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1、宏观强度理论基础演示文稿宏观强度理论基础演示文稿1页，共66页，星期四。1.1.1 弹性变形弹性变形1 1、简单加载下的弹性变形、简单加载下的弹性变形纯拉伸时：纯拉伸时：纯剪切时：纯剪切时：泊松比：泊松比：剪切弹性模量：剪切弹性模量：正弹性模量：正弹性模量：三个弹性常数之间的关系：三个弹性常数之间的关系：弹性变形弹性变形施加外力即刻产生、去除外力即刻回复的变形。其特征为：施加外力即刻产生、去除外力即刻回复的变形。其特征为： 变形量与作用力呈单值、唯一正比关系，与加载路径无关；变形量与作用力呈单值、唯一正比关系，与加载路径无关； 变形是瞬时达到的，与时间无关。变形是瞬时达到的，与时间无关。2页，
2、共66页，星期四。2、复杂加载下的弹性变形广义虎克定律、复杂加载下的弹性变形广义虎克定律1 1）普遍表达式）普遍表达式 在在 连续、连续、 均匀、均匀、 无初应力、无初应力、 变形微小的基本假设下，可推导出表示线弹变形微小的基本假设下，可推导出表示线弹性固体中任意一点的应力应变关系的广义虎克定律。性固体中任意一点的应力应变关系的广义虎克定律。由连续性假设由连续性假设3页，共66页，星期四。1）普遍表达式（续）普遍表达式（续1） 在变形微小的假设下，将上式在在变形微小的假设下，将上式在ij = 0 处展开成处展开成Tailor级数，并略去二次方及以上级数，并略去二次方及以上的项：的项：在无初应力
3、的假设下，当在无初应力的假设下，当ij = 0 时，时，ij = 0 ，于是有：，于是有：f(0,0,0) = 0，则有：，则有：式中，式中，和和均为均为 6 阶列矢量，阶列矢量，Cij为为 66阶方阵，且有：阶方阵，且有：4页，共66页，星期四。1）普遍表达式（续）普遍表达式（续2） 由均匀性假设可知，若各点应力状态相同，则必对应相同的应变状态；反之亦然。这说明由均匀性假设可知，若各点应力状态相同，则必对应相同的应变状态；反之亦然。这说明Cij为常数，称为刚度系数，即上式为线性关系，此即广义为常数，称为刚度系数，即上式为线性关系，此即广义Hooke 定律：定律：广义广义Hooke定律的应变表
4、达式：定律的应变表达式：式中，式中，Sij 称为柔度系数，可由刚度系数求逆得到，即：称为柔度系数，可由刚度系数求逆得到，即：5页，共66页，星期四。2）刚度系数的对称性）刚度系数的对称性以应变能密度表示应力应变关系：以应变能密度表示应力应变关系：由广义由广义Hook定律的第一式，得：定律的第一式，得：再将此式对再将此式对yy 求偏导，得：求偏导，得：同样对广义同样对广义Hook定律的第二式处理可得：定律的第二式处理可得：因偏导数与微分顺序无关，故：因偏导数与微分顺序无关，故：线弹性体单位体积应变能：线弹性体单位体积应变能：6页，共66页，星期四。3）弹性对称性）弹性对称性 在弹性体内，若过每一
5、点的不同方向的弹性都不相同，则称为各向异性，在弹性体内，若过每一点的不同方向的弹性都不相同，则称为各向异性，Cij 有有21个；若过每一点的不同方向的弹性都相同，则称为各向同性，独立的个；若过每一点的不同方向的弹性都相同，则称为各向同性，独立的Cij 有有2个。而个。而介于二者之间的则具有某类弹性对称性。介于二者之间的则具有某类弹性对称性。 所谓弹性对称面：是指过物体中的每一个点都有这样一种平面，相对于该平面的对所谓弹性对称面：是指过物体中的每一个点都有这样一种平面，相对于该平面的对称方向上，弹性相同。垂至于弹性对称面的轴称为弹性主轴。称方向上，弹性相同。垂至于弹性对称面的轴称为弹性主轴。 由
