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1、2022/5/161 第七章 系统函数7.1系统函数与系统特性7.3 信号流图7.2 系统的稳定性2022/5/162 LTI: 连续系统 离散系统 时域分析: 冲激响应h(t) 单位响应h(k) 复频域分析: H(s) H(z).系统函数 频域分析: H(j) H( )频率响应 =H(s) s=j =H(z) z= 2022/5/163 1.系统函数-时域响应，频率响应. 2.系统的因果性和稳定性，判据. 3.信号流图. 4.系统的模拟. 2022/5/1647.1系统函数与系统特性一.系统函数的极点和零点. 1.连续系统: H(s)=B(s)/A(s)= 极点:A(s)=0的根，p1,p2
2、,pn. H(pi) 零点:B(s)=0的根, z1, z2, zm. H(zi)=02022/5/165 H(s)=B(s)/A(s)= =极点类型: 一阶:实数,虚数,复数. 多阶:实数,虚数,复数. 2022/5/166 2.离散系统: H(z)=B(z)/A(z) =2022/5/167极点在左半开平面. 0 在实轴上: 一阶极点:p=- , H(s)=b/(s+),h(t)=be- t(t) 二阶极点:p=- (二阶), H(s)= k/(s+)2, h(t)=kt e- t(t) ,limh(t)=0 t 多阶极点: p=- (高阶), H(s)= k/(s+)r h(t)=k t
3、 r-1e- t limh(t)=0 t二、极点零点与时域响应的关系:2022/5/168不在实轴上:一阶共轭复数:p1,2=-j, h(t)=k e- t cos(t+) (t) limh(t)=0 t二阶共轭复数:p1,2=-j(二阶), h(t)=kt e- t cos(t+) (t) limh(t)=0 t 2022/5/169在虚轴上: 一阶极点:p=0, H(s)=k/s,h(t)=k(t), limh(t)=有限值 t 一阶共轭:p=j, h(t)=kcos(t+) (t), limh(t)=有限值 t2022/5/1610 虚轴上二阶极点: p=0(二阶), H(s)=k/s2
4、, h(t)=kt(t), limh(t) t p=j(二阶), h(t)=ktcos(t+), limh(t) t 2022/5/1611右半开平面 : 实数: p=, h(t)= e t limh(t) t 复数: p=j, h(t)= e t cos(t+) limh(t) t 2022/5/1612几种典型情况几种典型情况122022/5/1613 Z平面: 单位圆内:p=-1/3,h(k)= (-1/3)k (k) 0 单位圆上:p=1,h(k)= (1)k(k),有限值. 单位圆外:p=2,h(k)= (2)k (k) 2.离散系统:-1/312RezImzZ平面2022/5/16
5、14极点位置与h(k)形状的关系2022/5/1615s平面平面(单极点单极点)z平面平面(单极点单极点)极点位置极点位置h(t)特点特点极点位置极点位置h(k)特点特点虚轴上虚轴上等幅等幅单位圆上单位圆上等幅等幅原点时原点时 左半平面左半平面衰减衰减单位圆内单位圆内减幅减幅右半平面右半平面增幅增幅单位圆外单位圆外增幅增幅利用zs平面的映射关系2022/5/1616三、极点零点与频域响应的关系:定义 所谓所谓“频响特性频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态是指系统在正弦信号激励下稳态响响应随频率的变化情况。应随频率的变化情况。 2022/5/1617前提：稳定的因果系统。前提：稳定的因果系统。
6、 有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。 时域：时域：频域：频域：H(s)的全部极点落在的全部极点落在s左半平面。左半平面。 其收敛域包括虚轴：其收敛域包括虚轴：拉氏变换拉氏变换 存在存在傅里叶变换傅里叶变换 存在存在 2022/5/16181.H(s)和频响特性的关系频响特性频响特性系统的稳态响应系统的稳态响应幅频特性幅频特性相相频特性（相移特性）频特性（相移特性）2022/5/16192几种常见的滤波器2022/5/16203.极点零点与频率响应:1.连续系统: 2022/5/1621矢量分析法: Ai j pi pi i 0 令j-pi= Ai
