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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑高中数学探究性试题探究性试题有助于数学思维的提高 1 高中数学探究性试题 课堂教学改革的目的，一是要打破传统教学束缚学生手脚的陈旧做法；二是要遵循现代教导以人为本的的观念，给学生进展以最大的空间；三是能根据教材供给的根本学识，把培养学生创新精神和实践才能作为教学的重点。数学探究性学习是以学生探究为根本牲的一种教学活动形式。概括是指在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作议论为前提，以学生已有学识阅历和生活阅历为根基，以现行教材为根本探究内容，为学生供给充分自由表达、质疑、探究、议论问题的机遇，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，自己察觉问题
2、、提出问题、分析问题、解决问题的一种教学活动形式。它可使学生学会学习和掌管科学方法，为学生终身学习和进展奠定根基。 探究性试题有助于数学思维的提高。 1已知集合M是得志以下性质的函数f?x?的全体：在定义域内存在x0，使得 f?x0?1?f?x0?f?1?成立。 1是否属于集合M？说明理由； xa （2）设函数f?x?lg2?M，求a的取值范围； x?1 （1）函数f?x? （3）设函数y?2图象与函数y?x的图象有交点，证明：函数f?x?2?x?M。 xx2解：（1）若f?x?21112 ?1?x0?x0?1?0，?M，在定义域内存在x0，那么 x0?1x0x 方程x0?x0?1?0无解，f
3、?x? （ 2 1?M。 x） f?x?lg， aaaa?M?lg?lg?lg?a?2?x2?2ax?2?a?1?02222x?1x?1?x?1?11由?0，得a2?6a?4?0?a?3?5,2?2,3?5。 a?2时，x?；a?2时， 2 a?3?5,3?5。 （ 3 22?） f?x0?1?f?x0?f?1?2x0?1?x0?1?2x0?x0?3?2x0?2(x0?1)?22x0?1?x0?1?， 又函数y?2图象与函数y?x的图象有交点，设交点的横坐标为a， x?1 1 那么2a?a?0?2x0?1?x0?1?0，其中x0?a?1。 x2f?x0?1?f?x0?f?1?，即f?x?2?x
4、?M。 2已知等差数列?an?中，公差d?0，其前n项和为Sn，且得志a2?a3?45,a1?a4?14， （1）求数列?an?的通项公式； （2）通过bn?数列； （3）求f(n)?Sn构造一个新的数列?bn?，是否存在一个非零常数c，使?bn?也为等差n?cbn(n?N*)的最大值。 (n?2022)?bn?1 解：（1）等差数列?an?中，公差d?0， ?a2?a3?45?a2?a3?45?a2?5?d?4?an?4n?3。 ?a?9a?a?14a?a?1434?1?3?21?2n?n?Sn?1?4n?3?1?12? （2）Sn?，令c?，即得?2n?n?，bn?n?22?n?cn?c2
5、?bn?2n， 数列?bn?为等差数列，存在一个非零常数c? （ 3 1，使?bn?也为等差数列。 2） f(n)?bnn?(n?2022)?bn?1?n?2022?n?1?11?， 2022n?202222022?2022n 45?2022?即45?2022? ?2022?44?89?22022?7921?8020?0， ?2022?44， n?45时，f?n?有最大值 459。 ?2050?46188603已知数列?an?中，a1?1,且点P?an,an?1?n?N?在直线x?y?1?0上. （1）求数列?an?的通项公式； ?1 1 （2）若函数f(n)?的最小值； （3）设bn?123
6、n?n?N,且n?2?,求函数f(n)?n?a1n?a2n?a3n?an出g?n?的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。 1,Sn表示数列?bn?的前项和。试问：是否存在关于n的整式g?n?，使得 anS1?S2?S3?Sn?1?Sn?1?g?n?对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写 解:（）1?点P(an,an?1)在直线x?y?1?0上，即an?1?an?1,且a1?1?数列?an?是以1为首项，1为公差的等差数列。?an?1?(n?1)?1?n(n?2),a1?1也得志?an?n.?3分（2）?f(n)?111111111?,f(n?1)?，n?1n?22nn?2n?3n?
