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1、统计学第十章 方差分析2解释方差分析的概念解释方差分析的基本思想和原理掌握单因素方差分析的方法及应用理解多重比较的意义掌握双因素方差分析的方法及应用学习目标本章学习目标3方差分析引论 4方差分析及其有关术语方差分析的基本假定方差分析的基本思想和原理问题的一般提法1234方差分析引论 51.检验多个总体均值是否相等通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等2.研究分类型自变量对数值型因变量的影响 一个或多个分类型自变量两个或多个 (k 个) 处理水平或分类一个数值型因变量3.有单因素方差分析和双因素方差分析单因素方差分析：涉及一个分类的自变量双因素方差分析：涉及两个分类的自变量方差分析引论 6消费
2、者对四个行业的投诉次数消费者对四个行业的投诉次数消费者对四个行业的投诉次数消费者对四个行业的投诉次数 行业行业观测值观测值零售业零售业旅游业旅游业航空公司航空公司家电制造业家电制造业12345675766494034534468392945565131492134404451657758【 例例 】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在4 4个行业分别抽取个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费者对总共了不同的企业作为样本。最近一年中消费者对总共2323家企业投诉的次数如下表家企业投诉的次数如下表方差分析71.分析4个行业之间的服
3、务质量是否有显著差异，也就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响2.作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等3.若它们的均值相等，则意味着“行业”对投诉次数是没有影响的，即它们之间的服务质量没有显著差异；若均值不全相等，则意味着“行业”对投诉次数是有影响的，它们之间的服务质量有显著差异什么是方差分析?(例题分析)81.因素或因子(factor)所要检验的对象分析行业对投诉次数的影响，行业是要检验的因子2.水平或处理(treatment)因子的不同表现零售业、旅游业、航空公司、家电制造业3.观察值在每个因素水平下得到的样本数据每个行业被投诉的次数方差分析中的有关术语9
4、1.试验这里只涉及一个因素，因此称为单因素4水平的试验2.总体因素的每一个水平可以看作是一个总体零售业、旅游业、航空公司、家电制造业是4个总体3.样本数据被投诉次数可以看作是从这4个总体中抽取的样本数据方差分析中的有关术语10方差分析及其有关术语方差分析的基本假定方差分析的基本思想和原理问题的一般提法1234方差分析引论 11 零售业 旅游业 航空公司 家电制造方差分析的基本思想和原理(图形分析散点图)12方差分析的基本思想和原理(图形分析散点图)1.从散点图上可以看出不同行业被投诉的次数有明显差异同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较低2.
5、行业与被投诉次数之间有一定的关系如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈现的模式也就应该很接近131.散点图观察不能提供充分的证据证明不同行业被投诉的次数之间有显著差异这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的2.需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析判断不同总体的均值是否相等。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源方差分析的基本思想和原理141.随机误差因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间
6、的差异比如，同一行业下不同企业被投诉次数之间的差异这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差 2.系统误差因素的不同水平(不同总体)之间观察值的差异比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差方差分析的基本思想和原理(两类误差)151.数据的误差用平方和(sum of squares)表示2.组内平方和(within groups)因素的同一水平下数据误差的平方和比如，零售业被投诉次数的误差平方和只包含随机误差3.组间平方和(between groups)因素的不同水平之间数
7、据误差的平方和比如，4个行业被投诉次数之间的误差平方和既包括随机误差，也包括系统误差方差分析的基本思想和原理(误差平方和SS)161.平方和除以相应的自由度2.若原假设成立，组间均方与组内均方的数值就应该很接近，它们的比值就会接近13.若原假设不成立，组间均方会大于组内均方，它们之间的比值就会大于14.当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异，即自变量对因变量有影响判断行业对投诉次数是否有显著影响，也就是检验被投诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主要是系统误差，说明不同行业对投诉次数有显著影响方差分析的基本思想和原理(均方MS)17方差分析及其有关术语方差
8、分析的基本假定方差分析的基本思想和原理问题的一般提法1234方差分析引论 181.每个总体都应服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本比如，每个行业被投诉的次数必须服从正态分布2.各个总体的方差必须相同各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的比如，4个行业被投诉次数的方差都相等3.观察值是独立的比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的次数独立方差分析的基本假定191.在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的4个正态总体的均值是否相等2.如果4个总体的均值相等，可以期望4个样本的均值也会很接近4个样本的均值越接近
