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1、1.了解构成函数的要素；了解映射的概念了解构成函数的要素；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法的方法(如图象法、列表法、解析法如图象法、列表法、解析法)表示函数表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单地应用了解简单的分段函数，并能简单地应用.1.函数与映射的概念函数与映射的概念函数函数映射映射两集合两集合A、B设A、B是两个非空是两个非空设A、B是两个非空是两个非空对应关系关系f：AB如果按照某种确定如果按照某种确定的的对应关系关系f，使，使对于集合于集合A中的中的一个数一个数x，在集合，在集合B中中的的数数f(x)和它和它对
2、应如果按某一个确定的如果按某一个确定的对应关系关系f，使，使对于集合于集合A中的中的一个元素一个元素x，在集合在集合B中都有中都有的元素的元素y与之与之对应数集数集集集合合任意任意任意任意唯一确唯一确定定都有唯一确定都有唯一确定函数函数映射映射名称名称称称为从集为从集合合A到集合到集合B的一个的一个函数函数称对应称对应为从集为从集合合A到集合到集合B的一个映射的一个映射记法记法yf(x)，xA对应对应f：AB是一个映是一个映射射f：ABf：AB思考探究思考探究1映射与函数有什么区别？映射与函数有什么区别？提示：提示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个函数是特殊的映射，二者区别在于映
3、射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集是非空数集.2.函数的相关概念函数的相关概念(1)函数的三要素是函数的三要素是、和和.(2)相等函数相等函数如果两个函数的如果两个函数的和和完全一致，则这两完全一致，则这两个函数相等个函数相等.定义域定义域值域值域对应关系对应关系定义域定义域对应关系对应关系思考探究思考探究2如果两个函数的定义域与值域相同，则它们是否为相如果两个函数的定义域与值域相同，则它们是否为相等函数？等函数？提示：提示：不一定，如函数不一定，如函数f(x)x和函数和函数g(x)x的定义域和的定义
4、域和值域均为值域均为R，但两者显然不是同一函数，但两者显然不是同一函数.3.函数的表示法函数的表示法表示函数的常用方法有：表示函数的常用方法有： 、.解析法解析法列表法列表法图象法图象法1.若对应关系若对应关系f：AB是从集合是从集合A到集合到集合B的一个映射，则下的一个映射，则下面说法错误的是面说法错误的是()A.A中的每一个元素在集合中的每一个元素在集合B中都有对应元素中都有对应元素B.A中两个元素在中两个元素在B中的对应元素必定不同中的对应元素必定不同C.B中两个元素若在中两个元素若在A中有对应元素，则它们必定不同中有对应元素，则它们必定不同D.B中的元素在中的元素在A中可能没有对应元素
5、中可能没有对应元素解析：解析：根据映射的概念可知，根据映射的概念可知，A中两个元素可以和中两个元素可以和B中的同一中的同一个元素对应，即允许多对一，不允许一对多个元素对应，即允许多对一，不允许一对多.答案：答案：B2.如图所示，可表示函数如图所示，可表示函数yf(x)的图象的只可能是的图象的只可能是()解析：解析：A、B、C选项中都有选项中都有“一对二一对二”情形，不符合函数定义情形，不符合函数定义中从集合中从集合A到集合到集合B应为应为“一一对应一一对应”或或“多对一对应多对一对应”，只有，只有D符合函数定义符合函数定义.故选故选D.答案：答案：D3.下列各组函数是同一函数的是下列各组函数是
6、同一函数的是()A. y 与与y1B. y 与与yC. y 与与y2x1D. y 与与yx解析：解析：y排除排除A；y 排除排除B；y 排除排除C.答案：答案：D4.若若f(x)x2bxc，且，且f(1)0，f(3)0，则，则f(1).解析：解析：f(x)x2bxc，f(1)0，f(3)0.13b,13c.即即b4，c3.f(x)x24x3.f(1)1438.答案：答案：85.设函数设函数f(x)，若，若f(x)10，则，则x.解析：解析：当当x0时，时，2x0，故不合题意；，故不合题意；当当x0时，时，x2110，x3.答案：答案：3对于映射对于映射f：AB的理解要抓住以下三点：的理解要抓住
7、以下三点：1.集合集合A、B及对应关系及对应关系f是确定的，是一个整体，是一个是确定的，是一个整体，是一个系统；系统；2.对应关系对应关系f具有方向性，即强调从集合具有方向性，即强调从集合A到集合到集合B的对应，的对应，它与从它与从B到到A的对应关系是不同的；的对应关系是不同的；3.对于对于A中的任意元素中的任意元素a，在，在B中有唯一元素中有唯一元素b与之相对应与之相对应.其要点在其要点在“任意任意”、“唯一唯一”两词上两词上.已知映射已知映射f：AB.其中其中ABR，对应关系，对应关系f：xyx22x，对于实数，对于实数kB，在集合，在集合A中不存在元素与之相中不存在元素与之相对应，则对应
