2017-20212017-2021 年高考真题年高考真题 导数导数 解答题全集解答题全集 （学生版（学生版+ +解析版）解析版）1 （2021新高考）已知函数f（x）（x1）exax2+b（）讨论 f（x）的单调性；（）从下面两个条件中选一个，证明：f（x）恰有一个零点a212，b2a；2120a，b2a2 （2021北京）已知函数 f（x）=322+（1）若 a0，求 yf（x）在（1，f（1） ）处的切线方程；（2）若函数f（x）在x1 处取得极值，求f（x）的单调区间，以及最大值和最小值3 （2021天津）已知 a0，函数 f（x）axxex（1）求曲线 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程；（2）证明函数 f（x）存在唯一的极值点；（3）若a，使得 f（x）a+b 对任意的 xR R 恒成立，求实数 b 的取值范围4 （2021浙江）设 a，b 为实数，且 a1，函数 f（x）axbx+e2（xR R） （）求函数 f（x）的单调区间；（）若对任意 b2e2，函数 f（x）有两个不同的零点，求a 的取值范围；（）当ae 时，证明：对任意be4，函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，满足x22x +122（注：e2.71828 是自然对数的底数）5 （2021甲卷）设函数 f（x）a2x2+ax3lnx+1，其中 a0（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 yf（x）的图像与 x 轴没有公共点，求 a 的取值范围6 （2021乙卷）已知函数 f（x）ln（ax） ，已知 x0 是函数 yxf （x）的极值点（1）求 a；（2）设函数 g（x）=()证明：g（x）17 （2021新高考）已知函数f（x）x（1lnx） （1）讨论 f（x）的单调性；+()第1 1页（共7676页）（2）设 a，b 为两个不相等的正数，且blnaalnbab，证明：2+e8 （2021乙卷）已知函数 f（x）x3x2+ax+1（1）讨论 f（x）的单调性；（2）求曲线 yf（x）过坐标原点的切线与曲线yf（x）的公共点的坐标9 （2021甲卷）已知 a0 且 a1，函数 f（x）=（x0） （1）当 a2 时，求 f（x）的单调区间；（2）若曲线 yf（x）与直线 y1 有且仅有两个交点，求a 的取值范围10 （2020新课标）已知函数f（x）exa（x+2） （1）当 a1 时，讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围11 （2020天津）已知函数 f（x）x3+klnx（kR R ） ，f（x）为 f（x）的导函数（）当 k6 时，（）求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程；（）求函数 g（x）f（x）f（x）+ 的单调区间和极值；（）当 k3 时，求证：对任意的 x1，x21，+） ，且 x1x2，有(1)(2)12(1)+(2)291112 （2020海南）已知函数 f（x）aex 1lnx+lna（1）当 ae 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若 f（x）1，求 a 的取值范围13 （2020北京）已知函数 f（x）12x2（）求曲线 yf（x）的斜率等于2 的切线方程；（） 设曲线 yf（x）在点 （t，f（t） ）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S （t） ，求 S（t）的最小值14 （2020浙江）已知 1a2，函数 f（x）exxa，其中 e2.71828为自然对数的底数（）证明：函数 yf（x）在 （0，+）上有唯一零点；（）记 x0为函数 yf（x）在 （0，+）上的零点，证明：第2 2页（共7676页）（） 1 x0 2( 1)；（）x0f（e0）（e1） （a1）a15 （2020江苏）已知关于x 的函数 yf（x） ，yg（x）与 h（x）kx+b（k，bR R）在区间 D 上恒有 f（x）h（x）g（x） （1）若 f（x）x2+2x，g（x）x2+2x，D（，+） ，求 h（x）的表达式；（2）若 f（x）x2x+1，g（x）klnx，h（x）kxk，D（0，+） ，求 k 的取值范围；（3）若f（x）x42x2，g（x）4x28，h（x）4（t3t）x3t4+2t2（0|t| 2） ，Dm，n2，2，求证：nm 716 （2020新课标）设函数 f（x）x3+bx+c，曲线 yf（x）在点（ ，f（ ） ）处的切线2211与 y 轴垂直（1）求 b；（2）若 f（x）有一个绝对值不大于 1 的零点，证明：f（x）所有零点的绝对值都不大于117 （2020新课标）已知函数f（x）sin2xsin2x（1）讨论 f（x）在区间（0，）的单调性；（2）证明：|f（x）|33；82222 n3（3）设 nN N*，证明：sin xsin 2xsin 4xsin 2 x418 （2020新课标）已知函数f（x）2lnx+1（1）若 f（x）2x+c，求 c 的取值范围；（2）设 a0，讨论函数 g（x）=()()的单调性19 （2020新课标）已知函数f（x）ex+ax2x（1）当 a1 时，讨论 f（x）的单调性；（2）当 x0 时，f（x）2x3+1，求 a 的取值范围20 （2020新课标）已知函数f（x）x3kx+k2（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）有三个零点，求 k 的取值范围21 （2019全国）已知函数 f（x）= （x2ax） 第3 3页（共7676页）1（1）当 a1 时，求 f（x）的单调区间；（2）若 f（x）在区间0，2的最小值为3，求 a22 （2019新课标）已知函数f（x）2x3ax2+b（1）讨论 f（x）的单调性；（2）是否存在 a，b，使得 f（x）在区间0，1的最小值为1 且最大值为 1？