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1、第五节空间向量及其运算学习要求:1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置,探索并得出空间两点间的距离公式.2.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.1.空间向量的有关概念名称概念共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合 的向量共面向量平行于 同一个平面 的向量共线向量定理对空间任意两个向量a,b(b
2、0),ab存在R,使 a=b 共面向量定理若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面存在唯一的有序实数对(x,y),使p= xa+yb ,x,yR空间向量基本定理定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组x,y,z使得p= xa+yb+zc ;推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=12.数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积:ab=|a|b|cos;ab ab=0 (a,b为非零向量);|a|2= a2 .(2)向量的坐标运算:a=(a1,a2,a3),b=(b1
3、,b2,b3)向量和a+b= (a1+b1,a2+b2,a3+b3) 向量差a-b= (a1-b1,a2-b2,a3-b3) 数量积ab= a1b1+a2b2+a3b3 共线ab a1=b1,a2=b2,a3=b3(R,b0) 垂直ab a1b1+a2b2+a3b3=0 夹角公式cos= a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32 3.两个重要向量(1)直线的方向向量:直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量,一条直线的方向向量有无数个.(2)平面的法向量:直线l平面,取直线l的方向向量,则这个向量叫做平面的法向量.显然一个平面的法
4、向量有无数个,且它们是共线向量.4.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1l2n1n2 n1=n2 l1l2n1n2 n1n2=0 直线l的方向向量为n,平面的法向量为mlnm nm=0 lnmn=m平面,的法向量分别为n,mnmn=mnmnm=01.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)空间中任意两个非零向量a,b共面.()(2)对于向量a,b,若ab=0,则一定有a=0或b=0.()(3)若ab0,则是钝角.()(4)若a,b,c是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.()(5)两个不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1
5、,0,-1),v2=(-2,0,2),则l1与l2的位置关系是平行.()(6)已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量n0=13,-23,23.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.(新教材人教A版选择性必修第一册P5T5改编)如图,在空间四边形OABC中,OB,AC为其对角线,M,N分别为OA,BC的中点,点G在线段MN上,且MG=2GN,若OG=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=.答案563.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是.答案垂直
6、4.(易错题)在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是.答案平行【易错点分析】忽视向量共线与共面的区别致误.空间向量的线性运算1.如图,在三棱锥O-ABC中,M,N分别是AB,OC的中点,设OA=a,OB=b,OC=c,用a,b,c表示NM,则NM等于() A.12(-a+b+c)B.12(a+b-c)C.12(a-b+c)D.12(-a-b+c)答案BNM=NA+AM=(OA-ON)+12AB=OA-12OC+12(OB-OA)=12OA+12OB-12OC=12(a+b-c).2.如图,在长方体ABCD
7、-A1B1C1D1中,O为AC的中点.(1)化简:A1O-12AB-12AD=;(2)用AB,AD,AA1表示OC1,则OC1=.答案(1)A1A(2)12AB+12AD+AA1解析(1)A1O-12AB-12AD=A1O-12(AB+AD)=A1O-12AC=A1O-AO=A1O+OA=A1A.(2)因为OC=12AC=12(AB+AD),所以OC1=OC+CC1=12(AB+AD)+AA1=12AB+12AD+AA1.3.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:(1)A
8、P;(2)MP+NC1.解析(1)P是C1D1的中点,AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+12D1C1=a+c+12AB=a+c+12b.(2)M是AA1的中点,MP=MA+AP=12A1A+AP=-12a+a+c+12b=12a+12b+c,又NC1=NC+CC1=12BC+AA1=12AD+AA1=12c+a,MP+NC1=12a+12b+c+a+12c=32a+12b+32c.名师点评进行向量的线性运算,有以下几个关键点(1)结合图形,明确图形中各线段的几何关系;(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义;(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立.共线向量、
9、共面向量定理的应用典例1已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足OM=13(OA+OB+OC).(1)判断MA,MB,MC三个向量是否共面;(2)判断点M是否在平面ABC内.解析(1)由已知得OA+OB+OC=3OM,所以OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC),即MA=BM+CM=-MB-MC,所以MA,MB,MC三个向量共面.(2)由(1)知MA,MB,MC共面,又它们有公共点M,所以M,A,B,C四点共面,从而知点M在平面ABC内.名师点评1.证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题,如证明A,B,C三点共线,即证明AB,AC共线,亦即证明AB=
10、AC(0).2.证明点共面的方法证明点共面的问题可转化为证明向量共面的问题,如果证明P,A,B,C四点共面,只要能证明PA=xPB+yPC或对空间任一点O,有OA=OP+xPB+yPC或OP=uOA+vOB+wOC(u+v+w=1)即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件.1.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若向量a,b,c共面,则实数等于() A.627B.637C.647D.657答案D因为向量a,b,c共面,所以由共面向量基本定理得存在唯一有序实数对(x,y)使得xa+yb=c,所以2x-y=7,-x+4y=5,3x-2y=,解方
11、程组得=657.2.如图,已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GMGA=13.求证:B、G、N三点共线.证明设AB=a,AC=b,AD=c,则BG=BA+AG=BA+34AM=-a+14(a+b+c)=-34a+14b+14c,BN=BA+AN=BA+13(AC+AD)=-a+13b+13c=43BG,BNBG,即B、G、N三点共线.空间向量数量积的应用典例2如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点.计算:(1)EFBA;(2)EGBD.解析设AB=a,AC=b,AD=c.由题意得|a|=|b|
12、=|c|=1,=60.(1)EF=12BD=12(AD-AB)=12c-12a,BA=-a,所以EFBA=12c-12a(-a)=12a2-12ac=14.(2)EGBD=(EA+AD+DG)(AD-AB)=-12AB+AD+AG-AD(AD-AB)=-12AB+12AC+12AD(AD-AB)=-12a+12b+12c(c-a)=12-1112+1112+1+1-1112-1112=12.变式1在本例条件下,求证:EGAB.证明由典例2知EG=12(AC+AD-AB)=12(b+c-a),所以EGAB=12(ab+ac-a2)=121112+1112-1=0.故EGAB,即EGAB.变式2在
13、本例条件下,求EG的长.解析由典例2知EG=-12a+12b+12c,所以|EG|2=14a2+14b2+14c2-12ab+12bc-12ca=12,解得|EG|=22,即EG的长为22.变式3在本例条件下,求异面直线AG与CE所成角的余弦值.解析易知AG=12b+12c,CE=CA+AE=-b+12a,所以cos=AGCE|AG|CE|=-23,因为异面直线所成角的范围是0,2.所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为23.名师点评空间向量数量积的3个应用求夹角设向量a,b的夹角为,则cos =ab|a|b|,进而可求两异面直线所成的角求长度(距离)利用公式|a|2=aa,可将线段长度的计算
14、问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用abab=0(a0,b0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题1.如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,A1AB=A1AD=120.(1)求线段AC1的长;(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值;(3)求证:AA1BD.解析(1)设AB=a,AD=b,AA1=c,则|a|=|b|=1,|c|=2,ab=0,ca=cb=21cos 120=-1.AC1=AC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c,|AC1|=|a+b+c|=(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(ab+bc+ca)=12+12
