通信原理第2章随机过程

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1、2.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念2.2 平稳随机过程平稳随机过程2.3 高斯随机过程高斯随机过程2.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统2.5 窄带随机过程窄带随机过程2.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声2.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随随 机机 过过 程程返回主目录返回主目录 通通 信信 原原 理理 2.1 2.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 什么是随机过程什么是随机过程 随机过程的分布函数随机过程的分布函数 随机过程的数字特征随机过程的数字特征第第 2 2 章章 随随 机机 过过 程程一、什么是随机过程

2、1 1、随机过程：是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。 可从两种不同角度看：角度角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合对应不同随机试验结果的时间过程的集合-时间函数。时间函数。 第第 2 2 章章 随随 机机 过过 程程例：例：设有n台性能完全相同的接收机。我们在相同的工作环境和测试条件下记录各台接收机的输出噪声波形（这也可以理解为对一台接收机在一段时间内持续地进行n次观测）。测试结果将表明，尽管设备和测试条件相同，记录的n条曲线中找不到两个完全相同的波形。 这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。第第 2 2 章章 随随 机机

3、 过过 程程角度角度2 2：随机过程是随机变量概念的延伸：随机过程是随机变量概念的延伸-随机变量随机变量在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i (t)都是一个确定的数值i (t1)，但是每个i (t1)都是不可预知的。在一个固定时刻t1上，不同样本的取值i (t1), i = 1, 2, , n是一个随机变量，记为 (t1)。换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合同时刻的随机变量的集合。这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。第第 2 2

4、 章章 随随 机机 过过 程程 2、随机过程的基本特征（属性）、随机过程的基本特征（属性） （1）随机过程是一个时间函数）随机过程是一个时间函数； （2）在在给给定定的的任任一一时时刻刻t1，全全体体样样本本在在t1时时刻刻的的取取值值(t1)是是一一个个不不含含t变变化化的的随随机机变变量量。因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数的一族随机变量。 可见，随机过程具有随机变量随机过程具有随机变量和时间函数的特点时间函数的特点。第第 2 2 章章 随随 机机 过过 程程 二、随机过程的分布函数（统计特性）二、随机过程的分布函数（统计特性）二、随机过程的分布函数（统计特性）二、随机过程的分布函

5、数（统计特性） 1、一维分布函数：一维分布函数： 设设(t)表表示示一一个个随随机机过过程程，在在任任意意给给定定的的时时刻刻t1T， 其其取取值值(t1)是是一一个个一一维维随随机机变变量量，把把随随机机变变量量(t1)小小于于或或等等于于某某一一数数值值x1的的概概率率称称为为随随机机过过程程(t)的的一一维维分分布布函函数数，简记为F1(x1, t1)， 即 F1(x1,t1)=P(t1)x1 (2.1 - 1)2、一维概率密度函数：一维概率密度函数： 如如果果一一维维分分布布函函数数F1(x1, t1)对对x1的的偏偏导导数数存存在在，则则称称f1(x1, t1)为为(t)的的一维概率

6、密度函数一维概率密度函数。即有第第 2 2 章章 随随 机机 过过 程程 显然，随随机机过过程程的的一一维维分分布布函函数数或或一一维维概概率率密密度度函函数数仅仅仅仅描描述述了了随随机机过过程程在在各各个个孤孤立立时时刻刻的的统统计计特特性性，而而没没有有说说明明随随机机过过程程在在不不同同时时刻刻取取值值之之间间的的内内在在联联系系，为此需要进一步引入二维分布函数。 3、二维分布函数和二维概率密度函数、二维分布函数和二维概率密度函数 任给两个时刻t1, t2T，则随机变量(t1)和(t2)构成一个二元随机变量(t1), (t2)，称F2(x1,x2; t1,t2)=P(t1)x1, (t2

7、)x2 为随机过程(t)的二维分布函数二维分布函数。 如果存在则称f2(x1,x2; t1,t2)为(t)的二维概率密度函数二维概率密度函数。第第 2 2 章章 随随 机机 过过 程程 4、 n维分布函数和维分布函数和n维概率密度函数维概率密度函数 任给t1, t2, , tnT, 则(t)的n维分布函数维分布函数被定义为 Fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)=P(t1)x1,(t2)x2, (tn)xn 如果存在 则称fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)为(t)的n维概率密度函数维概率密度函数。 显然，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。第第

8、2 2 章章 随随 机机 过过 程程 三、随机过程的数字特征三、随机过程的数字特征三、随机过程的数字特征三、随机过程的数字特征 分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性, 但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。 1. 数学期望数学期望（又名均值均值或统计平均统计平均） 设设随随机机过过程程(t)在在任任意意给给定定时时刻刻t1的的取取值值(t1)是是一一个个随随机机变量，其概率密度函数为变量，其概率密度函数为f1(x1, t1)，则，则(t1)的的数学期望数学期望为为第第 2 2 章章 随随 机

9、机 过过 程程 注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t, x1改为x, 这时上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)， 于是 a(t)是是时时间间t的的函函数数，它它表表示示随随机机过过程程的的（n个样本函数曲线的）摆动中心摆动中心。 均值的性质：均值的性质： （1）设）设C是常数，则有是常数，则有E(C)=C ; (2) 设设X是一个随机变量，是一个随机变量， C是常数，则有是常数，则有E(CX)=C E(X); (3) 设设X和和Y是任意二个随机变量，则有是任意二个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+ E(Y); (4) 设设X和和Y是任意二个相互独立的随机变量，则

