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1、知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如E占丑IJ)的式子叫二次根式，其中做叫被开方数，只有当&是一个非负数时，有才有意义.1【例2】若式子有意义，则x的取值范围是.x3举一反三：1、使代数式Jx22x有意义的x的取值范围是2、如果代数式/1有意义、那么、直角坐标系中点P(mn)的位置在(.一mnA、第一象限B、第二象限G第三象限D、第四象限【例3】若v=p5+V5x+2009,则x+y=解题思路：式孑J：(aA0)；x0,x5a则举一反三:1、若Vx12(xy)2，则xy的值为(A.-13、当a取什么值时，代数式72a11取值最小，并求出这个最小值。已知a是J5整数部分，b是
2、J5的小数部分，求a的值。若17的整数部分为x,小数部分为y,求x2的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1.非负性：是一个非负数.2.(a)2a(a0).注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式:注意：(1)字母不一定是正数.(2)能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.(3)可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.2a(a0)24.公式ya|a|a(a0)与(向a(a0)的区别与联系(1)(0丁表示求一个数的平方的算术根，a的范
3、围是一切实数.(2)(ja)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数.(3)按和(同之的运算结果都是非负的【典型例题】2【例4】右a2Vb3c40,则abc举一反三:1、已知直角三角形两边X、y的长满足|X2+yy25y6=。，则第三边长为2、b11与4a2b4互为相反数，则2005b(公式(va)2a(a0)的运用)【例5】化简：a1(Ja3)2的结果为()A、42aB、0C、2a4D、4举一反三：3已知直角三角形的两直角边分别为(公式Va2a|a(a0)a(a0)的应用)【例6】已知X2,则化简7X24x4的结果是AX2B、X2GX2D2X举一反三：2、化简J4X4X142X3得(
4、)(C)-2(D)4X4(A)2(B)4x4ab+b)2的结果等于()3、已知a0,化简求值:【例7】如果表示a,b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简A.-2bB.2bC.-2aD.2a举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简:a1|,(a2)2【例8】化简1X.X8x16的结果是2x-5，则x的取值范围是（）（A）x为任意实数（B）1x4(D)xv1举一反三：若代数式瑚2a）2J（a4）2的值是常数2，则a的取值范围是（d.a2或a4【例9】如果a我22a11,那么a的取值范围是（)A.a=0B.a=1C.a=0或a=1D.a。时，D7xx知识点三：最简二次根式和同类二次根式【
5、知识要点】1、最简二次根式:（D最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式.2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【典型例题】【例11】下列根式中能与J3是合并的是（）27C.2、5D.举一反三1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（A、同施B、伊J3C、T02b和Tab2D、和412、如果最简二次根式J308与顼2a能够合并为一个二次根式，则a=.知识点四：二次根式计算一一分母有理化【知识要点】分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。1. 有
6、理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： 单项二次根式：利用yjayaa来确定，如：VO*与yfa,fab与y/ab，廿ab与ab等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a7b与aVb，4aJb石石Jb，aJXbJV与aJXbJV分别互为有理化因式。2. 分母有理化的方法与步骤： 先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】【例12】把下列各式分母有理化(1)忙曰3b2va5、53举一反三：x1y2（
7、2）x23xy2yxy1、已知x2g3,y2,求下列各式的值:2323知识点五：根式比较大小【知识要点】1、根式变形法当a0,b0时，如果ab,则4aJb;如果ab,则有Vb2、平方法当a0,b0时，如果a2质，则ab;如果a2b2,则ab3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：a8、求商比较法a它运用如下性质：当a0,b0时，则：_1b【典型例题】【例13比较3J5与5J3的大小。【例1b0ab；a
8、b0ab_a.ab；1abb_2_1比较与的大小、31.21【例15】比较j7J6与j6J5的大小。【例16】比较J73与J873的大小。已知：/十职一仙21+5二,求回+瑚的值.二次根式和一元二次方程经典练习题1-把aj的根号外的因式移到根号内等于。2.若ab1与Ja2b4互为相反数,则ab3. 若2pap3，则J2a2Ja32等于（）a.52ab.12ac.2a5d.2a14. 若a1,则j1a化简后为（）a.a1.a1b.1a1ac.a1.1a5. 计算：J2a12J12a2的值是（）D.7.B.4a2A.06.若x.-2y成立，则A.x0,y乒0C.x0,y乒0C.x、24ad.4a或
9、4ay符合的条件是（B.x211,求a的值.27、已知关于x的一元二次方程x24m1x2m10.(1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根.(2)若方程两根为x1、乂2，1且满足一x21.028、已知美于x的万程x2(k1)x-k210的两根是一个矩形两邻边的长.(1)k取何值时,方程在两个实数根；(2)当矩形的对角线长为崩时，求k的值.-2000200129.32g3230.计算及化简:、:ab、.aa、abbvabbababab/aba2y/abb.、a、,b,abab32、32十xxy研宿31、已知：x*矿y%上，求-一的值。、,3、2C2xy2xyxy32、已知：a【10，求a2的值。33、已知：x,y为实数，且yp_1J1x3，化简：y3/y28y16。f-2-x1皿比0,求的值。y1Jx3yx934、已知2x3
