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1、131 概述概述132 杆件应变杆件应变能的计算能的计算133 应变应变能的普遍表达式能的普遍表达式134 互等定理互等定理137 单位载荷法单位载荷法 莫尔积分莫尔积分138 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法第十三章第十三章 能量方法能量方法能量原理：能量原理： 弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功，即 利用这种功能关系分析计算变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。131 概述概述杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存在杆内，这种能称为应变能（Strain Energy），用“V”表示。应变能应变能llF 已知:F、A、l、E132 杆件应变能的计算杆件应变能
2、的计算1.1.轴向拉压杆的变形能计算：轴向拉压杆的变形能计算：EAFll =D aa4FF12FACB30122.2.扭转杆的变形能计算：扭转杆的变形能计算：lMelmdxOT(x)+dT(x)T(x)dx3.3.弯曲杆的变形能计算：弯曲杆的变形能计算：MelAqABdxlM（x）M(x)+dM(x)(+)用能量法求C点的挠度。梁的EI为已知。解：外力功等于应变能CaaAFBx1fCx2 例例1 变形能与加载次序无关，只与外力和位移的最终值有关。 133 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式1. 物体受外力P1、 P2、 Pn ，n个力2. 物体无刚性位移，外力作用点沿作用线方向的位移为：1、
3、 2、 、 n3. 物体的材料是线弹性的。采用等比例加载，则P1和1成正比，P2和2成正比， d dn12d dn12式中P可以是力偶，则对应的应为角位移应变能是否可以应用叠加法？应变能是否可以应用叠加法？P1ABP2ABP1ABP21122ABP222ABP111ABP1P2应变能是否可以应用叠加法？mPlmlPl如果各作用力产生的变形是相互独立的，则引起的变形能可以相互叠加。 例例1 1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力F的作用，求A点的垂直位移。AFRFRj杆件组合变形时如何计算应变能？杆件组合变形时如何计算应变能？AFjdxM(x)M(x)N(x)N(x)T(x)T(x
4、)FCjBAR图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力F的作用，求A点的垂直位移。解：用能量法（外力功等于应变能）AFR 例例13.1(P31)13.1(P31)求内力j外力功等于应变能变形能：134 互等定理互等定理ABP1ABP21122 ABP1P2ABP2P1功的互等定理功的互等定理 ABP1P2当 P1=P2 时当 P1=P2 时位移互等定理位移互等定理ABP1ABP21122在1力作用下2力方向上的位移等于等于在2力作用下1力方向上的位移FFAA已知：图1中A点的水平位移为3mm，求：图2中A点的铅垂直位移？图1图2在1力作用下2力方向上的位移等于等于在2力作用下1力方向上
5、的位移求任意点A的位移f A 。137 单位载荷法单位载荷法 莫尔积分莫尔积分aA图fAq(x)图b A=1P0图c A0P =1q(x)fA在A点加单位力：先加单位力，再加原载荷：莫尔定理或莫尔积分莫尔定理或莫尔积分 ( (单位载荷法单位载荷法) )二、莫尔定理的普遍形式二、莫尔定理的普遍形式三、使用莫尔定理的注意事项：三、使用莫尔定理的注意事项：莫尔积分必须遍及整个结构。 M(x)：结构在原载荷下的内力。 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。 去掉主动力，在所求 广义位移广义位移广义位移广义位移 点，沿所求 广义位移广义位移广义位移广义位移 的方向加广义单位力广义单位力广义单
6、位力广义单位力 时，结构产生的内力。 与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。已知：梁的抗弯刚度已知：梁的抗弯刚度EI，用用莫尔积分莫尔积分法求法求B点的垂直点的垂直位移和转角。位移和转角。例2AlBq1AlB已知：梁的抗弯刚度EI，用能量法求B点的垂直位移和转角。例3AlBq1AlBxx( )解：（1)垂直位移AlBxx1AlB( )（2)转角用能量法求C点的挠度和转角。梁的抗弯刚度EI。解：画单位载荷图求内力BAaaC1AaaCBqx1x2x1x2例4 C点的挠度( ) C点转角: B AaaC1x1x2（加单位力偶）用能量法求C点挠度和B点转角。梁的抗弯刚度EI。解：画单
7、位载荷图求内力BAaaC1x1x2例5AaaCBPx1x2 C点的挠度( ) B点转角：（加单位力偶） BAaaC1x1x2( )已知：各杆EI 相等，用能量法求C点的水平位移。例6AalCBqP=qaACB1例4已知：各杆EI 相等，用能量法求C点的水平位移。AalCBqP=qaACB1x1x2解：x1x2( )已知：各杆EI 相等，用能量法求C点的转角。例7AalCBqP=qaACB1例4已知：各杆EI 相等，用能量法求C点的转角。AalBqP=qaAB1解：x1x2x1x2( )已知：P，a ，EA，求C点的水平位移。例8PABaaDC1ABaaDC+P+P00+1000( )解：已知：
8、P，a ，EA，求A、C 两节点间的相对位移相对位移。例13-13123456789FABaaDCEaF11ABaaDCEaF123456789解：杆件编号FNiliFNi li123456789( P53) 表13.1杆件编号FNi102F3 F4F5F6F7 F82F90( P53) 表13.1杆件编号FNi102F3 F14F5F6F07 F082F0900( P53) 表13.1杆件编号FNili10a2Fa3 F1a4Fa5Fa6F0a7 F0a82F0a900a( P53) 表13.1杆件编号FNiliFNi li10a02Fa3 F1a2Fa4Fa5Fa6F0a07 F0a082
9、F0a0900a0( P53) 表13.1123456789PABaaDCEaF（相互靠近）活塞环。求切口的张开量。 例例13.1413.14（P54P54）FFROABOjFAdjdsOj1AOjFAdjdsOj1A拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知： P=60N ，E=210GPa，G=0.4E，l=500mm，a=300mm。求B点的垂直位移。解：画单位载荷图求内力510 20APBlCx1 例例99ABC1x1x2ax2变形( )刚架各部分的EI相等。试求A、B两点之间的相对位移、 A、B两截面的相对转角。 刘题刘题13.1813.18lCFABF45
10、由杆系及梁组成的混合结构，试求A点的垂直位移。 刘题刘题13.2213.22CFEABF60aaaEAEIDH等截面曲杆。试求截面B的垂直位移、水平位移和截面B的转角。 刘题刘题13.2413.24ORFABx 135 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法对于梁：等截面直梁： EI 为常数的弯矩图必定是直线或折线xxdxxCxC图乘法计算莫尔积分的条件EI为常数求面积的函数为连续函数，且在梁轴的一侧（图形不能跨轴）取值的函数图形为直线（可跨轴，不能有折点）在积分梁段内若不满足上述条件，可将梁分为几段，逐段计算后求和例5FlAB已知：等截面梁的抗弯刚度为EI，载荷F，求B点的垂直位移wB。1AB解：lFl( )例6已知：等截面梁的抗弯刚度为EI，载荷F，求C点的垂直位移wC。解：2Fl( )FlABlCl1ABC例13-15已知：梁的抗弯刚度为EI，载荷P，求A点的转角。解：ABlaCFqC1例13-15已知：梁的抗弯刚度为EI，载荷F，求A点的转角。解：ABlaCFqC11Fa123例9求C点的位移和转角。ABaaCFa例9求C点的位移和转角。解： C点的位移ABCFABC1221FFF( )FaFa2a2aCA11/a1/a11ABCFFFFFaFa( )C点的转角:
