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1、学习必备欢迎下载二、一元二次方程(一) 课前预习1一元二次方程:在整式方程中,只含个未知数,并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程 .一元二次方程的一般形式是 .其中叫做二次项,叫做一次项,叫做常数项;叫做二次项的系数,叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法:(1)直接开平方法:形如)0(2aax或)0()(2aabx的一元二次方程,就可用直接开平方的方法 . (2)配方法:用配方法解一元二次方程02aocbxax的一般步骤是:化二次项系数为1,即方程两边同时除以二次项系数;移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项,配方,即方程两边都加上一次项系数一半的平方,化原方程为2
2、()xmn的形式,如果是非负数,即0n,就可以用直接开平方求出方程的解. 如果 n0,则原方程无解.(3)公式法:一元二次方程20(0)axbxca的求根公式是(4)因式分解法:因式分解法的一般步骤是:将方程的右边化为;将方程的左边化成两个一次因式的乘积;令每个因式都等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解。(二) 课题讲解1、基本概念【考点讲解】(1) 定义: 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程(2) 一般表达式:)0(02acbxax(3) 难点: 如何理解“未知数的最高次数是2” :该项系数不为“0” ;未知数指数为“2”
3、 ;若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。【典型例题】例 1 下列方程中是关于x 的一元二次方程的是()A 12132xx B 02112xxC 02cbxaxD 1222xxx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载变式: 当 k 时,关于x 的方程3222xxkx是一元二次方程。例 2 方程0132mxxmm是关于 x 的一元二次方程,则m的值为。【
4、针对性练习】1、方程782x的一次项系数是,常数项是。2、若方程112xmxm是关于 x 的一元二次方程,则m的取值范围是。3、若方程nxm+xn-2x2=0 是一元二次方程,则下列不可能的是()A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 2、方程的解【考点讲解】概念: 使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。应用: 利用根的概念求代数式的值;【典型例题】例 1、已知322yy的值为 2,则1242yy的值为。例 2、关于 x 的一元二次方程04222axxa的一个根为0,则 a 的值为。例 3、已知关于x 的一元二次方程002acbxax的系数满足bca,则此方
5、程必有一根为。例 4、已知ba,是方程042mxx的两个根,cb,是方程0582myy的两个根,则m 的值为。【针对性练习】1、已知方程0102kxx的一根是2,则 k 为,另一根是。2、已知 m是方程012xx的一个根,则代数式mm2。3、已知a是0132xx的根,则aa622。4、方程02acxcbxba的一个根为() A 1 B 1 C cb D a5、若yx则yx324,0352。3、解法名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 7 页 -
6、 - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【考点讲解】方法: 直接开方法;因式分解法;配方法;公式法关键点: 降次类型一、直接开方法:mxmmx,02对于max2,22nbxmax等形式均适用直接开方法【典型例题】例 1、解方程:;08212x216252x=0; ; 09132x例 2、若2221619xx,则 x 的值为。【针对性练习】1、下列方程无解的是()A.12322xx B.022x C.xx132 D.092x类型二、因式分解法:021xxxx21,xxxx或方程特点: 左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0” ,方程形式: 如22nbxmax,cxaxbxax,02
7、22aaxx【典型例题】例 1、3532xxx的根为()A 25x B 3x C 3,2521xx D 52x例 2、若044342yxyx,则 4x+y 的值为。变式 1:2222222, 06b则ababa。变式 2:若032yxyx,则 x+y 的值为。变式 3:若142yxyx,282xxyy,则 x+y 的值为。例 3、方程062xx的解为()A.2321,xx B.2321,xx C.3321,xx D.2221,xx例 4、已知023222yxyx, 则yxyx的值为。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料