7、42n2n?12n?2111111?f(n?1)?f(n)?0,?6分2n?12n?2n?12n?22n?2n?17?f(n)是单调递增的，故f(n)的最小值是f(2)?。?8分12 （3）?bn?11111?Sn?1?,?Sn?Sn?1?(n?2),?10分n23nn即nSn?(n?1)Sn?1?Sn?1?1,?(n?1)Sn?1?(n?2)Sn?2?Sn?2?1,?，S2?S1?S1?1，?nSn?S1?S1?S2?Sn?1?n?1,?S1?S2?Sn?1?nSn?n?(Sn?1)?n(n?2)?g(n)?n.?13分 故存在关于n的整式g(n)?n，使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立
8、?14分 4设函数g?x?x?1，函数h?x?1,x?3,a?，其中a为常数且a?0，令函数x?3f?x?为函数g?x?和h?x? 的积函数。 （1）求函数f?x?的表达式，并求其定义域； （2）当a?1时，求函数f?x?的值域； 4（3）是否存在自然数a，使得函数f?x?的值域恰为?,?？若存在，试写出全体得志条 32件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由。 解：（1）f?x?11?x?1，x?0,a?a?0?。 x?3 （2）a?1?1?3?2，函数f?x?的定义域为?0,?，令x?1?t，那么x?t?1?，t?1,?， 4?4?2? f?x?F?t?t?t2?2t?41， 4t?
9、2t1 1 t?44?3?3?时，t?2?1,?，又t?1,?时，t?递减，F?t?单调递增， tt?2?2?16?16?fx，即函数的值域为?3,13?。 313? F?t?,（3）假设存在这样的自然数a得志条件，令x?1?t，那么 f?x?F?t?t?2t?2t?41， 4t?2tx?0,a?a?0?，那么t?1.a?1，要得志值域为?,?，那么要得志F?t?max?， 2?32?由于当且仅当t?11?1414有t?4中的等号成立，且此时F?t?恰为最大值， ?t?2时， t2t2?1,a?1?a?1， 又F?t?在?1,2?上是增函数，在2,a?1上是减函数，F?a?1?a?11?a?3
10、3?0?a?9， 综上，得 1?a?9 。 13x,x?2,2?,a为正常数。 2a?b（1）可以证明：定理“若a、b?R?，那么”?ab（当且仅当a?b时取等号） 25已知 f?x?a2x?推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）； （2）若f?x?0在?0,2?上恒成立，且函数f?x?的最大值大于1，求实数a的取值范围，并由此推测y?f?x?的单调性（无需证明）； （3）对得志（2）的条件的一个常数a，设x?x1时，f?x?取得最大值。试构造一个定义在 D?xx?2,且x?4k?2,k?N?上的函数g?x?，使当x?2,2?时，g?x?f?x?， 当x?D时，g?x?取
11、得最大值的自变量的值构成以x1为首项的等差数列。 解：（1）若a、b、c?R?，那么 a?b?c3。 ?abc（当且仅当a?b?c时取等号） 31 1 （2）f?x?a2x?成立， 又 3131?1?x?x?a2?x2?0在?0,2?上恒成立，即a2?x2在?0,2?上恒22?2?12x?0,2?，a2?2，即a?2， 2 ?f?x?2?2?212?212?x?a?x?a?x?23?1?1?2a?2?2? ?x2?a2?x2?a2?x2?2?2?3?3? x2?a2?12x2，即 3x?6a3时， fm263936?6?63?， ?a?1?a?a?ax?942226?6a?0,2?，a?0,6
12、。 综上，得a?3又x?2,6 。 ? 易知，f?x?是奇函数，x?值。 66a时，函数有最大值，x?a时，函数有最小33?6?666?a?a,2?故推测：x?2,?时，f?x?单调递减；x?3a,3a?时，f?x?33?单调递增。 （3）依题意，只需构造以4为周期的周期函数即可。 如对x?4k?2,4k?2?,k?N，x?4k?2,2?，此时g?x?g?x?4k?f?x?4k?， 即 g?x?a2?x?4k? 226已知函数f?x?ax?24?2b?bx，g?x?1?x?a?，?a,b?R? 1?x?4k?3,x?4k?2,4k?2?,k?N 。 22（1）当b?0时，若f?x?在?2,?上单调递增，求a的取值范围； （2）求得志以下条件的全体实数对?a,b?：当a是整数时，存在x0，使得f?x0?是f?x?的最大值，g?x0?是g?x? 的最小值； （3）对得志（2）的条件的一个实数对?a,b?，试构造一个定义在D?x|x?2，且 1 7
