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1、第五章平面向量与复数第一节平面向量的概念及线性运算学习要求:1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示和基本要素.4.掌握向量的加法、减法运算,并理解其几何意义.5.掌握向量的数乘运算,并理解其几何意义,理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.1.向量的有关概念名称定义备注向量既有 大小 又有方向的量;向量的大小叫做向量的 长度 (或模)向量由方向和长度确定,不受位置影响零向量长度为 0 的向量;其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于 1个单位 的向量非零向量a共线的单位向量为a|a|平行向量方向 相同 或相反的非零向量
2、;平行向量又叫做共线向量0与任意向量 平行 相等向量长度 相等 且方向 相同 的向量两个向量不能比较大小相反向量长度 相等 且方向 相反 的向量0的相反向量为0提醒(1)要注意0与0的区别,0是一个实数,0是一个向量,且|0|=0;(2)单位向量有无数个,它们长度相等,但方向不一定相同;(3)任意一组平行向量都可以平移到同一直线上,因此平行向量也叫做共线向量;(4)与非零向量a平行的单位向量有两个,即向量a|a|和-a|a|.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算,叫做向量的加法 三角形 法则 平行四边形 法则(1)交换律:a+b= b+a ;(2)结合律
3、:(a+b)+c= a+(b+c) 减法若b+x=a,则向量x叫做a与b的差,求两个向量差的运算,叫做向量的减法 三角形 法则数乘实数与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘(1)|a|= |a| ;(2)当0时,a的方向与a的方向 相同 ;当0时,a的方向与a的方向 相反 ;当=0时,a= 0 (1)(a)= ()a ;(2)(+)a= a+a ;(3)(a+b)= a+b 3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数,使b=a.知识拓展1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,即A1A2+A2A3+A3A4+An
4、-1An=A1An.特别地,围成一周的首尾顺次相接的向量的和为零向量.2.若P为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则OP=12(OA+OB).3.在ABC中,AD,BE,CF分别为三角形三边上的中线,它们交于点G(如图所示),易知点G为ABC的重心,则有如下结论:(1)GA+GB+GC=0;(2)AG=13(AB+AC);(3)GD=12(GB+GC)=16(AB+AC).4.若OA=OB+OC(,为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是+=1.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量.()(2)零向量与任一向量平行.()(3)
5、若向量AB与向量CD是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.()(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=a,反之也成立.()答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材人教A版必修第二册P4例2改编)如图,已知四边形ABCD为正方形,则下列命题中正确的是()A.AB=BCB.AB=CDC.AC=2ABD.|AC|=|BD|答案D3.设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则OA+OB+OC+OD等于()A.OMB.2OMC.3OMD.4OM答案D4.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D
6、.既不充分也不必要条件答案A5.(新教材人教A版必修第二册P16例8改编)设向量a,b是两个不共线的向量,向量ka+b与a-3b共线,则实数k=.答案-13平面向量的有关概念1.如图,在等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在腰AD,BC上,EF过点P,且EFAB,则下列等式中成立的是()A.AD=BCB.AC=BDC.PE=PFD.EP=PF答案D2.设a,b都是非零向量,则下列四个条件中,一定能使a|a|+b|b|=0成立的是()A.a=2bB.abC.a=-13bD.ab答案C3.(多选题)给出下列四个命题,其中正确的是()A.若|a|=|b|,则a=bB.若A,B,
7、C,D是平面内不共线的四点,则“AB=DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件C.若a=b,b=c,则a=cD.“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且ab”答案BCA不正确,|a|=|b|说明两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同;B正确,AB=DC,|AB|=|DC|且ABDC,又A,B,C,D是平面内不共线的四点,四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则|AB|=|DC|,ABDC且AB,DC方向相同,AB=DC;C正确,a=b,a,b的长度相等且方向相同,又b=c,b,c的长度相等且方向相同,a,c的长度相等且方向相同,故a=c;D不正确,当ab且