8、 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载变式 :已知023222yxyx, 且0, 0 yx, 则yxyx的值为。【针对性练习】1、以71与71为根的一元二次方程是()A0622xx B0622xxC0622yy D0622yy2、写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为倒数:写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为相反数:3、若实数x、y 满足023yxyx,则 x+y 的值为()A、-1 或-2 B、-1 或 2 C、1 或-2 D、1 或 2 4、方程:2122x
9、x的解是。5、方程012000199819992xx的较大根为r ,方程01200820072xx的较小根为s,则s-r的值为。类型三、配方法002acbxax222442aacbabx在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。【典型例题】例1、试用配方法说明322xx的值恒大于0。例2、已知 x、y 为实数,求代数式74222yxyx的最小值。例3、已知,x、yyxyx0136422为实数,求yx的值。例4、分解因式:31242xx【针对性练习】1、试用配方法说明47102xx的值恒小于0。2、已知041122xxxx,则xx1 . 3、若912322xxt,
10、则 t 的最大值为,最小值为。4、如果4122411bacba, 那么cba32的值为。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载类型四、公式法条件:04,02acba且公式:aacbbx242,04,02acba且【典型例题】例 1、选择适当方法解下列方程:.6132x.863 xx0142xx01432xx5211313xxxx例 2、在实数范围内分解因式:(1)3222xx;( 2)
11、1842xx. 22542yxyx说明:对于二次三项式cbxax2的因式分解,如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式,先令cbxax2=0,求出两根,再写成cbxax2=)(21xxxxa. 分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去. 类型五、“降次思想”的应用求代数式的值;解二元二次方程组。【典型例题】例1、已知0232xx,求代数式11123xxx的值。例 2、已知a是一元二次方程0132xx的一根,求1152223aaaa的值。4、根的判别式acb42【考点讲解】根的判别式的作用:定根的个数;求待定系数的值;应用于其它。【典型例题】例 1、若关于x的方程
12、0122xkx有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是。例 2、关于 x 的方程0212mmxxm有实数根,则m的取值范围是( ) A.10且mm B.0m C.1m D.1m名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 3、m为何值时,方程组.3,6222ymxyx有两个不同的实数解?有两个相同的实数解?【针对性练习】1、当 k 时,关于x 的二次三项式92kxx是完全平方式。2、已知方
13、程022mxmx有两个不相等的实数根,则m的值是 . 3、当k取何值时,方程04234422kmmxmxx的根与m均为有理数?5、方程类问题中的“分类讨论”【典型例题】例 1、关于 x 的方程03212mxxm有两个实数根,则m为 , 只有一个根,则m为。例2、不解方程,判断关于x 的方程3222kkxx根的情况。例 3、 如果关于x 的方程022kxx及方程022kxx均有实数根, 问这两方程是否有相同的根?若有,请求出这相同的根及k 的值;若没有,请说明理由。6、应用解答题【考点讲解】“碰面”问题;“复利率”问题;“几何”问题;“最值”问题;“图表”类问题【典型例题】例 1、五羊足球队的庆
14、祝晚宴,出席者两两碰杯一次,共碰杯990 次,问晚宴共有多少人出席?例 2、某小组每人送他人一张照片,全组共送了90 张,那么这个小组共多少人?例 3、A、B两地间的路程为36 千米 . 甲从A地,乙从B地同时出发相向而行,两人相遇后,甲再走2 小时30 分到达B地,乙再走1小时 36 分到达A地,求两人的速度. 7、根与系数的关系【考点讲解】前提: 对于02cbxax而言,当满足0a、0时,才能用韦达定理。主要内容:acxxabxx2121,应用: 整体代入求值。【典型例题】名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 -
15、- - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822xx的两根,则这个直角三角形的斜边是()A.3 B.3 C.6 D.6例 2、已知关于x 的方程011222xkxk有两个不相等的实数根21, xx,( 1)求 k 的取值范围;(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由。【针对性练习】1、已知472aa,472bb)(ba,求baab的值。2、已知21,xx是方程092xx的两实数根,求663722231xxx的值。1、解方程:04321322xx2、若方程021mxm是关于 x 的一元一次方程,求 m的值;写出关于x 的一元一次方程。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - -