n=b，其中 n 为增(降)次数， x 是增（降）率 a为基础量， b 为增降后的目标量。列一元二次方程解决实际问题时，要认真审题，依据题中信息，找出等量关系。特别需要注意的是求出方程两根后，一定要
12、检验是否符合题意。【对应训练】 （2011 广安）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860 元的均价开盘销售(1)求平均每次下调的百分率；(2)某人准备以开盘价均价购买一套100 平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：打 9.8 折销售；不打折，一次性送装修费每平方米80 元，试问哪种方案更优惠？误区点拨一、忽视等式的基本性质，造成失根例1、解方程：2 (1)3(1)x xx. 错解：两边同除以(1)x，得23,1.5xx名师归纳总结 精品学习资
13、料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载剖析：方程两边同除以一个式子时忽略了式子可能为0. 正解：移项，得2 (1)3(1)0 x xx，所以(23)(1)0 xx，所以121.5,1xx. 二、忽视二次项系数 a0 ，导致字母系数取值范围扩大例2、如果关于 x的一元二次方程22(2)340mxxm有一个解是 0，求m的值错解：将 x0代入方程中，得22(2) 03 040mm，24m，2m. 剖析：由一元二
14、次方程的定义知：20m，而上述解题过程恰恰忽略了这一点，正解: 将0 x代入方程中，得22(2) 03 040,2mmm24,2mm. 又因为20m，所以2m. 三、忽视一元二次方程有实根的条件0，导致错解例3、已知：1x、2x是方程22(2)350 xkxkk的两实根，求2212xx的最大值 . 错解：由根与系数的关系得：122xxk，21235x xkk，2221212122222()2(2)2(35)106(5)19xxxxx xkkkkkk所以当5k时，2212xx有最大值 19. 剖析：当5k时，原方程变为27150 xx，此时 0，方程无实根！错因是忽略了 0这一重要前提，由于方程
15、有两实根，故0，正解：由根与系数的关系得：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载122xxk，21235x xkk，2221212122222()2(2)2(35)106(5)19xxxxx xkkkkkk又因为方程有实数根， 0，所以22(2)4(35)0kkk解得443k. 所以当4k时，2212xx有最大值 18. 四、忽略挖掘题目中的隐含条件导致错解例4、若2222(1)(3
16、)5xyxy,则22xy=_. 错解：22 2222222()2()80(4)(2)0 xyxyxyxy解得22xy=4或22xy=2 剖析：忽视了22xy的非负性，所以应舍去22xy=-2 正解：22xy=4. 五、忽视 “ 方程有实根 ” 的含义，导致字母系数取值范围缩小例5、.已知关于 x的方程22(1)10kxkxk，当k为何值时，方程有实数根？错解：因为方程有实数根，所以0即22(1)4 (1)0kk k，解得13k，又因为0k，所以13k且0k. 剖析：“方程有实根”在此题中应理解为：方程有一个实数根或有两个实数根，故此题应分一元一次方程与一元二次方程两种情况讨论: （1）当k0时，原方程变为一元一次方程-2x=1，其实根为 x=-1/2，故k可取0. （2）当k0 时，原方程为一元二次方程，须满足0，即13k且0k，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载综合（