8、方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故“|a|=|b|且ab”是“a=b”的必要不充分条件.故选BC.名师点评对于向量的有关概念应注意以下几点:(1)平行向量就是共线向量,二者是等价的,它们均与起点无关;非零向量的平行具有传递性;相等向量一定是平行向量,平行向量未必是相等向量;相等向量具有传递性.(2)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量不能比较大小,但向量的模是非负数,可以比较大小.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的平移混为一谈.(4)非零向量a与a|a|的关系:a|a|是与a同方向的单位向量.平面向量的线性运算典例1(1)(20
9、19郑州模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,且BC=3EC,F为AE的中点,则BF=() A.23AB-13ADB.13AB-23ADC.-23AB+13ADD.-13AB+23AD(2)(2020贵州毕节高三月考)如图,在ABC中,AN=2NC,P是BN上一点,若AP=tAB+13AC,则实数t的值为()A.16B.23C.12D.34答案(1)C(2)C解析(1)如图,取AB的中点G,连接DG,CG,易知四边形DCBG为平行四边形,所以BC=GD=AD-AG=AD-12AB,所以AE=AB+BE=AB+23BC=AB+23AD-12AB=23AB+23
10、AD,所以BF=AF-AB=12AE-AB=1223AB+23AD-AB=-23AB+13AD.(2)由P是BN上一点,可设BP=BN,则AP=AB+BP=AB+BN=AB+(AN-AB)=(1-)AB+AN,因为AN=2NC,所以AN=23AC,所以AP=(1-)AB+23AC=tAB+13AC,所以1-=t,23=13,解得=t=12.名师点评1.平面向量线性运算的技巧(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量转化为与已知有直接关系的向量进行求解.2.三种运算法则的关注
11、点(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”,平行四边形法则要求“起点相同”.(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”.(3)数乘运算的结果仍是一个向量,运算过程可类比实数运算.1.(2020四川资阳高三期末)在ABC中,AD为BC边上的中线,若点O满足AO=2OD,则OC=()A.-13AB+23ACB.23AB-13ACC.13AB-23ACD.-23AB+13AC答案A如图所示:D为BC的中点,AD=AB+BD=AB+12BC=AB+12(AC-AB)=12AB+12AC,AO=2OD,AO=23AD=13AB+13AC,OC=AC-AO=AC-13AB+13AC=-1
12、3AB+23AC,故选A.2.(2020雅安教育科学研究所高三一模)如图,在ABC中,D为AB的中点,AE=13AC,若DE=AB+BC,则+=()A.-56B.-16C.16D.56答案C因为DE=DA+AE=12BA+13AC=12BA+13(BC-BA)=16BA+13BC=-16AB+13BC,所以=-16,=13.故+=16.共线向量定理及其应用典例2(1)(2019唐山模拟)在直角梯形ABCD中,A=90,B=30,AB=23,BC=2,点E在线段CD上(不与C、D两点重合),若AE=AD+AB,则实数的取值范围是.(2)设两个非零向量a与b不共线.若AB=a+b,BC=2a+8b
13、,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;若ka+b和a+kb共线,求实数k的值.答案(1)0,12解析(1)由题意得,AD=1,CD=3,AB=2DC.点E在线段CD上(不与C、D两点重合),DE=DC(01).AE=AD+DE,且AE=AD+AB=AD+2DC=AD+2DE,2=1,即=2.01,012.(2)证明:由题意得,BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB,AB,BD共线,又它们有公共点B,A,B,D三点共线.ka+b与a+kb共线,存在实数,使ka+b=(a+kb),即(k-)a=(k-1)b.又a,b是两个不共线的非零向量,k-=k-1=0,k2
14、-1=0,解得k=1.名师点评(1)证明三点共线问题可用向量共线解决,但要注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.(2)向量a,b共线是指存在不全为零的实数1,2,使1a+2b=0成立,若1a+2b=0,当且仅当1=2=0时成立,则向量a,b不共线.1.(2020湖南宁远高三模拟)设a,b是两个不共线的平面向量,已知m=a-2b,n=3a+kb(kR),若mn,则k=()A.2B.-2C.6D.-6答案D因为mn,所以m=n,R,即a-2b=(3a+kb)=3a+kb,因为a,b是两个不共线的平面向量,所以1=3,-2=k,解得=13,k=-6.2.设e1,e2是两个不共线的向量,
