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1、知识点一:二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义:形如E占丑IJ)的式子叫二次根式,其中做叫被开方数,只有当&是一个非负数时,有才有意义.1【例2】若式子有意义,则x的取值范围是.x3举一反三:1、使代数式Jx22x有意义的x的取值范围是2、如果代数式/1有意义、那么、直角坐标系中点P(mn)的位置在(.一mnA、第一象限B、第二象限G第三象限D、第四象限【例3】若v=p5+V5x+2009,则x+y=解题思路:式孑J:(aA0);x0,x5a则举一反三:1、若Vx12(xy)2,则xy的值为(A.-13、当a取什么值时,代数式72a11取值最小,并求出这个最小值。已知a是J5整数部分,b是
2、J5的小数部分,求a的值。若17的整数部分为x,小数部分为y,求x2的值.知识点二:二次根式的性质【知识要点】1.非负性:是一个非负数.2.(a)2a(a0).注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到.注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式:注意:(1)字母不一定是正数.(2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替.(3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,应把负号留在根号外.2a(a0)24.公式ya|a|a(a0)与(向a(a0)的区别与联系(1)(0丁表示求一个数的平方的算术根,a的范
3、围是一切实数.(2)(ja)2表示一个数的算术平方根的平方,a的范围是非负数.(3)按和(同之的运算结果都是非负的【典型例题】2【例4】右a2Vb3c40,则abc举一反三:1、已知直角三角形两边X、y的长满足|X2+yy25y6=。,则第三边长为2、b11与4a2b4互为相反数,则2005b(公式(va)2a(a0)的运用)【例5】化简:a1(Ja3)2的结果为()A、42aB、0C、2a4D、4举一反三:3已知直角三角形的两直角边分别为(公式Va2a|a(a0)a(a0)的应用)【例6】已知X2,则化简7X24x4的结果是AX2B、X2GX2D2X举一反三:2、化简J4X4X142X3得(
4、)(C)-2(D)4X4(A)2(B)4x4ab+b)2的结果等于()3、已知a0,化简求值:【例7】如果表示a,b两个实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简A.-2bB.2bC.-2aD.2a举一反三:实数a在数轴上的位置如图所示:化简:a1|,(a2)2【例8】化简1X.X8x16的结果是2x-5,则x的取值范围是()(A)x为任意实数(B)1x4(D)xv1举一反三:若代数式瑚2a)2J(a4)2的值是常数2,则a的取值范围是(d.a2或a4【例9】如果a我22a11,那么a的取值范围是()A.a=0B.a=1C.a=0或a=1D.a。时,D7xx知识点三:最简二次根式和同类二次根式【
5、知识要点】1、最简二次根式:(D最简二次根式的定义:被开方数是整数,因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的数或因式.2、同类二次根式(可合并根式):几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式。【典型例题】【例11】下列根式中能与J3是合并的是()27C.2、5D.举一反三1、下列各组根式中,是可以合并的根式是(A、同施B、伊J3C、T02b和Tab2D、和412、如果最简二次根式J308与顼2a能够合并为一个二次根式,则a=.知识点四:二次根式计算一一分母有理化【知识要点】分母有理化定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。1. 有
6、理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下: 单项二次根式:利用yjayaa来确定,如:VO*与yfa,fab与y/ab,廿ab与ab等分别互为有理化因式。两项二次根式:利用平方差公式来确定。如a7b与aVb,4aJb石石Jb,aJXbJV与aJXbJV分别互为有理化因式。2. 分母有理化的方法与步骤: 先将分子、分母化成最简二次根式;将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】【例12】把下列各式分母有理化(1)忙曰3b2va5、53举一反三:x1y2(
7、2)x23xy2yxy1、已知x2g3,y2,求下列各式的值:2323知识点五:根式比较大小【知识要点】1、根式变形法当a0,b0时,如果ab,则4aJb;如果ab,则有Vb2、平方法当a0,b0时,如果a2质,则ab;如果a2b2,则ab3、分母有理化法通过分母有理化,利用分子的大小来比较。4、分子有理化法通过分子有理化,利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时,经常运用如下性质:a8、求商比较法a它运用如下性质:当a0,b0时,则:_1b【典型例题】【例13比较3J5与5J3的大小。【例1b0ab;a
8、b0ab_a.ab;1abb_2_1比较与的大小、31.21【例15】比较j7J6与j6J5的大小。【例16】比较J73与J873的大小。已知:/十职一仙21+5二,求回+瑚的值.二次根式和一元二次方程经典练习题1-把aj的根号外的因式移到根号内等于。2.若ab1与Ja2b4互为相反数,则ab3. 若2pap3,则J2a2Ja32等于()a.52ab.12ac.2a5d.2a14. 若a1,则j1a化简后为()a.a1.a1b.1a1ac.a1.1a5. 计算:J2a12J12a2的值是()D.7.B.4a2A.06.若x.-2y成立,则A.x0,y乒0C.x0,y乒0C.x、24ad.4a或
9、4ay符合的条件是(B.x211,求a的值.27、已知关于x的一元二次方程x24m1x2m10.(1)求证:不论m为任何实数,方程总有两个不相等的实数根.(2)若方程两根为x1、乂2,1且满足一x21.028、已知美于x的万程x2(k1)x-k210的两根是一个矩形两邻边的长.(1)k取何值时,方程在两个实数根;(2)当矩形的对角线长为崩时,求k的值.-2000200129.32g3230.计算及化简:、:ab、.aa、abbvabbababab/aba2y/abb.、a、,b,abab32、32十xxy研宿31、已知:x*矿y%上,求-一的值。、,3、2C2xy2xyxy32、已知:a【10,求a2的值。33、已知:x,y为实数,且yp_1J1x3,化简:y3/y28y16。f-2-x1皿比0,求的值。y1Jx3yx934、已知2x3