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1、充分与必要条件(2)(教学设计)1.2.2充要条件教学目标：知识与技能目标：(1 )正确理解充要条件的定义，了解充分而不必要条件，必要而不充分条件，既不充分也不必要条件的定义.(2 )正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.(3 )通过学习，使学生明口对条件的判定应该归结为判断命题的真假.过程与方法H标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质. 情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的梢神.教学重点与难点重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题难点：正确区分充要条件.教
2、学过程：一、复习回顾：1、命题：若P，则q若pdq,且q冷p.则P是q的充分不必要条件若p舟q,q则p是q的必要不充分条件若p=q,且q=p.则p是q的充要条件，q也是p的充耍条件(4)若p X 且q却.则p是q的既不充分与不必要条件备注：只能“己知(条件)”是“结论”的什么条件。二、创设情境，新课引入：问题1：探讨下列生活中名言名句的逻辑关系.(1)水滴石穿(2)骄兵必败(3)有志者事竞成(4)头发长，见识短(5)名师出高徙(6)放下屠刀，立地成佛(7)兔子尾巴长不了(8)不到长城非好汉(9)春回大地，万物复苏(10)海内存知己(11)蜡炬成灰泪始干(12)玉不琢，不成器说明：由于生活语言不
3、可能象数学命题一样准确，因此学生不同观点的碰撞在所难免，作为教师，只要学生的推 断能在某种前提或某个角度下合乎情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放的，不同的观点应允许共存，关键是只 要学生能“学会数学地思维”，教师可以根据自己班级的情况选讲其中的部分.在数学小有很多可逆的命题，如(1) 若a是无理数，则a+5是无理数；(2) 若 ab,则 a+cb+c;(3) 若一元二次方程axVxl x2,但x2=xl, /.p是q的必要条件，q是p的充分条件. Vx0,y0 -x+y0, x+y0 , y0, /.p不是q的充分条件,p也不是q的必要条件；q不是p的充分条件, q也不是P的必要条件. T
4、x=0, y二0=+二0, .Ip是q的充分条件，q是p的必要条件；又x+y2=0= x=0, y=0, Aq是p的充分条件, P是q的必要条件.+bx+c=0有两个不等的实根，则判别式A0.这些可逆的命题，反映在逻辑关系上就是命题的条件具有充要性。木节课我们主要来研究命题中既充分乂必要的 条件问题。三、师生互动，新课讲解问题2：指出下列命题中，p是q的什么条件，q是P的什么条件：(1)P：x2, q： xl；(2)P：xl, q： x2；(3)P：x0 ,y0, q：x+y0；(4)P：x二0，y二0, q：x2+y2=0.解：Vx2= xl,P是q的充分条件，q是P的必要条件.在问题中，P
5、既是q的充分条件，P 乂是q的必要条件，此吋，我们统说，P是q的充分必要条件，简称充要条 件.下面我们用数学语言来表述这个概念.1. 相关的概念如果既有p = q，又有qnp，就记作pOq。我们就说，p和q互为的充要条件。说明：符号“O ”叫做等价符号“ poq 表示“p=qH.pUql也表示“p等价于q” .（2） “充要条件”有时还可以改用“当口仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要” 2. 充要条件的判断方法四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该:确定条件是什么，结论是什么； 尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证
6、法）; 确定条件是结论的什么条件、 充要性包含：充分性P=q，必要性q=p这两个方面，缺一不可。例1 （课本P11例3）：下列各题中，哪些p是q的充要条件? （1 ） p:b = 0,q:函数 f（X）=ax2+bx+c 是偶函数;p:x 0, y 0, q:xy 0；(3 ) p: a b ,q: a + c b + c；(4 ) p:x 5, , q: x 10 (5 ) p: a b , q: a2 bJ分析：要判断P是q的充要条件,就要看p能否推出q,并H看q能否推出p.解：命题（）和（3 ）中，p命题（2 ）中，p 命题（4 ）中,p 命题（5 ）中，pq , Jlq p,即p u
