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1、大学物理上第四章第四章 刚体的转动刚体的转动大学物理上第四章 刚体力学返回总目录返回总目录大学物理上本章本章教学要求：教学要求：了解转动惯量概念。理解刚体转动中的功和能的了解转动惯量概念。理解刚体转动中的功和能的概念。理解刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在概念。理解刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。本章重点：本章重点：刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在绕定轴转动刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。刚体质点系统的运动情况下的角动量守恒定律。刚体质点系统的运动问题问题本章难点：本章难点： 刚体绕定轴转动，刚
2、体角动量守恒定律刚体绕定轴转动，刚体角动量守恒定律返回目录下一页上一页大学物理上上章已经学习了质点组的运动规律（哪些？）但是这些规律大多是将质点组作为一个整体来研究，如果想获得任意质点的信息基本不可能。刚体作为特殊的质点组，我们能够精确的知道刚体内任意点的运动规律。刚体？什么是刚体？ 质点组内任意两点的相对距离不会因为受力而发生变化，则这样的质点组的就是刚体。何质点一样，刚体也是理想化的模型，即： 形变可忽略 ，但是产生弹力又必须要形变， 就好像质点大小忽略，但是质量是存在的。4.1 刚体运动的分析一、描述刚体位置的独立变量一、描述刚体位置的独立变量大学物理上力学的任务是研究物理对象的空间位置
3、随时间的变化的运动学与动力学的规律，即机械运动的规律。因此必须要能用数字说明物体在空间的位置。质点力学中的坐标(x、y、z、)即是描述空间位置的。一个质点只需要三个相互独立的数字就可以完全确定其位置。但是一个刚体呢？对刚体，位置不光是坐标，还包括取向。大学物理上将刚体看作是大量的质点的集合体，则显然对一个刚体，从表面上看，需要确定其内部所有的质点的位置，即点数N3=3N个，共有这么多数需要完全确定。但考虑到刚体内部各点的距离不变，因此很多方程来确定坐标值。因此一个刚体的位置确定不需要3N个独立的数。那到底要多少个独立的数来确定一个刚体的位置呢？假若确定了一个点的位置坐标，则刚体位置确定了吗？没
4、有！因为刚体还可以绕这个点转动：将刚体看作是一条线这条线的位置需要两个点来确定两点确定一条直线！所以至少要2个点的坐标，即6个参数！大学物理上所以我们必须确定2个点的位置，即定下了刚体内一条线的位置，这需要6个数！但是刚体并不是一条线，它是一个面，甚至是一个3维体！因此刚体可以绕着这条线转动，即刚体的位置还没有完全确定下来！按照平面几何的公理，三个不共线的点确定一个面因此我们还需要一个点。这样我们认为完全确定一个刚体的位置，我们需要9个数然后考虑到这9个数字之间距离不变，共有3个方程，可以消去3个未知数，因此共需要6个独立的数来确定一个刚体的位置。大学物理上因此，如果直接选择三个点来确定刚体的
5、位置，是不方便的，因为，这三个点之间坐标有相互的关系，而导致不能独立变化，虽然6个坐标独立，但是3个点不独立.能否直接找到6个变量，这6个变量完全独立呢？考虑角度量，即 先用一个点的坐标定下3个值 （x, y, z)3个，独立。 再用一个方向量，即3个角度 3个，不完全独立。 最后用1个角量来确定刚体绕该方向转过的角度1个大学物理上先用一个点的坐标定下3个值 （x, y, z)3个，独立。再用一个方向量，即3个角度 3个，不完全独立。 最后用1个角量来确定刚体绕该方向转过的角度1个我们看到，现在共有7个量，利用消掉一个，剩下6个，因此，刚体的位置需要6个独立的变量来描述这区别于质点，质点只要3