9、，推断4个总体均值相等的证据也就越充分样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就越充分 方差分析的基本假定201. 如果原假设成立，即H0 ： m1 = m2 = m3 = m44个行业被投诉次数的均值都相等意味着每个样本都来自均值为、方差为 2的同一正态总体 X X Xf(X)f(X)f(X) 1 1 2 2 3 3 4 4 方差分析的基本假定21若备择假设成立，即H1 ： i (i=1,2,3,4)不全相等至少有一个总体的均值是不同的4个样本分别来自均值不同的4个正态总体 X X Xf(X)f(X)f(X) 3 3 1 1 2 2 4 4 方差分析的基本假定22方差分析及其有关术语方差分析的
10、基本假定方差分析的基本思想和原理问题的一般提法1234方差分析引论 231.设因素有k个水平，每个水平的均值分别用 1 , 2, , k 表示2.要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提出如下假设： H0 ： 1 2 k H1 ： 1 , 2 , ， k 不全相等3.设 1为零售业被投诉次数的均值， 2为旅游业被投诉次数的均值， 3为航空公司被投诉次数的均值， 4为家电制造业被投诉次数的均值，提出的假设为H0 ： 1 2 3 4 H1 ： 1 , 2 , 3 , 4 不全相等问题的一般提法24单因素方差分析25观察值观察值观察值观察值 ( ( j j ) )因素因素因素因素( (A A)
11、) i i 水平水平水平水平A A1 1 水平水平水平水平A A2 2 水平水平水平水平A Ak k12:n x11 x21 xk1 x12 x22 xk2 : : : : : : : : x1n x2n xkn问题的一般提法26分析步骤提出假设构造检验统计量统计决策分析步骤27提出假设1.一般提法H0 ：m1 = m2 = mk 自变量对因变量没有显著影响 H1 ：m1 ，m2 ， ，mk不全相等自变量对因变量有显著影响 2.注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不相等，并不意味着所有的均值都不相等 28构造统计量需要计算水平的均值全部观察值的总均值误差平方和均方(MS) 构造检验的统
12、计量291.假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数2.计算公式为 式中：式中： n ni i为第为第 i i 个总体的样本观察值个数个总体的样本观察值个数 x xij ij 为第为第 i i 个总体的第个总体的第 j j 个观察值个观察值 构造检验的统计量(计算水平的均值)301.全部观察值的总和除以观察值的总个数2.计算公式为 构造检验的统计量(计算全部观察值的总均值)31构造检验的统计量(例题分析)321.全部观察值 与总平均值 的离差平方和2.反映全部观察值的离散状况3.其计算公式为前例的计算结果SST = (57
13、-47.869565)2+(58-47.869565)2构造检验的统计量(计算总误差平方和 SST)33构造检验的统计量(计算组间平方和 SSA)1.各组平均值 与总平均值 的离差平方和2.反映各总体的样本均值之间的差异程度3.该平方和既包括随机误差，也包括系统误差4.计算公式为 前例的计算结果 SSA 34构造检验的统计量(计算组内平方和 SSE )1.每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和2.反映每个样本各观察值的离散状况3.该平方和反映的是随机误差的大小4.计算公式为 前例的计算结果前例的计算结果 SSE SSE = 2708= 270835构造检验的统计量(三个平方和的关系)
14、总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSE)、水平项离差平方和 (SSA) 之间的关系SST = SSA + SSE 前例的计算结果前例的计算结果 4164.608696=1456.608696+2708 4164.608696=1456.608696+2708 36构造检验的统计量(计算均方MS)1.各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方均方，也称为方差2.由误差平方和除以相应的自由度求得3.三个平方和对应的自由度分别是SST 的自由度为n-1，其中n为全部观察值的个数SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体)的个数
15、SSE 的自由度为n-k37构造检验的统计量(计算均方 MS)1.1.组组间间方方差差：SSA的均方，记为MSA，计算公式为2.组内方差：SSE的均方，记为MSE，计算公式为38构造检验的统计量(计算检验统计量 F )1.将MSA和MSE进行对比，即得到所需要的检验统计量F2.当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为k-1、分母自由度为 n-k 的 F 分布，即 39构造检验的统计量(F分布与拒绝域)如果均值相等，如果均值相等，如果均值相等，F FF= =MSAMSAMSA/ /MSEMSEMSE1 11 F 分布F(k-1,n-k)0 0拒绝拒绝H H0 0不能拒绝不能拒绝H H0 0F F
16、40统计决策 将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F进行比较，作出对原假设H0的决策根据给定的显著性水平，在F分布表中查找与第一自由度df1k-1、第二自由度df2=n-k 相应的临界值 F 若FF ，则拒绝原假设H0 ，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素对观察值有显著影响若FF ，拒拒绝绝原假设H0 ，表明均值之间的差异是显著的，即所检验的行因素对观察值有显著影响若FC F ，拒拒绝绝原假设H0 ，表明均值之间有显著差异，即所检验的列因素对观察值有显著影响 70双因素方差分析表(基本结构)误差来源误差来源平方和平方和(SS)自由度自由度(df)均方均方(MS)F值值P值值F临界值临界值行因素行因素SSRSSRk-k-1 1MSRMSRMSRMSRMSEMSE列因素列因素SSCSSCr-1r-1MSCMSCMSCMSCMSEMSE误差误差SSESSE( (k-k-1)(1)(r r-1)-1)MSEMSE总和总和SSTSSTkr-kr-1 171双因素方差分析(例题分析)提出假设对品牌因素提出的假设为H0：1=2=3=4 (品牌对销售量无显著影响)H1：i (i =1,2,
