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1、13.3 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程13.3.1 波函数波函数13.3.2 薛定谔方程薛定谔方程 13.3.3 一维无限深方势阱中运动的粒子一维无限深方势阱中运动的粒子 13.3.5 例题分析例题分析13.3.4 氢原子的薛定谔方程氢原子的薛定谔方程 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去13.3.1 波函数波函数 微观粒子具有波动性，与微观粒子相联微观粒子具有波动性，与微观粒子相联系的波称为系的波称为物质波物
2、质波，波函数就是物质波的数波函数就是物质波的数学表达式学表达式. . 假设有一个动量为假设有一个动量为P 、能量为、能量为E 的自由的自由粒子，按德布罗意假设，它相当于一列沿它粒子，按德布罗意假设，它相当于一列沿它的运动方向传播的单色平面波，其波长和频的运动方向传播的单色平面波，其波长和频率分别为率分别为 若取平面波传播的方向为若取平面波传播的方向为x 轴正方向，则轴正方向，则由波动理论可知，平面波的波动方程为由波动理论可知，平面波的波动方程为 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 若自由粒子的物质波沿空间任意方向传若自由
3、粒子的物质波沿空间任意方向传播，则其波函数的表达式为播，则其波函数的表达式为 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 若考虑空间一个小微元若考虑空间一个小微元 ，则在，则在 内内波函数波函数 可视为不变可视为不变. . 因为粒子在因为粒子在 内出内出现的几率正比与该处物质波的强度，即正比现的几率正比与该处物质波的强度，即正比与与 . . 若用若用 表示粒子出现在表示粒子出现在 中的几率，中的几率， 所以某点处单位体积内粒子出现的几率，所以某点处单位体积内粒子出现的几率，即粒子的几率密度为即粒子的几率密度为 于于是是自自由由粒
4、粒子子在在空空间间某某处处出出现现的的几几率率密密度为度为火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去波函数波函数 必须满足的条件：必须满足的条件：标准化条件：标准化条件：波函数的归一化条件：波函数的归一化条件： 注意注意：物质波的波函数不同于机械波的：物质波的波函数不同于机械波的波函数波函数y，y是表示振动位移的物理量，而是表示振动位移的物理量，而 本身没有什么直观的物理意义，只是通过本身没有什么直观的物理意义，只是通过 才间接地反应出粒子出现的几率才间接地反应出粒子出现的几率. . 单值、有限、连续单值、有限、连续火灾袭来时要
5、迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去13.3.2 薛定谔方程薛定谔方程 薛定谔推广了薛定谔推广了德布罗意物质波的概念，德布罗意物质波的概念，于于1926年提出了年提出了波动力学波动力学，并建立了一个量，并建立了一个量子体系的物质波运动方程子体系的物质波运动方程. 因此而获因此而获1933年诺年诺贝尔奖贝尔奖. 薛定谔的薛定谔的波动方程成功地解决了氢原子波动方程成功地解决了氢原子光谱等一系列重大问题光谱等一系列重大问题. 波动力学与矩阵力学是完全等价的，是波动力学与矩阵力学是完全等价的，是同一种力学规律的两种不同表述，而且它们同一种力学
6、规律的两种不同表述，而且它们都属于非相对论性的量子力学都属于非相对论性的量子力学.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 下面用一类比较简单的问题即粒子在恒下面用一类比较简单的问题即粒子在恒定力场中的运动，由于这种问题中势能函数定力场中的运动，由于这种问题中势能函数V 和粒子能量和粒子能量E 与时间无关，这时粒子处于与时间无关，这时粒子处于定态定态，则粒子的定态波函数可以写成，则粒子的定态波函数可以写成 可以看出，粒子处于定态时，它在空间可以看出，粒子处于定态时，它在空间各点出现的几率密度与时间无关，即几率密各点出现的几率密
7、度与时间无关，即几率密度在空间形成稳定分布度在空间形成稳定分布. . 此时定态波函数的此时定态波函数的空间部分空间部分 称为称为定态波函数定态波函数. . 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 在非相对论情况下，在非相对论情况下， 所满足的所满足的薛定谔方程称为薛定谔方程称为定态薛定谔方程定态薛定谔方程 . .若粒子在一维空间运动，则若粒子在一维空间运动，则火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 1993年克罗米等人，用扫描隧道显微镜发年克罗米等人，用扫
8、描隧道显微镜发现了现了量子围栏量子围栏中的驻波，再次直观地证实了电中的驻波，再次直观地证实了电子的波动性，支持了薛定谔子的波动性，支持了薛定谔波动力学波动力学.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去13.3.3 一维无限深方势阱中运动的粒子一维无限深方势阱中运动的粒子 假设粒子只能沿假设粒子只能沿x 轴作一维运动，且势轴作一维运动，且势能函数具有如下形式能函数具有如下形式 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 由于由于 与时间无关，因此在势阱中运与时间无
9、关，因此在势阱中运动的粒子处于定态，可以用一维定态薛定谔动的粒子处于定态，可以用一维定态薛定谔方程求解方程求解. . 在区域内在区域内 ， ，具有，具有有限能量的粒子不可能出现有限能量的粒子不可能出现. . 在区域内在区域内 ， 因此有因此有 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去由于波函数连续，所以由于波函数连续，所以 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 综上所述，粒子在一维无限方势阱内运动综上所述，粒子在一维无限方势阱内运动时，其波函数为时，其波函
10、数为 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去与能量与能量E 所对应的粒子在势阱中的几率密度为所对应的粒子在势阱中的几率密度为火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去13.3.4 氢原子的薛定谔方程氢原子的薛定谔方程对于氢原子而言对于氢原子而言: : 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去13.3.5 例题分析例题分析已知一维运动的粒子的波函数为已知一维运动的粒子的波函数为式中式中B 为正的
11、常数，试求：为正的常数，试求：（1）归一化常数归一化常数A和归一化波函数；和归一化波函数； （2）该粒子位置坐标的概率分布函数（即该粒子位置坐标的概率分布函数（即概率密度）；概率密度）；（3）在何处找到粒子的概率最大？在何处找到粒子的概率最大？火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去解解 （1）归一化波函数为归一化波函数为火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去（2）粒子的概率分布函数为粒子的概率分布函数为 ( (3) ) 所以所以 ， ， 时，概率密时，概率密度度 有极值有极值. . 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去而只有二阶导数而只有二阶导数 所以在所以在 处，概率密度有最大值，处，概率密度有最大值，即粒子在该位置处出现的概率最大即粒子在该位置处出现的概率最大. .