6、个独立的量。大学物理上1. 1.刚体的平动：刚体的平动：刚体的平动：刚体的平动：刚体上任何一条直线在各个时刻都保持平行的运动。刚体上任何一条直线在各个时刻都保持平行的运动。 刚体平动的特点：刚体平动的特点：刚体平动的特点：刚体平动的特点：刚体平动时，各质元的速度和加速度都相同，刚体平动时，各质元的速度和加速度都相同，所以只要了解刚体上某一质元的运动，就足以掌握整个刚体的所以只要了解刚体上某一质元的运动，就足以掌握整个刚体的运动。运动。物体如同一个质点，所以需要3个独立变量！ 式中式中 为恒矢量，所以为恒矢量，所以 由图知由图知即即刚体的运动大学物理上2 2）定轴转动，）定轴转动，）定轴转动，）
7、定轴转动，设物体被限制在一个轴上转动，如图：物体似乎可以沿着轴运动，同时转动，故需要2个变量，一个为角度量，另一个为距离量。但是书上忽略了沿轴的移动。9 99 99 9大学物理上3）平面平行运动如图，物体在平面内运动，物体可以转动，物体的在平面的位置需要2个坐标来确定，加上转动的角度，共需要3个量。6 66 66 66 6大学物理上4）定点转动，如图的一个陀螺，绕顶点运动。如图，陀螺的顶点固定，陀螺可以绕轴线转动，同时轴线可以进动，所以需要3个独立的角度值来确定陀螺的位置。5）一般运动，当然就是不做任何限制了，共需6个独立的量！6666大学物理上4.2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 相对于某一
8、惯性参照系相对于某一惯性参照系（例如地面例如地面）固固定不动的直线的转动称之为刚体的定轴转动定不动的直线的转动称之为刚体的定轴转动. . 这条固定不动的直线称之为固定轴这条固定不动的直线称之为固定轴. .大学物理上刚体的定轴转动特点：刚体的定轴转动特点：刚体的定轴转动特点：刚体的定轴转动特点： 刚体上各点都绕同一固定转轴作不同半径的圆刚体上各点都绕同一固定转轴作不同半径的圆周运动，且在相同时间内转过相同的角度。周运动，且在相同时间内转过相同的角度。大学物理上固定轴固定轴转动平面转动平面质元质元 为了研究方便，我们将垂直于固定轴为了研究方便，我们将垂直于固定轴的平面称之为转动平面的平面称之为转动
9、平面. . 如图所示如图所示. . 大学物理上3. 描述刚体转动的物理量描述刚体转动的物理量角角位位移移: : 在在时时间间间间隔隔 t 内内, , 刚刚体体上上任任一一点点相相对对于于某一特定转轴转过的角度为某一特定转轴转过的角度为 . .zxo特特征征: : (1)角角位位移移 是是相相对对于于某某一一特特定定转转轴轴而而言言的的. . (2)角角位位移移 不不是是矢矢量量, , 它它与与合合成成与与转转动动的的先先后次序有关后次序有关, 不符合矢量的加法交换律不符合矢量的加法交换律. 大学物理上xyzxyzxyzxyzxyzxyz角角位位移移不不是是矢矢量量(3) 瞬时角位移瞬时角位移
10、d 符合矢量运算法则符合矢量运算法则, 为矢量为矢量.大学物理上dxyzo角角速速度度: : 大大小小为为在在某某一一时时刻刻 t 附附近近的的单单位位时时间间间间隔隔内内, , 刚刚体体上上任任一一点点角角位位移移的的大大小小; ; 其其方方向向在在转转轴方位轴方位, , 可用右手螺旋法则确定可用右手螺旋法则确定. .特特征征: (1) 角角速速度度是是矢矢量量, 它它反反映映了了刚刚体体转转动动瞬瞬时时角位移随时间变化的规律角位移随时间变化的规律. (2) 定定轴轴转转动动时时, 转转轴轴的的方方向向已已经经给给定定, 角角速速度度的的方方向向可可用用正正负负表表示示, 即即满满足足标标量
11、量运算法则运算法则.大学物理上 角速度是矢量角速度是矢量，方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定：右手四指沿刚体转动方向，伸直的大拇指的指向为角速度的方向。对于刚体定轴转动，角速度的方向只有两个，规定逆时针方向为正，角速度方向可用正负号表示。加速转动加速转动方向一致方向一致减速转动减速转动方向相反方向相反大学物理上角加速度：角加速度： 速度和角速度的关系速度和角速度的关系:以转轴上某点以转轴上某点O 为参考点为参考点大学物理上如果如果 为恒量为恒量相应公式相应公式两类基本问题两类基本问题已知已知运动方程运动方程运动方程运动方程求求角速度角速度角速度角速度和和角加速度角加速度角加速度角加速度