7、q,故p是q的充要条件;P，故P不是q的充要条件；P，故P不是q的充要条件；P，故P不是q的充要条件；例2：两条不重合的直线I】、M共同前提） I与12的斜率分别为灯、k2, fl. k1=k2是Il2的什么条件？（答：充分不必耍条件） 延伸：如何改变命题的条件（或结论），使命题的条件是结论的充要条件呢？ 把命题的结论改为“I】l2,且d H都有斜率”即可.例3：若必是川的充分不必要条件，W是戶的充要条件，0是戸的必要不充分条件，则対是0的什么条件? 分析：命题的充分必要性具有传递性M nN oPnQ 显然财是0的充分不必要条件 例4（课本P11例4）：已知：00的半径为r,圆心0到直线1的距
8、离为d.求证：d=r是直线1与00相切的充耍条 件.分析：设P： d = r, q：直线1与0相切.要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（p q）和必要性（q p）即可.证明过程略（见课本P11）.课堂练习（课本P12练习） 例5:求证实系数一元二次方程x2-px + q = 0有两个界号根的充要条件是qQ.解析：首先要区分清楚“必要性”、“充分性”各应证明的命题，分清这里的条件和结论各是什么。 证明：（1）先证充分性.:方程 x1 + px + q = 0 的 A 二 p? 一 4q0方程x2px + q = 0有两个不相等的实根，设其为兀,兀2。V Xy9 x2 = q 0.*方程F
9、 + g = 0有两个异号实根(2)再证必要性方程x2 + px + q = 0有两个异号实根，设其为西,x2 x2 q,且q=p.则p是q的充要条件，q也是p的充耍条件(4) 若p芳q,且q却.则p是q的既不充分与不必要条件五、布置作业：A组：1、(课本P12习题1.2 A组NO： 3)2、(课本P12习题1.2 A组NO： 4)I + I y 丨”的(A )B.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件5. 抛物线y=ax2+bx+c (aHO)的对称轴为x=2的充要条件是;(答：4a+b=0)6. 若 a、b 都是实数，从0；d+b0； ab =
10、0；a + b = 0；a2-b2 0； a2+b2 =0中选出使 a、b 都不为0的充分条件是一.B组：1、(课本P12习题1.2 B组NO： 1)2、(课本P12习题1.2 B组N0： 2)3. 判断下列各题中条件是结论的什么条件：(1)条件 A : ax2+ax+l 0 的解集为 R,结论 B : 0a4；(2)条件 p : AB,结论 q：AUB=B.解：(1) VA=a2-4a0, B|J 0a0 恒成立.故 B= A.而当 a=0 吋，ax2+ax+l 0 恒成立，二 A &B.故A为B的必要不充分条件.(2) VAgB=AUB=B,而当 A二B 时，AUB二B,即 q*p,P为q
11、的充分不必要条件.4. 已知全集 R, A= x | | x-3 | 6 , B= x | | x | a,aEN+.当 a 为何值吋. A是B的充分而不必要条件； A是B的必要而不充分条件； A是B的充要条件.C组：1、设 A二x I -2WxWa , B= (y I y二2x+3,xWA , M= Z I Z=x2,xeA.求使 McB 的充要条件是什么? 解：VA= x I -2WxWa , M二Z I Z=x2, xA.B= y I y二2x+3, xWA = y | TWyW2a+3.当2WqV0 时，M二Z | aWZW4.当 0WaW2 时，M二Z I 0WZW4.当 a2 时，
12、M二Z I OWZW/.当-2WaV2 时,MuBo4W2q+3,即丄 WaW2；_ 2当 a2 吋，MgBOa2W2a+3,即 2VaW3.综上可知,所求的充要条件为界心2、试寻求关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的一个充要条件.的方程x+mx+n二0有两个小于1的正根O方程在(0 ,1)内有实根A0Cm10 0-2 /n 0-2 m 0o 2 v/(0)0A2 00 n 01 + m + n 0/(l)oJJ解法1 ：关于解法2：m2 一 4/? 02 /n 01 + 777 + n 0m2 -4n 0-2 m Q o 10 0A0%! + X2 0方程在(0, 1)内冇实根0 7兀2O(%1 1) 4-(兀2 1)0(%1 1)(兀2 1)03.“xy0” 是“ I x+y I = IA.充分不必要条件C.充要条件4.“ACB=A” 是 A二B 的(B ).A.充分而不必要条件C.充要条件