7、j-zj=BjBj|zj|i2022/5/1622幅频:相位:()=(1+m)-(1+n) 分析: 从02022/5/1623例: R u1(s) + - 1/sc u2(s) H(s)=u2(s)/ u1(s) =2022/5/1624 极点:p=-1/Rc,左半开平面. 定量: ()=0-arctg2022/5/1625定性: 从0变化.H(j) = ()=0- j A j -1/Rc 0 2022/5/16261H(j) ()-/22022/5/1627例: 全通函数. H(j) =常数 设二阶系统H(s).左半开平面,有一对极点, p1,2=-j, 右半开平面,有一对零点, z1,2=
8、j2022/5/1628A1=B1, A2 =B2, H(j) =B1 B2/ A1 A2=1p1p2z1z2A1A2B1B22022/5/1629结论:n凡极点位于左半开平面,零点位于右半开平面,且所有的零点与极点对于j轴为一镜像对称的系统函数即为全通函数全通函数.2022/5/1630例研究下图所示研究下图所示RCRC低通滤波低通滤波网络的频响特性网络的频响特性。写出网络转移函数表达式写出网络转移函数表达式解解: :2022/5/1631频响特性2022/5/1632例其转移函数为其转移函数为相当于低通与高通级联构成的带通系统。相当于低通与高通级联构成的带通系统。 解：解：低通滤波器低通滤
9、波器高通滤波器高通滤波器2022/5/1633频响特性/2-/2最小相移函数零、极点均位于s平面左半开平面极点位于s平面左半开平面，零点位于s平面右半开平面幅频特性一致34jj121b2b1b= - 1 ， 2b= - 2a()= 1 + 2-1 - 2 b()= 1b + 2b-1 - 2b() -a()= 2- 2(1 + 2) 0对于相同的幅频特对于相同的幅频特性的系统函数，零性的系统函数，零点位于左半开平面点位于左半开平面的系统函数，其相的系统函数，其相频特性最小频特性最小35结论n考虑到网络函数的零点可能在虚轴上n定义：n右半开平面上没有零点的系统函数为最小相移函数n相应的网络称为最
10、小相移网络36对于非最小相移函数可表示为最小相移函数可表示为最小相移函数与全通函数的乘积与全通函数的乘积最小相移函数全通函数372022/5/16382.离散系统:n因果离散系统，若极点均在单位圆内，则在单位圆上(|z|=1)也收敛幅频响应:相频响应:2022/5/1639 Z平面 Bj 1 Ai j I 0 1 2022/5/1640正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应）正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应）系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系统的统的频率响应频率响应特性。特性。2022/5/1641由系统函数得到频响特性输出对输入
11、序列的相移输出对输入序列的相移离散时间系统在单位圆上的离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换，即系变换即为傅氏变换，即系统的频率响应特性统的频率响应特性: :输出与输入序列的幅度之比输出与输入序列的幅度之比：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性2022/5/1642通过本征函数透视系统的频响特性 为输入序列的加权，为输入序列的加权，体现了系统对信号的处理功能。体现了系统对信号的处理功能。 是是 在单位圆上的动态，在单位圆上的动态，取决于系统的特性。取决于系统的特性。单位圆上单位圆上2022/5/1643离散系统（数字滤波器）的分类2022/5/1644二频响特性的几何确定法2022/5/