12、求导数求导数已知已知角加速度角加速度角加速度角加速度求求角速度角速度角速度角速度和和运动方程运动方程运动方程运动方程求积分求积分大学物理上刚体上任一刚体上任一P点线量点线量 与角量的关系：与角量的关系：矢量式矢量式可见，可见，刚体各质元的角量相同，线量一般不同。刚体各质元的角量相同，线量一般不同。即即大学物理上例题例题 一飞轮在时间一飞轮在时间t t内转过角度内转过角度 at+bt3-ct4 , ,式中式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。都是常量。求它的角加速度。解：解：飞轮上某点角位置可用飞轮上某点角位置可用 表示为表示为 at+btat+bt3 3-ct-ct4 4将此式对将此式对t
13、 t求导数，即得飞轮角速度的表达式为求导数，即得飞轮角速度的表达式为角加速度是角速度角加速度是角速度对对t t的导数，因此得的导数，因此得由此可见飞轮作的是变加速转动。由此可见飞轮作的是变加速转动。角速度角速度大学物理上质点和刚体转动角动量质点和刚体转动角动量大学物理上定义：刚体对于转轴的转动惯量J为：二、刚体定轴转动角动量二、刚体定轴转动角动量大学物理上4-2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律转动平面大学物理上 力不在转动平面内力不在转动平面内 注注 （1 1）在定轴转动问题在定轴转动问题中，如不加说明，所指的力中，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面内的分矩是指力在转动平面内的分力对转轴
14、的力矩。力对转轴的力矩。 只能引起轴的只能引起轴的变形变形, 对转动无贡献对转动无贡献。转动平面大学物理上 是转轴到力作是转轴到力作用线的距离，称为力臂用线的距离，称为力臂。（2 2） （3 3） 对转轴的力矩为零，对转轴的力矩为零，在定轴转动中不予考虑。在定轴转动中不予考虑。 （4 4）在转轴方向确定后，力对在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用转轴的力矩方向可用+ +、- -号表示。号表示。转动平面大学物理上略去下标Z，大学物理上 2. 2. 2. 2. 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律应用牛顿第二定律，可得：应用牛顿第二定律，可得：O对刚体中任一质量元对
15、刚体中任一质量元-外力外力- -内力内力采用自然坐标系，上式切向分量式为：采用自然坐标系，上式切向分量式为：O大学物理上用用 乘以上式左右两端：乘以上式左右两端： 设刚体由设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将类似方程，将N 个方程左右相加，得：个方程左右相加，得： 根据内力性质根据内力性质( (每一对内力等值、反向、共每一对内力等值、反向、共线线, ,对同一轴力矩之代数和为零对同一轴力矩之代数和为零) )，得：，得：大学物理上得到：得到： 上上式式左左端端为为刚刚体体所所受受外外力力的的合合外外力力矩矩，以以M M 表表示示；右右端端求求和和符符
16、号号内内的的量量与与转转动动状状态态无无关关，称称为为刚刚体转动惯量，以体转动惯量，以J J 表示。表示。刚体定轴刚体定轴转动定律转动定律刚体定轴刚体定轴转动定律转动定律定轴转动定律定轴转动定律定轴转动定律定轴转动定律刚体受合外力矩：定轴转动定律定轴转动定律: : 刚体绕定轴转动时刚体绕定轴转动时, , 作用在刚体上的合外力矩作用在刚体上的合外力矩等于刚体对该转轴的转动惯量与角加速度的乘积等于刚体对该转轴的转动惯量与角加速度的乘积. .大学物理上讨论：讨论： （4 4）J J 和转轴有关，和转轴有关，J J 和质量分布有关；同一个物和质量分布有关；同一个物体对不同转轴的转动惯量不同。体对不同转轴的转动惯量不同。 （3 3）惯性大小的量度；惯性大小的量度；转动惯量是转动转动惯量是转动（1） M M 一定，一定，J J定轴转动定律定轴转动定律定轴转动定律定轴转动定律大学物理上刚体受合外力矩：刚体的转动惯量：合外力矩不是先求合外力再求力矩，而是根据每个外力F的作用点相对于固定参考点O的位置矢量r，计算出M，再求它们的矢量和。大学物理上质元的质量质元的质量质元到转轴的距离质元到转轴的距离4-2
