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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑高中数学 第一二章立体几何复习讲义 一、立体几何学识点归纳 第一章 空间几何体 （一）空间几何体的布局特征 （1）多面体由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱 与棱的公共点叫做顶点。 旋转体把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的布局特征 1.棱柱 1.1棱柱有两个面彼此平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 ED彼此平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 FC侧面 AB1.2相关棱柱几何体
2、系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的底面侧棱关系： l?斜棱柱?底面是正多形棱柱?棱垂直于底面?正棱柱 ?直棱柱?其他棱柱?EFABDC四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩 形 长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体 1.3棱柱的性质： 侧棱都相等，侧面是平行四边形； 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质： 长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的D1C12平方和；【如图】AC12?AB2?AD2?AA1 A1DB1
3、CB（了解）长方体的一条对角线AC1与过顶点A的三条棱所 成 的 角 分 别 是 ?，?A， 那 么 cos2?cos2?cos2?1，sin2?sin2?sin2?2； （了解）长方体的一条对角线AC1与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是?，?，?， 那么cos2?cos2?cos2?2，sin2?sin2?sin2?1. 1.5侧面开展图：正n棱柱的侧面开展图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式： S直棱柱侧?c?hS直棱柱全?c?h?2S底，V棱柱?S底?h（其中c为底面周长，h 为棱柱的高） 2.圆柱 2.1圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其
4、余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面开展图：圆柱的侧面开展图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式： 2ABOC轴轴截面侧面底面母线ABOCS圆柱侧=2?rh；S圆柱全=2?rh?2?r，V圆柱=S底h=?rh（其中r为底面半径，h为圆柱高） 3.棱锥 3.1棱锥有一个面是多边形，其余 S侧面顶点各面是有一个公共顶点的三角形，由这高些面所围成的几何体叫做棱锥。 侧棱 正棱锥假设有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 底面斜
5、高3.2棱锥的性质： DCOH平行于底面的截面是与底面好像的正AB多边形，好像比等于顶点到截面的距离与顶点毕竟面的距离之比； 正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图：?SOB,?SOH,?SBH,?OBH 为直角三角形） 3.3侧面开展图：正n棱锥的侧面开展图是有n个全等的等腰三角形组成的。 3.4面积、体积公式：S正棱锥侧= 2111ch?，S正棱锥全=ch?S底，V棱锥=S底?h.（其中c223为底面周长，h?侧面斜高，h棱锥的高） 4.圆锥 4.1圆锥以直角三角形
6、的一向角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 4.2圆锥的性质： 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点毕竟面的距离之比； 轴截面是等腰三角形；如右图：?SAB S顶点轴如右图：l?h?r. 4.3圆锥的侧面开展图：圆锥的侧面开展图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。 4.4面积、体积公式： 222母线lArh轴截面O侧面12S圆锥侧=?rl，S圆锥全=?r(r?l)，V圆锥=?rh（其 3中 r为底面半径，h为圆锥的高，l为母线长） 5.棱台 5.1棱台用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的片面称为棱台. 5
7、.2正棱台的性质： 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形； 正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形； 如右图：四边形OMNO,OBBO都是直角梯 B底面S上底面高A下底面DDOBCM侧棱侧面斜高CN顶点OAB形 ?SOB与?SOB好像，留神考虑好像比. 棱台经常补成棱锥研究.如右图：?SOM与?SON,5.3棱台的外观积、体积公式：S全S上底S下底S侧，V棱台（SSS?S)h，（其中S,S是上，下底面面积，h为棱台的高） 6.圆台 6.1圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的片面叫做圆台. 6.2圆台的性质： 圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆； 圆台的轴截面是等腰梯
8、形； 圆台经常补成圆锥来研究。如右图： ?SOA与?SOB好像，留神好像比的应用. 6.3圆台的侧面开展图是一个扇环； 6.4圆台的外观积、体积公式：S全?r2?R2?(R?r)l， V圆台（SSS?S)h（?r2?rR?R2)h，（其中r，R为上下底面半径，h为高） 7.球 7.1球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. 或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称 S13ArO轴母线lBRh轴截面O上底面D侧面C下底面1313球； 7.2球的性质： 球心与截面圆心的连线垂直于截面； r?R2?d2（其中，球心到截面的距离
9、为d、 球心球面轴半径ORAr球的半径为R、截面的半径为r） 7.3球与多面体的组合体：球与正周围体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切. DAOBOCACdO1BDABCAc 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 7.4球面积、体积公式：S球?4?R,V球?243?R（其中R为球的半径） 332?，那么正方体的棱3例：（06年福建卷）已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为 长为_ （二）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图是查看者从三个不同位置查看同一个空间几何体而画出的图形； 正视图光线从几何体的前面向后面正投影，得
10、到的投影图； 侧视图光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图； 正视图光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图； 注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高 度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”. （2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。 3.直观图： 3.1直观图是查看着站在某一点查看一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 3.2斜二测法： step1：在已知图形中取彼此垂直的轴Ox、Oy，（即取?xoy?90? ）； step2：画直观图时，把
11、它画成对应的轴ox,oy，取?xoy?45?(or135?)，它们确定的平面表示水平平面； step3：在坐标系xoy中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行 于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。 结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的 2倍. 4解决两种常见的题型时应留神：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”. （2）由几何体的直观图画三视图时，能望见的轮廓线和棱画成实线，不能望见的轮廓线和棱画成虚线。 其次章 点、直线、平面之间的位置关系 （一） 平面的根本性质 1.平面无限延展，无边界 1.1三个定理与三个推论 公理1：假设一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。 用途：常用于证明直线在平面内. 图形语言： 符号语言： 公理2：不共线的三点确定一个平面. 图形语言： 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言： 推论2：两条相交直线确定一个平面. 图形语言： 推论3：两条平行直线确定一个平面. 图形语言： 用途：用于确定平面。 公理3：假设两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）. 用途：常用于证明线在面内，证明点在线上. 图形语言： 符号语言： 形语言，文字语言，符号语言的转化： 9