若存在，求出 a，b 的所有值；若不存在，说明理由23 （2019新课标）已知函数f（x）2x3ax2+2（1）讨论 f（x）的单调性；（2）当 0a3 时，记 f（x）在区间0，1的最大值为 M，最小值为 m，求 Mm 的取值范围24 （2019浙江）已知实数 a0，设函数 f（x）alnx+1 + ，x0（）当 a= 时，求函数 f（x）的单调区间；（）对任意 x1342，+）均有 f（x）22，求 a 的取值范围注：e2.71828为自然对数的底数25 （2019新课标）已知函数f（x）（x1）lnxx1证明：（1）f（x）存在唯一的极值点；（2）f（x）0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数26 （2019江苏）设函数 f（x）（xa） （xb） （xc） ，a，b，cR R，f（x）为 f（x）的导函数（1）若 abc，f（4）8，求 a 的值；（2）若 ab，bc，且 f（x）和 f（x）的零点均在集合3，1，3中，求 f（x）的极小值；（3）若 a0，0b1，c1，且 f（x）的极大值为 M，求证：M27 （2019天津）设函数 f（x）lnxa（x1）ex，其中 aR R（）若 a0，讨论 f（x）的单调性；（）若 0a，（）证明 f（x）恰有两个零点；（）设 x0为 f（x）的极值点，x1为 f（x）的零点，且 x1x0，证明 3x0 x12第4 4页（共7676页）427128 （2019天津）设函数 f（x）excosx，g（x）为 f（x）的导函数（）求 f（x）的单调区间；（）当 x ， 时，证明 f（x）+g（x） （x）0；422（）设xn为函数 u（x）f（x）1 在区间（2n+ ，2n+ ）内的零点，其中nN N，2证明 2n+2xn 004229 （2019新课标）已知函数f（x）2sinxxcosxx，f（x）为 f（x）的导数（1）证明：f（x）在区间（0，）存在唯一零点；（2）若 x0，时，f（x）ax，求 a 的取值范围30 （2019新课标）已知函数f（x）lnx+11（1）讨论 f（x）的单调性，并证明 f（x）有且仅有两个零点；（2）设 x0是 f（x）的一个零点，证明曲线 ylnx 在点 A（x0，lnx0）处的切线也是曲线yex的切线31 （2019北京）已知函数 f（x）=4x3x2+x（）求曲线 yf（x）的斜率为 1 的切线方程；（）当 x2，4时，求证：x6f（x）x；（）设 F（x）|f（x）（x+a）|（aR R） ，记 F（x）在区间2，4上的最大值为 M（a） 当 M（a）最小时，求 a 的值32 （2019新课标）已知函数f（x）sinxln（1+x） ，f（x）为f（x）的导数证明：（1）f（x）在区间（1， ）存在唯一极大值点；21（2）f（x）有且仅有 2 个零点33 （2018北京）设函数 f（x）ax2（4a+1）x+4a+3ex（）若曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线与 x 轴平行，求 a；（）若 f（x）在 x2 处取得极小值，求 a 的取值范围34 （2018北京）设函数 f（x）ax2（3a+1）x+3a+2ex（）若曲线 yf（x）在点（2，f（2） ）处的切线斜率为 0，求 a；（）若 f（x）在 x1 处取得极小值，求 a 的取值范围35 （2018新课标）已知函数f（x）（2+x+ax2）ln（1+x）2x（1）若 a0，证明：当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0；第5 5页（共7676页）（2）若 x0 是 f（x）的极大值点，求 a36 （2018新课标）已知函数f（x）aexlnx1（1）设 x2 是 f（x）的极值点，求 a，并求 f（x）的单调区间；（2）证明：当 a时，f（x）037 （2018新课标）已知函数f（x）=2+11（1）求曲线 yf（x）在点（0，1）处的切线方程；（2）证明：当 a1 时，f（x）+e038 （2018新课标）已知函数f（x）exax2（1）若 a1，证明：当 x0 时，f（x）1；（2）若 f（x）在（0，+）只有一个零点，求a39 （2018浙江）已知函数 f（x）= lnx（）若 f（x）在 xx1，x2（x1x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）88ln2；（）若a34ln2，证明：对于任意k0，直线ykx+a 与曲线 yf（x）有唯一公共点40 （2018天津）已知函数 f（x）ax，g（x）logax，其中 a1（）求函数 h（x）f（x）xlna 的单调区间；（）若曲线yf（x）在点（x1，f（x1） ）处的切线与曲线yg（x）在点（x2，g（x2） ）处的切线平行，证明 x1+g（x2）= ；（）证明当 a的切线41 （2018江苏）记f（x） ，g（x）分别为函数f（x） ，g（x）的导函数若存在x0R R ，满足 f（x0）g（x0）且 f（x0）g（x0） ，则称x0为函数 f（x）与g（x）的一个“S点” （1）证明：函数 f（x）x 与 g（x）x2+2x2 不存在“S 点” ；（2）若函数 f（x）ax21 与 g（x）lnx 存在“S 点” ，求实数 a 的值；（3）已知函数 f（x）x2+a，g（x）=对任意 a0，判断是否存在 b0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点” ，并说明理由42 （2018新课标）已知函数f（x）=3x3a（x2+x+1） 第6 6页（共7676页）1时，存在直线2l，使 l 是曲线 yf（x）的切线，也是曲线 yg（x）1（1）若 a3，求 f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）只有一个零点43 （2018新课标）已知函数f（x）=x+alnx（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，证明：(1)(2)121a244 （2017新课标）已知函数f（x）ae2x+（a2）exx（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围45 （2017全国）已知函数 f（x）ax33（a+1）x2+12x（1）当 a0 时，求 f（x）的极。
