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1、本文格式为Word版,下载可任意编辑动点产生的线段和差问题 动点产生的线段和差问题 例1 2022年天津市中考第25题 在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(0,4),点E在OB上,且OAEOBA (1)如图1,求点E的坐标; (2)如图2,将AEO沿x轴向右平移得到AEO,连结AB、BE 设AAm,其中0m2,使用含m的式子表示AB2BE2,并求出访AB2BE2 取得最小值时点E的坐标; 当ABBE取得最小值时,求点E的坐标(直接写出结果即可) 图1 图2 动感体验 请开启几何画板文件名“13天津25”,拖动点A在线段AO上运动,可以体验到,当A运动到AO的中点时,AB2BE2取得最小
2、值当A、B、E三点共线时,ABBE取得最小值 请开启超级画板文件名“13天津25”,拖动点A在线段AO上运动,可以体验到,当A运动到AO的中点时,AB2BE2取得最小值当A、B、E三点共线时,ABBE取得最小值 思路点拨 1图形在平移的过程中,对应点的连线平行且相等,EEAAm 2求AB2BE2的最小值,第一感觉是用勾股定理列关于m的式子 3求ABBE的最小值,第一感觉是典型的“牛喝水”问题轴对称,两点之间线段最短 总分值解答 (1)由OAEOBA,AOEBOA,得AOEBOA 所以 AOBO24因此? ?OE2OEOA解得OE1所以E(0,1) (2)如图3,在RtAOB中,OB4,OA2m
3、,所以AB216(2m)2 在RtBEE中,BE3,EEm,所以BE29m2 所以AB2BE216(2m)29m22(m1)227 所以当m1时,AB2BE2取得最小值,最小值为27 此时点A是AO的中点,点E向右平移了1个单位,所以E(1,1) 如图4,当ABBE取得最小值时,求点E的坐标为(,1) 87 图3 图4 考点伸展 第(2)题这样解:如图4,过点B作y轴的垂线l,作点E关于直线l的对称点E, 所以ABBEABBE 当A、B、E三点共线时,ABBE取得最小值,最小值为线段AE 在RtAOE中,AO2,OE7,所以AE53 当A、B、E三点共线时,解得m? AOAOm2所以? ?47
4、BOEO88此时E(,1) 77例2 2022年滨州市中考第24题 如图1,在平面直角坐标系中,抛物线yax2bxc经过A(2, 4 )、O(0, 0)、 B(2, 0)三点 (1)求抛物线yax2bxc的解析式; (2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AMOM的最小值 图1 动感体验 请开启几何画板文件名“12滨州24”,拖动点M在抛物线的对称轴上运动(如图2),可以体验到,当M落在线段AB上时,根据两点之间线段最短,可以知道此时AMOM最小(如图3) 请开启超级画板文件名“12滨州24”,拖动点M, M落在线段AB上时, AMOM最小 答案 (1)y?1x2?x。 (2)AMOM的最小值
5、为422 图2 图3 例3 2022年山西省中考第26题 如图1,在平面直角坐标系中,抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点 (1)求直线AC的解析式及B、D两点的坐标; (2)点P是x轴上的一个动点,过P作直线l/AC交抛物线于点Q探索究:随着点P的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由; (3)请在直线AC上找一点M,使BDM的周长最小,求出点M的坐标 图1 动感体验 请开启几何画板文件名“12山西26”,拖动点P在x轴上运动,可以体验到,点Q有3个时刻可以
6、落在抛物线上拖动点M在直线AC上运动,可以体验到,当M落在BD上时,MBMD最小,MBD的周长最小 思路点拨 1第(2)题探究平行四边形,按照AP为边或者对角线分两种处境议论 2第(3)题是典型的“牛喝水”问题,构造点B关于“河流”AC的对称点B,那么M落在BD上时,MBMD最小,MBD的周长最小 总分值解答 (1)由yx22x3(x1)(x3)(x1)24, 得A(1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4) 直线AC的解析式是y3x3 (2)Q1(2, 3),Q2(1?7,?3),Q3(1?7,?3) (3)设点B关于直线AC的对称点为B,联结BB交AC于F 联结BD,BD与
7、交AC的交点就是要探求的点M 作BEx轴于E,那么BBEBAFCAO AFBFAB12在RtBAF中,AB4,所以BF? ?1310101236BEBEBB24,BB?2BF?,所以BE?,BE? ?5513101036212112所以OE?BE?OB?3?所以点B的坐标为(?,) 5555由于点M在直线y3x3上,设点M的坐标为(x, 3x3) 在RtBBE中, 12123x?3?DDMMyD?yByM?yB5?5 由,得所以?2121BDBMxD?xBxM?xB1?x?554?解得x?99132所以点M的坐标为(,) 353535 图2 图3 考点伸展 第(2)题的解题思路是这样的: 如图4,当AP是平行四边形的边时,CQ/AP,所以点C、Q关于抛物线的对称轴对称,点Q的坐标为(2, 3) 如图5,当AP是平行四边形的对角线时,点C、Q分居x轴两侧,C、Q到x轴的距离相等 解方程x22x33,得x?1?7所以点Q的坐标为(1?7,?3)或 (1?7,?3) 图4 图5 7