6、弹性对称面的定义可知，当把弹性主轴倒置时，应具有相同的应力应变关系，由弹性对称面的定义可知，当把弹性主轴倒置时，应具有相同的应力应变关系，即即Cij 不会改变。不会改变。 然而，应变能然而，应变能W是应变的单值、标量函数，不会因坐标的改变（弹性轴是应变的单值、标量函数，不会因坐标的改变（弹性轴倒置）而改变其量值，但是当坐标轴倒置后，某些应变分量将变号，因此会倒置）而改变其量值，但是当坐标轴倒置后，某些应变分量将变号，因此会限制某些刚度系数的取值。限制某些刚度系数的取值。7页，共66页，星期四。应变能密度展开式应变能密度展开式8页，共66页，星期四。（1）有一个弹性对称面（）有一个弹性对称面（x
7、oy面）面）将将 z 轴倒置成轴倒置成 z轴，有轴，有 z=-z，w=-w，考察与，考察与 z有关的应变分量：有关的应变分量：为保证应变能为保证应变能W值不变，含值不变，含yz 和和zx 一次方的项前的弹性常数必须为一次方的项前的弹性常数必须为0，即：，即： 刚度系数减少了刚度系数减少了8个，仅剩下个，仅剩下13个。个。u、分别为x、y、z轴方向上的位移分量一个弹性对称面，13个刚度系数9页，共66页，星期四。（2）有三个相互垂直的对称面正交异性）有三个相互垂直的对称面正交异性沿用上述方法，取沿用上述方法，取 x、y、z 三轴为弹性主轴，则：三轴为弹性主轴，则：首先将首先将 z 轴倒置后有：轴
8、倒置后有：其次将其次将 y 轴倒置，因轴倒置，因yz 变号有：变号有： （已有）（已有） 因因xy 变号有：变号有： （新增）（新增）最后将最后将 x 轴倒置，但不会得到新的为轴倒置，但不会得到新的为0的系数。的系数。故在正交各向异性状态下，弹性常数减少了故在正交各向异性状态下，弹性常数减少了12个，只剩下个，只剩下9个：个：拉压剪切耦合（交叉效应）拉压剪切耦合（交叉效应）出面剪切耦合出面剪切耦合两个或者三个互相垂直的弹性对称面，都是9个刚度系数10页，共66页，星期四。（3）横观各向同性）横观各向同性定义定义：若过物体每一个点都有这样一种平面，在此面内的各个方向上弹性相同，：若过物体每一个点
9、都有这样一种平面，在此面内的各个方向上弹性相同，则此面称为横观各向同性面。则此面称为横观各向同性面。另外，另外，x、y 轴不论转过任何角度，应力应变关系都保持相同，可得：轴不论转过任何角度，应力应变关系都保持相同，可得：因此，独立的弹性常数仅剩下因此，独立的弹性常数仅剩下5个：个：设设 xoy 面为横观各向同性面，当面为横观各向同性面，当xx 和和yy 互换，以及互换，以及yz 和和zx 互换时，应有：互换时，应有：11页，共66页，星期四。（4）完全各向同性）完全各向同性任意方向都是弹性主方向，既有：任意方向都是弹性主方向，既有：此时，独立的弹性常数仅剩下此时，独立的弹性常数仅剩下2个：个：
10、C11 和和 C12：12页，共66页，星期四。4）广义）广义Hook定律的工程表示法定律的工程表示法在各向同性条件下，令：在各向同性条件下，令：则广义则广义Hooke定律可写成工程上广泛应用的形式：定律可写成工程上广泛应用的形式：13页，共66页，星期四。1.1.2 粘弹性变形粘弹性变形1 1、粘性流动、粘性流动d/dtttt1t1概念概念：在很小外力下便会发生，且在外力去除后不会恢复的流动。：在很小外力下便会发生，且在外力去除后不会恢复的流动。特点特点：屈服值为：屈服值为 0 ； 变形不仅取决于应力，同时依赖于应力作用的时间；变形不仅取决于应力，同时依赖于应力作用的时间；1 1）Newto
11、nNewton流动流动14页，共66页，星期四。2）非）非Newton流动流动宾汉流动宾汉流动假塑性流动假塑性流动（切变变稀）（切变变稀）切变增稠流动切变增稠流动在非在非Newton流动区，可用指数方程来描述流动规律：流动区，可用指数方程来描述流动规律：式中，式中，n 为非为非Newton指数，其值愈低，愈呈假塑性；指数，其值愈低，愈呈假塑性；n = 1 时，即为时，即为Newton流流体。体。15页，共66页，星期四。2、粘弹性变形、粘弹性变形1 1）MaxwellMaxwell模型模型 粘弹性变形是粘性变形和弹性变形的混合变形，因此，常用代表弹性变形的弹簧元件和代粘弹性变形是粘性变形和弹性