8、，则k的取值范围是的取值范围是()A.k1B.k1C.k1D.k1思路点拨思路点拨A中不存在元素与中不存在元素与k对应对应方程方程x22xk无解，无解，利用判别式可以求利用判别式可以求k的范围的范围.课堂笔记课堂笔记由题意，方程由题意，方程x22xk无实数根，也就是无实数根，也就是x22xk0无实数根无实数根.(2)24k4(1k)0，k1.当当k1时，集合时，集合A中不存在元素与实数中不存在元素与实数kB对应对应.答案答案A若若15B，则在集合，则在集合A中与之对应的元素中与之对应的元素x为何值？为何值？解：解：15B，x22x15.即即x22x150解之得解之得x3或或x5.求函数解析式的
9、常用方法求函数解析式的常用方法1.配凑法：对配凑法：对f(g(x)的解析式进行配凑变形，使它能用的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用表示出来，再用x代替两边的所有代替两边的所有“g(x)”即可；即可；2.换元法：设换元法：设tg(x)，解出，解出x，代入，代入f(g(x)，得，得f(t)的解析式的解析式即可；即可；3.待定系数法：若已知待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；4.赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出
10、其解析式.5.解方程组法：利用已给定的关系式，构造出一个新的关解方程组法：利用已给定的关系式，构造出一个新的关系式，通过解关于系式，通过解关于f(x)的方程组求的方程组求f(x).特别警示特别警示函数的解析式是函数表示法的一种函数的解析式是函数表示法的一种.求函数的求函数的解析式一定要说明函数的定义域解析式一定要说明函数的定义域.(1)已知已知f(x)是一次函数，且满足是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求，求f(x)的解析式；的解析式；(2)已知已知，求，求f(x)的解析式的解析式.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)设设f(x)axb(a0)，则则3f(x1)2f(x1)
11、3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即即ax5ab2x17，不论，不论x为何值都成立为何值都成立.解得解得f(x)2x7.(2)法一：法一：设设t1，则，则x(t1)2(t1).代入原式有代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.f(x)x21(x1).法二：法二：x2()2211(1)21，f(1)(1)21(11)，即即f(x)x21(x1).解：解：f(x)2f()3x，以以代代x，则，则f()2f(x)3.由由联立消去联立消去f()得得f(x)x(x0).故故f(x)x(x0).若将若将(2)中的条件改变中的条件改变“f(x)2f()3x”，如何求解？，如何求解
12、？分段函数是指自变量分段函数是指自变量x在不同取值范围内对应关系不在不同取值范围内对应关系不同的函数，解决与分段函数有关的问题，最重要的就是逻同的函数，解决与分段函数有关的问题，最重要的就是逻辑划分思想，即将问题分段解决，还要熟练掌握研究分段辑划分思想，即将问题分段解决，还要熟练掌握研究分段函数性质函数性质(奇偶性、单调性奇偶性、单调性)的一般方法的一般方法.特别警示特别警示分段函数的解析式虽然由几部分构成，但它分段函数的解析式虽然由几部分构成，但它表示的是一个函数表示的是一个函数.设函数设函数f(x)若若f(4)f(0)，f(2)2，则关于，则关于x的方程的方程f(x)x的解的个数为的解的个
13、数为()A.1B.2C.3D.4思路点拨思路点拨求求b，c求求f(x)的解析式的解析式解方程解方程f(x)x课堂笔记课堂笔记法一：法一：若若x0，f(x)x2bxc.f(4)f(0)，f(2)2，解得解得f(x)当当x0时，由时，由f(x)x，得，得x24x2x，解得解得x2，或，或x1；当当x0时，由时，由f(x)x，得，得x2.方程方程f(x)x有有3个解个解.法二：法二：由由f(4)f(0)且且f(2)2，可得，可得f(x)x2bxc的对称轴是的对称轴是x2，且顶点为，且顶点为(2，2)，于，于是可得到是可得到f(x)的简图的简图(如图所示如图所示).方程方程f(x)x的解的个数就是函数
14、图象的解的个数就是函数图象yf(x)与与yx的图象的交点的个数，的图象的交点的个数，所以有所以有3个解个解.答案答案C分段函数是高考的热点内容，以考查求分段函数的分段函数是高考的热点内容，以考查求分段函数的函数值为主，属容易题，但函数值为主，属容易题，但09年山东高考将函数的周期年山东高考将函数的周期性应用到求分段函数函数值的过程中，使试题难度性应用到求分段函数函数值的过程中，使试题难度陡然增加，这也代表了一种新的考查方向陡然增加，这也代表了一种新的考查方向.考题印证考题印证(2009山东高考山东高考)定义在定义在R上的函数上的函数f(x)满足满足f(x)则则f(2009)的值为的值为()A.