12、1645几点说明2022/5/1646 7.2 系统的稳定性一.系统的因果性(物理可实现性) 1.连续系统: 定义:若f(t)=0,t0,则yzs(t)=0, t0 因果系统 时域条件:(充要) 当h(t)=0, t0因果系统 因果系统,(t)=0, t0 yzs(t)= h(t)=0, t0 f(t) 因果系统 yzs(t) t02022/5/1647当h(t)=0, t0 ;f(t)=0, t0 yzs(t)=h(t)*f(t)= t0, yzs(t) 存在= = t0 ,yzs(t)=0 理想 H(j) - c 0 - c 2022/5/1648s域充要条件: H(s)的收敛域Res 0
13、 因果性 j 0 其收敛域为收敛坐标0以右的半平面,即H(s)的极点都在收敛轴Res =0 的左边.2022/5/16492.离散系统: 定义:若f(k)=0,k0,则yzs(k)=0,k0时域充要条件:h(k)=0, k0 因果系统z域充要条件:H(z)的收敛域z 0 z平面 因果系统 0 其收敛域为半径等于0的圆外区域,即H(z)的极点都在收敛圆z =0的内部.2022/5/1650二.系统的稳定性(可用性) f(t)有界 系统 yzs(t)有界 1.连续系统:定义:若f(t)Mf,则 yzs(t) My 稳定系统时域充要条件: 绝对可积 M稳定系统只能保证衰减函数可积2022/5/165
14、1 h(t) t因果稳定系统: M稳定系统s域充要条件: H(s)的极点在左半开平面稳定系统 H(s)的极点在虚轴上(一阶) 临界系统 H(s)的极点在虚轴上(二阶以上) H(s)的极点在右半开平面 不稳定系统2022/5/16522.离散系统:时域充要条件:绝对可和: M稳定系统z域充要条件:H(z)的极点在单位圆内稳定系统H(z)的极点在单位圆上(一阶) 临界系统H(z)的极点在单位圆上(二阶)H(z)的极点在单位圆外不稳定系统2022/5/1653三.连续系统的稳定性准则 罗斯霍尔维兹准则.H(s)=B(s)/A(s),A(s)=H(s)的极点就是A(s)=0的根，因此为判断系统是否稳定
15、,即H(s)的极点是否都在左半开平面,只需判断A(s)=0的根,即特征根是否都在左半开平面,并不须知道各特征根的确切位置.所有的根均在左半开平面的得多项式称为罗斯霍尔维兹多项式.2022/5/1654罗斯准则:多项式A(s)是霍尔维兹多项式的充 分和必要条件是罗斯阵列中的第一 列元素均大于零，即如果罗斯阵列 中的第一列元素均为不等于零的正 值,那么A(s)=0的根都在s平面的左 半开平面.如果第一列元素的符号不 完全相同,那么变好的的次数就是在 右半开平面根的数目.2022/5/1655罗斯阵列: an an-2 an-4 . 第1,3,5项的系数 an-1 an-3 an-5. 第2,4,6
16、项的系数 cn-1 cn-3 cn-5. dn-1 dn-3 dn-5. 2022/5/1656 cn-1= ,cn-3= ,dn-1= , dn-3 = ,充要条件:第一列元素大于零 稳定系统2022/5/1657例:H(s)= 为使系统稳定, 常数k满足什么条件？解：构建罗斯阵列1323 1+k an an-2 an-1 an-3 cn-1 cn-3 dn-1572022/5/1658将H(s)的特征多项式A(s)的系数排成罗斯阵列为: 1 3 0 0 3 1+k 0 (8-k)/3 0 0 1+k 0 0根据罗斯判据,以上阵列中第一列元素应为正值,即: (8-k)/30 k8; 1+k 0 k -1;-1 k 8时系统是稳定的.2022/5/1659例7.2-3:H(s)= 为使系统稳定, 常数k满足什么条件？解：构建罗斯阵列12-k23 an an-2 an-1 cn-10592022/5/1660将H(s)的特征多项式A(s)的系数排成罗斯阵列为: 1 2-k 3 0 2-k根据罗斯判据,以上阵列中第一列元素应为正值,即: 2-k0 k2 k2时系统是稳定的.602022/5