10、有是任意二个相互独立的随机变量，则有 E(XY)=E(X) E(Y) 此性质可推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况。第第 2 2 章章 随随 机机 过过 程程2. 方差方差-其定义为： D(t)常记为2(t)。可见方差等于均方值与数学期望平方差等于均方值与数学期望平方之差方之差。它表示随机过程在时刻它表示随机过程在时刻t对于均值对于均值a(t)的偏离程度的偏离程度. 均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系， 还需利用二维概率密度引入新的数字特征。第第 2 2 章章 随随 机机 过过 程程

11、B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2) = f2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2 式中，t1与t2是任取的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2时刻得到的数学期望；f2(x1,x2; t1,t2)为二维概率密度函数。 （2）（自）相关函数）（自）相关函数：定义为 3. 相关函数相关函数 衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。 （1）（自）（自） 协方差函数协方差函数：定义为第第 2 2 章章 随随 机机 过过 程程（3） （自）（自） 协方差函数和（自）相关函数的关系协

12、方差函数和（自）相关函数的关系B(t1, t2)=R(t1, t2)-a(t1)a(t2) (2.1 - 10) 若a(t1)=0或a(t2)=0，则B(t1, t2)=R(t1, t2)。 若t2t1，并令t2=t1+，则R(t1, t2)可表示为R(t1, t1+)。这说明，相相关关函函数数依依赖赖于于起始时刻起始时刻t1及及t2与与t1之间的时间间隔之间的时间间隔,即相关函数是即相关函数是t1和和的函数。的函数。 由于B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一过程的相关程度的， 因此，它们又常分别称为自协方差函数自协方差函数和自相关函数自相关函数。第第 2 2 章章 随随 机机 过

13、过 程程 （4）互协方差及互相关函数）互协方差及互相关函数 对于两个或更多个随机过程，可引入互协方差及互相关函数。 设(t)和(t)分别表示两个随机过程，则互协方差函数互协方差函数定义为 B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2) (2.1 - 11)而互相关函数互相关函数定义为 R(t1, t2)=E(t1)(t2) (2.1 - 12)第第 2 2 章章 随随 机机 过过 程程 作作 业业思考题（自作）：思考题（自作）： P61 3-1，3-2习习 题题 ： P61 3-22.2 2.2 平稳随机过程平稳随机过程 平稳随机过程的定义平稳随机过程的定义 各态历经性（遍历性）

14、各态历经性（遍历性） 平稳过程的自相关函数平稳过程的自相关函数 平稳过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度第第 2 2 章章 随随 机机 过过 程程 一、平稳随机过程的定义一、平稳随机过程的定义一、平稳随机过程的定义一、平稳随机过程的定义 1、狭义平稳随机过程（严平稳随机过程）、狭义平稳随机过程（严平稳随机过程） 指指随随机机过过程程的的统统计计特特性性（n n维维分分布布函函数数和和n n维维概概率率密密度度函函数数）不不随随时时间间的的推推移移而而变变化化。即：对于任意正整数n和任意实数t1，t2，tn, ，随机过程(t)，tT的n维概率密度函数满足如下关系：fn(x1, x2, , xn;

15、 t1, t2, , tn)=fn(x1, x2, , xn; t1+ , t2+ , , tn+ )则称(t)是平稳随机过程是平稳随机过程。 该定义说明，当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的， 具体到它它的的一一维维分分布布, 则则与与时间时间t无关，无关， 而二维分布只与时间间隔而二维分布只与时间间隔有关有关，即有(2.2 - 1)第第 2 2 章章 随随 机机 过过 程程 f1(x1, t1)=f1(x1) (2.2 - 2) f2(x1, x2; t1, t2)=f2(x1, x2; ) (2.2 - 3)（以上两式可由式（2.2 - 1）分别令n=1和

16、n=2, 并取 =-t1得证。 ） 2、广义平稳随机过程（宽平稳随机过程）、广义平稳随机过程（宽平稳随机过程） 随随机机过过程程(t)的的均均值值和和方方差差与与时时间间t无无关关， 而而其其相相关关函函数数只只与时间间隔与时间间隔有关有关；即：；即： 则称随机过程则称随机过程(t)为广义平稳随机过程或宽平稳随机过程为广义平稳随机过程或宽平稳随机过程。2(t)=2R(t1, t1+ )=E(t1)(t1+)=R()第第 2 2 章章 随随 机机 过过 程程 3、狭义平稳随机过程和广义平稳随机过程的关系、狭义平稳随机过程和广义平稳随机过程的关系 狭狭义义平平稳稳随随机机过过程程必必定定是是广广义义平平稳稳随随机机过过程程，但但反反过过来来一一般般不不成成立立。 （因为广义平稳随机过程的定义只涉及与一维、 二维概率密度有关的数字特征，所以一个严平稳随机过程只要它的均方值E2(t)有界，则它必定是广义平稳随机过程，但反过来一般不成立。） 通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的， 且均指广义平稳随机过程，广义平稳随机过程， 简称