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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑矩阵的物理意义 矩阵的内涵 假设不熟谙线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是其次代数学模型，这就带来了教学上的困难。 * 矩阵到底是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们假设认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的开展式，那么为什么这种开展式具有如此广泛的应用？更加是，为什么偏偏二维的开展式如此有用？假设矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再开展一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？ * 矩阵的乘法规矩到底为什么这样规定
2、？为什么这样一种怪异的乘法规矩却能够在实践中发挥如此巨大的成果？好多看上去貌似是完全不相关的问题，结果竟然都归结到矩阵的乘法，这莫非不是很奇异的事情？莫非在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规矩下面，包含着世界的某些本质规律？假设是的话，这些本质规律是什么？ * 行列式到底是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规矩？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，假设必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是由于没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规矩，看上去跟矩阵的任何计算规矩都没有直观的联系，为
3、什么又在好多方面抉择了矩阵的性质？莫非这一切仅是巧合？ * 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么肆意，为什么竟是可行的？ * 对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？ * 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“好像”？这里的“好像”是什么意思？ * 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊疑，由于Ax =x，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数，切实有点奇异。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的到底是什么？
4、今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开头，一步步往上加定义，可以形成好多空间。线形 空间其实还是对比初级的，假设在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间得志完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再得志完备性，就得到希尔伯特空间。 总之，空间有好多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后得志某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点古怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。 我们一般人
5、最熟谙的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的十足时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟谙的这样一个空间有些什么最根本的特点。留心想想我们就会知道，这个三维的空间：1. 由好多（实际上是无穷多个）位置点组成；2. 这些点之间存在相对的关系；3. 可以在空间中定义长度、角度；4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动， 事实上，不管是什么空间，都务必容纳和支持在其中发生的符合规矩的运动（变换）。你会察觉，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，譬如拓扑空间中有拓
6、扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。 因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换那么规定了对应空间的运动。 下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们供认线性空间是个空间，那么有两个最根本的问题务必首先得到解决，那就是： 1. 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？ 2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？ 我们先来回复第一个问题，回复这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，
7、可以直截了当的给出答案。线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的手段，都可以表达为向量的形式。通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子： L1. 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。假设我们以x0, x1, ., xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系数。值得说明的是，基的选取有多种手段，只要所选取的那一组基线性无关就可以。这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提一下而已。 L2. 闭区间a, b上的n阶连续可微函数的全体，构成一个线性
8、空间。也就是说，这个线性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，确定可以找到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该连续函数的差为0，也就是说，完全相等。这样就把问题归结为L1了。后面就不用再重复了。 所以说，向量是很厉害的，只要你找到适合的基，用向量可以表示线性空间里任何一个对象。这里头大有文章，由于向量外观上只是一列数，但是其实由于它的有序性，所以除了这些数本身携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息。为什么在程序设计中数组最简朴，却又威力无穷呢？根本理由就在于此。这是另一个问题了，这里就不说了。 下面来回复其次个问题，这个问题的回复会涉及到
9、线性代数的一个最根本的问题。 线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。那么，线性变换如何表示呢？很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。 简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。 是的，矩阵的本质是运动的描述。假设以后有人问你矩阵是什么，那么你就可以嘹亮地报告他，矩阵的本质是运动
10、的描述 可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是n x 1矩阵吗？这实在是很奇异，一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示。能说这是巧合吗？假设是巧合的话，那可真是幸运的巧合！可以说，线性代数中大多数奇异的性质，均与这个巧合有直接的关系。 “矩阵是运动的描述”，到现在为止，犹如大家都还没什么观法。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。由于运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地报告你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是
11、什么意思的人，犹如也不多。简而言之，在我们人类的阅历里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念。而连续这个事情，假设不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊人的数学分外强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些出名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去 活来。由于这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的重温微积分。我就是读了这本书开头的片面，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。 不过在我这个理解矩阵的文章里，“运动”的概念不是微积分
12、中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。譬如这个时刻在A点，经过一个“运动”，一下子就“跃迁”到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的阅历的。不过了解一点量子物理常识的人，就会马上指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上腾跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们查看不到。但是不管怎么说，“运动”这个词用在这里，还是轻易产生歧义的，说得更切当些，理应是“跃迁”。因此这句话可以改成：“矩阵是线性空间里跃迁的描述”。 可是这样说又太物理，也就是说太概括，而不够数学，也就是说不够抽象。
13、因此我们结果换用一个正牌的数学术语变换，来描述这个事情。这样一说，大家就理应明白了，所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。譬如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再譬如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的挚友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但全体的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其理由，好多书上都写着“为了使用中便当”，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的理由，是由于在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中举
14、行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是一致的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。又扯远了，有兴趣的读者可以去看计算机图形学几何工具算法详解。 一旦我们理解了“变换”这个概念，矩阵的定义就变成： “矩阵是线性空间里的变换的描述。” 到这里为止，我们终究得到了一个看上去对比数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，选中定一组基之后，就可以表示为矩阵。因此我们还要说领会毕竟什么是线性变换，什么是基，什么叫选定一组基。线性变换的定
15、义是很简朴的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不一致的对象x和y，以及任意实数a和b，有： T(ax + by) = aT(x) + bT(y)， 那么就称T为线性变换。 定义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换到底是一种什么样的变换？我们方才说了，变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思，就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就确定是线性变换，也就
16、确定可以用一个非奇异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换，确定是一个线性变换。有的人可能要问，这里为什么要强调非奇异矩阵？所谓非奇异，只对方阵有意义，那么非方阵的处境怎么样？这个说起来就会对比冗长了，结果要把线性变换作为一种映射，并且议论其映射性质，以及线性变换的核与像等概念才能彻底讲领会。我觉得这个不算是重点，假设切实有时间的话，以后写一点。以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的线性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，而且是非奇异方阵。学习一门学问，最重要的是把握主干内容，急速建立对于这门学问的整体概念，不必一开头就考虑全体的细枝末节和特殊处境，自乱阵脚。 接着往下说，什
