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1、北师大版八年级北师大版八年级(下下)1.41.4角平分线角平分线第一章第一章 三角形的证明三角形的证明第第1 1课时课时 角平分线的性质定理及其逆定理角平分线的性质定理及其逆定理复习旧知复习旧知三角形三边垂直平分线定理：三角形三边垂直平分线定理： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。且这一点到三个顶点的距离相等。情景引入情景引入 角平分线上的点有什么性质？你是怎样得到角平分线上的点有什么性质？你是怎样得到的？的？AODEBC12P新知探究新知探究、证明：角平分线上的点到这个角的两边的距、证明：角平分线上的点到这个角的两边的距
2、离相等。离相等。AODEBCP12已知：如图，已知：如图，OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PDOA于于D， PEOB于于E。求证：求证：PD=PE。证明：证明： OC是是AOB的平分线的平分线 1=2 PDOA， PEOB PDO=PEO=90 在在PDO和和PEO中中 1=2 PDO=PEO PO=PO PDOPEO PD=PE 新知归纳新知归纳角平分线性质定理：角平分线性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。合作交流合作交流、你能写出定理、你能写出定理“角平分线上的点到这个角的角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
3、。两边的距离相等。”的逆命题吗？的逆命题吗？改写成改写成“如果如果，那么，那么”的形式：的形式： 如果一个点是角平分线上的点，那么这个点如果一个点是角平分线上的点，那么这个点到角的两边的距离相等。到角的两边的距离相等。逆命题为：逆命题为： 如果一个点到角的两边距离相等，那么这个如果一个点到角的两边距离相等，那么这个点在这个角的平分线上。点在这个角的平分线上。、怎样证明、怎样证明“在一个角的内部，到角的两边距离在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上相等的点在这个角的平分线上”呢？呢？新知探究新知探究CAODEBP已知：如图，点已知：如图，点P在在AOB内部，内部，PDOA于于D
4、， PEOB于于E，且，且PD=PE。求证：点求证：点P在在AOB的平分线上。的平分线上。证明：证明： PDOA， PEOB PDO=PEO=90 在在RtPDO和和Rt PEO中中 PD=PE PO=PO Rt PDO RtPEO POD=POE 过点过点P作射线作射线 OC 即点即点P在在AOB的平分线上的平分线上 新知归纳新知归纳角平分线判定定理：角平分线判定定理： 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。在这个角的平分线上。范例讲解范例讲解例例1、已知：如图，、已知：如图，ABC中，中，BAC=60，点点D在在BC上，上，AD
5、=10，DEAB，DFAC，垂，垂足分别为足分别为E、F，且，且DE=DF，求，求DE的长。的长。ABCDEF合作交流合作交流、你会用尺规作角的平分线吗？、你会用尺规作角的平分线吗？ 作法：作法：1、 在在OA、OB上分别截取上分别截取OD=OE；3、作射线、作射线OC。DEAOB已知：如图，已知：如图，AOB。求作：射线求作：射线OC，使，使AOC= AOB。2、分别以点、分别以点D、E为圆心，大于为圆心，大于 DE的长为半的长为半径作弧，两弧在内部交于点径作弧，两弧在内部交于点C；C射线射线OC就是就是AOB的平分线。的平分线。你会证明吗？你会证明吗？ 1. (1. (凉山凉山中考）已知：
6、中考）已知：AOBAOB，求作，求作AOBAOB的角平分的角平分线；根据图示，填写作法：线；根据图示，填写作法： . . . . . .ABOMNC【解析解析】由图示写出作法即可由图示写出作法即可. . 以以O O为圆心，适当长为半径画弧，交为圆心，适当长为半径画弧，交OAOA、OBOB于于M M、N N；分别以分别以M M、N N为圆心，大于为圆心，大于MNMN的长为半径画弧，两弧在的长为半径画弧，两弧在AOBAOB内部交于点内部交于点C C；画射线画射线OCOC，射线，射线OCOC即为所求的角平分线即为所求的角平分线. .ABOMNC2.2.（河源（河源中考）如图，中考）如图，RtABCR
7、tABC中，中，C C9090，A A6060，ACAC2 2按以下步骤作图：按以下步骤作图：以以A A为圆心，以小于为圆心，以小于ACAC长为半径画弧，分别交长为半径画弧，分别交ACAC、ABAB于于点点E E、D D；分别以分别以D D、E E为圆心，以大于为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧长为半径画弧，两弧相交于点相交于点P P；连接连接APAP交交BCBC于点于点F F那么：那么：(1)AB(1)AB的长等于的长等于_( (直接填写答案直接填写答案) )；(2)CAF(2)CAF_( (直接填写答案直接填写答案) )A AB BC CD DE EF FP P【解析解析】CC9090，B
8、ACBAC6060, ,BB9090BACBAC3030, ,ABAB2AC2AC4,4,AFAF平分平分BACBAC，CAFCAF3030. .答案：答案：（1 1）4 4 （2 2）30303. 3. 如图，已知：如图，已知：ADOBADOB于于D D，BCOABCOA于于C C，ADAD、BCBC相交于相交于E E，且，且EA=EB.EA=EB.求证：求证：EOEO为为AOBAOB的平分线的平分线 【证明证明】ADOB,BCOA,ADOB,BCOA,BDEBDEACEACE9090, ,又又BEDBEDAEC,EBAEC,EBEA,EA,BDEACE.BDEACE.DE=CE.DE=CE.EOEO为为AOBAOB的平分线的平分线. .课堂小结课堂小结1、角平分线性质定理：、角平分线性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。2、角平分线判定定理：、角平分线判定定理： 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。在这个角的平分线上。
