第2课时 奇偶性、对称性与周期性题型一 函数奇偶性的判定例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝(4)f(x)＝log2(x＋)．解 (1)由得x2＝3，解得x＝±，即函数f(x)的定义域为{－，}，关于原点对称．从而f(x)＝＋＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．(4)显然函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝log2[－x＋]＝log2(－x)＝log2(＋x)－1＝－log2(＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．跟踪训练1 (1)下列函数是偶函数的是( )A．f(x)＝x3－sin xB．f(x)＝3x－C．f(x)＝x2＋tan xD．f(x)＝x·ln(－x)答案 D解析 由函数奇偶性定义知，A中函数为奇函数，B中函数为奇函数，C中函数为非奇非偶函数，D中函数为偶函数．(2)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)g(x)|是奇函数C．|f(x)|g(x)是偶函数D．f(|x|)g(x)是奇函数答案 C解析 令F1(x)＝f(x)g(x)，∴F1(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F1(x)，∴F1(x)为奇函数，故A错误；令F2(x)＝|f(x)g(x)|，∴F2(x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝F2(x)，故F2(x)为偶函数，故B错误；令F3(x)＝|f(x)|g(x)，∴F3(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)＝F3(x)，∴F3(x)为偶函数，故C正确；令F4(x)＝f(|x|)g(x)，∴F4(－x)＝f(|－x|)g(－x)＝f(|x|)g(x)＝F4(x)，∴F4(x)为偶函数，故D错误．题型二 函数奇偶性的应用命题点1 利用奇偶性求参数的值例2 若函数f(x)＝x3为偶函数，则a的值为________．答案 解析 方法一 (定义法)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴(－x)3＝x3·，∴2a＝－＝1，∴a＝.方法二 (特值法)f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，又f(－1)＝－a＋2，f(1)＝a＋1，∴－a＋2＝a＋1，∴a＝.命题点2 利用奇偶性求解析式例3 (2019·全国Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)等于( )A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1答案 D解析 当x<0时，－x>0，∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.命题点3 利用奇偶性求函数值例4 已知函数f(x)＝ax3＋bx5＋2.若f(x)在区间[－t，t]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.答案 4解析 令g(x)＝ax3＋bx5，则g(x)为奇函数，当x∈[－t，t]时，g(x)max＋g(x)min＝0，又f(x)＝g(x)＋2，∴M＝g(x)max＋2，m＝g(x)min＋2，∴M＋m＝g(x)max＋2＋g(x)min＋2＝4.思维升华 利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象．(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．跟踪训练2 (1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋x＋b，则f(－1)的值为( )A．b＋3 B．－b－3 C．－2 D．2答案 C解析 ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，即20＋0＋b＝0，∴b＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝－(21＋1＋b)＝－2.(2)已知函数f(x)＝asin x＋btan x＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝________.答案 4解析 令g(x)＝asin x＋btan x，则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋1，∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4.题型三 函数的周期性、对称性命题点1 函数的周期性例5 (1)已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)，当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin ，则f 等于( )A. B. C．1 D.答案 C解析 因为f(x＋2π)＝f(x)，所以f(x)的周期为2π.所以f ＝f ＝f ＝f ，又因为当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin ，所以f ＝2sin ＝1.(2)(2020·西安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 020)等于( )A．5 B. C．2 D．－5答案 D解析 ∵f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)的周期为4，f(2 020)＝f(0)＝－f(2)＝－(22＋log22)＝－5.思维升华 函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．(4)若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a>0，c为常数)．命题点2 函数的对称性例6 (多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是( )A．f(x)的图象关于x＝2对称B．f(x)的图象关于(2,0)对称C．f(x)的最小正周期为4D．y＝f(x＋4)为偶函数答案 ACD解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于x＝2对称，故A正确，B错误；∵函数f(x)的图象关于x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．思维升华 对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称．(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称．跟踪训练3 (1)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈[0,3)时，f(x)＝2x－x2＋1，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝________.答案 2 696解析 ∵f(x＋3)＝f(x)，∴T＝3，又x∈[0,3)时，f(x)＝2x－x2＋1，∴f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＝1＋2＋1＝4，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝674×4＝2 696.(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于直线x＝2对称．当x∈[0,4]时，f(x)＝x2－4x，则f(2 022)＝________.答案 4解析 ∵f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x)，∴T＝8，又∵2 022＝252×8＋6，∴f(2 022)＝f(6)＝f(－2)＝－f(2)＝－(4－8)＝4.我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y＝f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体．例1 若函数f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(log2x)的定义域为________．答案 [，4]解析 对于函数y＝f(2x)，－1≤x≤1，∴2－1≤2x≤2.则对于函数y＝f(log2x)，2－1≤log2x≤2，∴≤x≤4.故y＝f(log2x)的定义域为[，4]．例2 已知函数f(x)对任意正实数a，b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立．(1)求f(1)，f(－1)的值；(2)求证：f ＝－f(x)；(3)若f(2)＝p，f(3)＝q(p，q均为常数)，求f(36)的值．(1)解 令a＝1，b＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0，令a＝b＝－1，∴f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝0.(2)证明 令a＝，b＝x，得f(1)＝f ＋f(x)＝0，∴f ＝－f(x)．(3)解 令a＝b＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2p，令a＝b＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，令a＝4，b＝9，得f(36)＝f(4)＋f(9)＝2p＋2q.例3 已知函数y＝f(x)的定义域为R，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f ＝1，且当x>0时，f(x)>0.(1)求f(0)的值；(2)判断函数的奇偶性并证明；(3)判断函数的单调性，并解不等式f(x)＋f(2＋x)<2.解 (1)令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.(2)f(x)是奇函数，证明如下：令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)是R上的奇函数．(3)f(x)是R上的增函数，证明如下：任取x1，x2∈R，x10，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x。
