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1、高三数学试题（文科）答案 第 1 页（共 3 页）合肥市2021 年高三第一次教学质量检测 数学(文)试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.2 14. 15.22 16.213 三、解答题： 17.(本小题满分12分) 三、解答题： 17.(本小题满分12分) 解：(1)由已知3575231aaa，解得112ad，21nan.5分 (2) 1212222naaannSaaa 1212222na
2、aanaaa 2 14121214nnn 21222.3nn 12分 18.(本小题满分12分) 18.(本小题满分12分) 解：(1)由样本统计数据可知，样本中男生180人，其中“握笔姿势正确”的有24人；女生120人，其中“握笔姿势正确”的有30人，从而估计该地区初中毕业生中男生、女生“握笔姿势正确”的概率分别为215和14. 4分 (2)由列联表计算得 22300156 3024 906.6406.63554 246 180 120K， 所以，有99%的把握认为该地区初中毕业生“握笔姿势是否正确”与性别有关.8分 (3)由(2)结论知，该地区初中毕业生“握笔姿势是否正确”与性别有关。此外
3、，从样本数据能够看出，该地区初中毕业生中，男生与女生中握笔姿势正确的比例有明显差异，因此，在调查时，男生和女生应该分成两层，采用分层抽样的方法更好. 12分 19.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分) 解：(1)点FG，分别为ABAC，的中点，FGBC. FG 平面PBC，BC 平面PBC，FG平面PBC. 延长FG交CD于点H，连接EH. GHBC，ADBC，GHAD. G是AC的中点，H是CD的中点. E是PD的中点，EHPC. EH平面PBC，PC平面PBC，EH平面PBC. 又EHFG，平面EFG，且EHFGH， 平面EFG平面PBC. 6分 (2)设点F与平面AEG的距离为
4、d，取AD的中点O，连接OEOG， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A C B B A D C C D C 男 女总计握笔姿势正确 24 3054握笔姿势不正确 156 90246总计 180 120300高三数学试题（文科）答案 第 2 页（共 3 页）则EOPA，GOCD，且12EOPA，12GOCD. PA平面ABCD，EO平面ABCD. 由FAEGEAFGVV三棱锥三棱锥得1133AEGAFGSdSEO，即AEGAFGSdSEO. 在AEG中，2AEAGGE，从而32AEGS. 又1EO ，114AFGABCSS，2 33d . 点F与平面AE
5、G的距离为2 33. 12分 20.(本小题满分12分) 20.(本小题满分12分) 解:(1)由条件，设直线l的方程为1xty，代入22yx得2220yty， 则2222148212ABtttt. 由2 2AB ，解得0t ，交点A,B的坐标为12，,12，-. 易知AOB外接圆的圆心在x轴上，设圆心为(a，0). 由22212aa解得32a ， AOB外接圆的方程为223924xy. 6分 (2)设A(11xy，)，B(22xy，)，则A(11xy，). 由(1)知，122yyt，122y y . 设直线A B的方程为xmyn，代入22yx得，2220ymyn， 则122yyn ，22n
6、，即1n ， 直线A B经过定点(-1，0) 12分 21.(本小题满分12分) 21.(本小题满分12分) 解：(1) 2lnxabfxxxx，由条件 111faba ，解得0b. 此时，切点为(1，0)，直线1yaxa不经过切点，符合题意，所以0b .4分 (2)由(1)知， ln1afxxx. 设 ln+1ag xxx，则 221axagxxxx(0 x ). 当0a 时， ln1g xx， 易知函数有唯一零点1e， 且10 xe， 0g x ；1xe， 0g x .此时， f x仅有一个极小值点，无极大值点； 当0a 时， 0gx恒成立， g x在区间上单调递增. 又10g eae，l
7、n()0eg eaeaea， g x在0，上存在唯一零点，从而 f x仅有一个极小值点，无极大值点； 当0a 时， 0ga，且当0 xa，时， 0gx；当xa，时， 0gx. g x在0a，上单调递减，在a ，上单调递增，且最小值为 ln2g aa. (i)若 0g a ，即2ae，此时 0g x 恒成立， f x无极值点； (ii)若 0g a ，即20ae. 1a ，且 0g a ， 110ga ，且 g x在a ，上单调递增， 根据零点存在性定理得， g x在a ，恰有一个零点，从而 f x在a ，恰有一个极小值点. 高三数学试题（文科）答案 第 3 页（共 3 页）考虑212ln1g
8、aaa.令 212ln10h xxxex，则 2210 xhxx. h x在20e，上单调递减， 2230h xh ee，即212ln10g aaa . 20aa，20g a， 0g a ，且 g x在0a，上单调递减， 根据零点存在性定理得， g x在0a，恰有一个零点，从而 f x在0a，恰有一个极大值点. 当20ae时， f x有且仅有两个极值点. 综上，当2ae时， f x极值点个数为0； 当0a 时， f x极值点个数为1； 当20ae时， f x极值点个数为212分 22.(本小题满分10分) 22.(本小题满分10分) 解：(1)化简曲线C参数方程得cos21sin22xy，(为
9、参数，且2kkZ，)， 消去参数得曲线C的普通方程得22411xyx ， 化成极坐标方程为22cos4sin12kkZ， 2211 3sin(2kkZ，). 5分 (2)不妨设M(1，)，N(23，)，则1OM，2ON， 2222113 393 31 3sin1 3sinsin2cos2 =sin 234423OMON . 当且仅当712kkZ时，2211OMON取最大值3 3210分 23.(本小题满分10分) 23.(本小题满分10分) 解：(1)由 11f得21211aa 112211aaa ，或11 212211aaa ，或1 221211.aaa ， 解得1a 或112a ， a的取值范围为12 ，. 5分 (2)设2xt(0t ). 由已知得，对任意0t ，使得 0f t 成立. 0f t 222224tatatata23120tat. 当0t ，Ra；当0t ，40ta恒成立，即0a . 0a ，即a的最小值为0. 10分