15、1B.0C.1D.2【解析解析】x0时，时，f(x)f(x1)f(x2)，又又f(x1)f(x)f(x1)，两式相加得两式相加得f(x1)f(x2)，即，即f(x3)f(x)，故故f(x6)f(x3)f(x)，故函数周期为，故函数周期为6.f(2009)f(63345)f(5)f(1)log221.【答案答案】C自主体验自主体验已知符号函数已知符号函数sgnx则不等式则不等式(x1)sgnx2的的解集为解集为.解析：解析：当当x0时，时，sgnx1.由由(x1)sgnx2得得x1.当当x0时，时，sgnx0.不等式不等式(x1)sgnx2解集为解集为 .当当x0时，时，sgn1，由不等式由不等
16、式(x1)sgnx2得得x3.综上可知不等式综上可知不等式(x1)sgnx2的解集为的解集为x|x3或或x1.答案：答案：x|x3或或x11.已知已知f：xsinx是集合是集合A(A0,2)到集合到集合B0，的一个映射，则集合的一个映射，则集合A中的元素个数最多有中的元素个数最多有()A.4个个B.5个个C.6个个D.7个个解析：解析：A0,2，由，由sinx0得得x0，2；由；由sinx，得，得x，A中最多有中最多有5个元素个元素.答案：答案：B2.(2010枣庄模拟枣庄模拟)已知函数已知函数f(x)，那么，那么 ff()的值为的值为()A.9B.C.9D.解析：解析：由于由于ff()f(l
17、og2)f(2)32.答案：答案：B3.若若f(x)对任意实数对任意实数x恒有恒有2f(x)f(x)3x1，则，则f(x)()A.x1B.x1C.2x1D.3x3解析：解析：2f(x)f(x)3x1，用用x代代x得，得，2f(x)f(x)3x1，2得，得，3f(x)3x3，f(x)x1.答案：答案：B解析：解析：f(x)x22xa，f(bx)b2x22bxa9x26x2.则则a2，b3.f(x)x22x2，则则f(axb)f(2x3)(2x3)22(2x3)24x28x5.4.已知函数已知函数f(x)x22xa，f(bx)9x26x2，其中，其中xR，a，b为常数，则为常数，则f(axb).答
18、案：答案：4x28x55.已知函数已知函数f(x)满足满足f(ab)f(a)f(b)且且f(2)p，f(3)q，则则f(36).解析：解析：f(36)f(6)f(6)2f(23)2f(2)f(3)2(pq).答案：答案：2(pq)6.已知定义域为已知定义域为R的函数的函数f(x)满足满足f(f(x)x2x)f(x)x2x.(1)若若f(2)3，求，求f(1)；又若；又若f(0)a，求，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数设有且仅有一个实数x0，使得，使得f(x0)x0，求函数，求函数f(x)的的解析式解析式.解：解：(1)因为对任意因为对任意xR有有f(f(x)x2x)f(x)x2x，所以所以
19、f(f(2)222)f(2)222，又又f(2)3，从而，从而f(1)1.又又f(0)a，则，则f(a020)a020，即即f(a)a.(2)因为对任意因为对任意xR，有，有f(f(x)x2x)f(x)x2x，又有且仅有一个实数又有且仅有一个实数x0，使得，使得f(x0)x0，故对任意故对任意xR，有，有f(x)x2xx0.在上式中令在上式中令xx0，有，有f(x0)x0x0.又因为又因为f(x0)x0，所以，所以x00，故故x00或或x01.若若x00，则，则f(x)x2x，但方程，但方程x2xx有两个不相同实根有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故，与题设条件矛盾，故x00.若若x01，则有，则有f(x)x2x1，易验证该函数满足题设条件易验证该函数满足题设条件.综上，函数综上，函数f(x)的解析式为的解析式为f(x)x2x1.