12、变形的混合变形，因此，常用代表弹性变形的弹簧元件和代表粘性变形的活塞元件组合起来构筑描述粘弹性体的本构方程。表粘性变形的活塞元件组合起来构筑描述粘弹性体的本构方程。 属两元件串连模型，其属两元件串连模型，其特点为：特点为： 两元件中应力相等，且等于总两元件中应力相等，且等于总应力；应力； 两元件应变不等，且非同两元件应变不等，且非同时产生，总应变为时产生，总应变为16页，共66页，星期四。Maxwell模型本构关系模型本构关系 在恒应力在恒应力0 作用作用 t1 时间后，总变形为：时间后，总变形为： 式中，式中，J(t) 称为蠕变柔量，是时间的线性函数。称为蠕变柔量，是时间的线性函数。总应变速
13、率为：总应变速率为： 在恒应变时，应力将松弛：在恒应变时，应力将松弛： ， 则有：则有：积分得：积分得：式中，式中， 称为松弛常数。称为松弛常数。经无限长时间后，应力将仅由弹簧变形决定。经无限长时间后，应力将仅由弹簧变形决定。17页，共66页，星期四。2）Voigt-Kelvin模型模型 属两元件并联模型：属两元件并联模型： 两元件等应变，且等于总应变；两元件等应变，且等于总应变； 总应力等于两元件应力之和。总应力等于两元件应力之和。或：或：18页，共66页，星期四。3）三元件模型）三元件模型 1弹簧弹簧2活塞活塞 2弹簧弹簧1活塞活塞1弹簧弹簧Maxwell组合件（并联）；组合件（并联）；1
14、弹簧弹簧V-K组合件（串连）组合件（串连） 在该模型中，总应变在该模型中，总应变为弹簧应变为弹簧应变1及及V-K组件应变组件应变2 之和，而总应力之和，而总应力为为V-K组件中两元件应力之和。则有：组件中两元件应力之和。则有：而：而：代入前式得：代入前式得：19页，共66页，星期四。4）Zener模型标准线性固体模型标准线性固体组成：组成：Maxwell组件和组件和Voigt组件串联而成。组件串联而成。思路：思路：高聚物的变形是由三部分组成的：高聚物的变形是由三部分组成的： 瞬时完成的普弹性变形，可用弹簧来瞬时完成的普弹性变形，可用弹簧来E1模拟；模拟； 链段伸展的高弹性变形，可以用弹簧链段伸
15、展的高弹性变形，可以用弹簧E2和活塞和活塞2并并联起来去模拟；联起来去模拟； 高分子相互滑移引起的粘性变形，这种变形随时间线性高分子相互滑移引起的粘性变形，这种变形随时间线性发展，可以用一个活塞发展，可以用一个活塞3模拟。模拟。 用此模型描述线性高聚物的蠕变过程特别合适。蠕变过程中，因而高聚物的总变形为用此模型描述线性高聚物的蠕变过程特别合适。蠕变过程中，因而高聚物的总变形为 20页，共66页，星期四。Zener模型模拟的蠕变曲线及验证模型模拟的蠕变曲线及验证21页，共66页，星期四。5） 广义广义Maxwell模型模型 取任意多个取任意多个Maxwell 组件并联组件并联而成，让每个单元由不
16、同模量而成，让每个单元由不同模量的弹簧和不同粘度的活塞组成，的弹簧和不同粘度的活塞组成，因而具有不同的松弛时间，当因而具有不同的松弛时间，当模型在恒定应变时，其应力应模型在恒定应变时，其应力应为诸单元应力之和，即为诸单元应力之和，即 而应力松弛模量为而应力松弛模量为 当当 n时，上式可写成积分形式时，上式可写成积分形式 式中，式中，f( () )称为松弛时间谱。称为松弛时间谱。 22页，共66页，星期四。广义广义Maxwell模型验证模型验证2 个个Maxwell单元并联组合模型单元并联组合模型应力松弛行为应力松弛行为聚异丁烯（聚异丁烯（25）应力松弛叠合曲线应力松弛叠合曲线23页，共66页，星期四。6） 广义广义Voigt-Kelvin模型模型 广义广义Voigt模型是取任意多个模型是取任意多个Voigt单元串联而成，单元串联而成，如右图。假设其第如右图。假设其第i个单元的弹簧模量为个单元的弹簧模量为Ei，松弛时间，松弛时间为为i，则在拉伸蠕变时，其总变形应为全部，则在拉伸蠕变时，其总变形应为全部Voigt单单元形变的加和，即元形变的加和，即 蠕变柔量为蠕变柔量为 24页，共66页，
