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1、- 1 - 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 M=-1,0,1，N=x|x2x ，则 M N= A.0 B.0,1 C.-1,1 D.-1,0,0 【答案】 B【解析】0,1N M=-1,0,1 M N=0,1. 【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分. 先求出0,1N, 再利用交集定义得出M N.2. 命题“若 =4，则 tan =1”的逆否命题是A.若4，则 tan 1 B. 若=4，则 tan 1 C. 若 tan 1
2、，则 4 D. 若 tan 1，则 =4【答案】 C 【解析】因为“若p，则q”的逆否命题为“若p，则q” ，所以 “若 =4，则 tan =1”的逆否命题是“若 tan 1，则4”. 【点评】本题考查了“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.3. 某几何体的正视图和侧视图均如图1 所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】 D 【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1 所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，都可能是该几何体的俯视图，不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.
3、【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.- 2 - 4. 设某大学的女生体重y（单位： kg）与身高 x（单位： cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi） （i=1 ，2，,，n） ，用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A.y 与 x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x，y）C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg 【答案】 D 【解析】【解析】由回归方程为y=0.85x-85.71知y随x的
4、增大而增大，所以y 与 x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知?()ybxabxybx aybx，所以回归直线过样本点的中心（x，y） ，利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确 . 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错. 5. 已知双曲线C ：22xa-22yb=1 的焦距为 10 ，点 P （2,1 ）在 C 的渐近线上，则C的方程为A220 x-25y=1 B.25x-220y=1 C.280 x-220y=1 D.220 x-280y=1【答案】 A 【解析】设双曲线C ：22xa-22yb=1
5、的半焦距为c，则210,5cc. 又C 的渐近线为byxa，点 P （2,1 ）在 C 的渐近线上，12ba，即2ab. 又222cab，2 5,5ab，C的方程为220 x-25y=1. 【点评】 本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了 数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.6. 函数 f （x）=sinx-cos(x+6) 的值域为A -2 ,2 B.-3,3 C.-1,1 D.-32 , 32 【答案】 B 【解析】 f （x）=sinx-cos(x+6)31sincossin3 sin()226xxxx，sin()1,16x，( )f x值域为 -3,3.
6、 【点评】利用三角恒等变换把( )f x化成sin()Ax的形式，利用sin()1,1x，求得( )f x的值域 . 7. 在 ABC中，AB=2，AC=3 ，AB BC= 1 则_BC. - 3 - A.3 B.7 C.2 2 D.23【答案】 A 【解析】由下图知AB BC = cos()2(cos)1AB BCBBCB. 1cos2BBC. 又由余弦定理知222cos2ABBCACBAB BC，解得3BC. 【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC的夹角为B的外角 . 8已知两条直线1l：y=m
7、和2l： y=821m(m0) ，1l与函数2logyx的图像从左至右相交于点A，B ，2l与函数2logyx的图像从左至右相交于C,D . 记线段 AC和 BD在 X轴上的投影长度分别为a ,b ,当 m 变化时，ba的最小值为A16 2 B.8 2 C.8 4 D.4 4【答案】 B 【解析】在同一坐标系中作出y=m，y=821m(m0) ，2logyx图像如下图，由2log x= m，得122,2mmxx，2log x= 821m，得821821342,2mmxx. 依照题意得8218218218212222,22,22mmmmmmmmbaba8218212 22mmmm. 814111
8、4312122222mmmm，min()8 2ba. ABC- 4 - 【点评】在同一坐标系中作出y=m，y=821m(m0) ，2logyx图像，结合图像可解得. 二 、填空题：本大题共 8 小题，考生作答7 小题，每小题5 分 ，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题（请考生在第9、10、 11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C：1,12xtyt (t为参数 ) 与曲线2C：sin ,3cosxay(为参数，0a) 有一个公共点在X轴上，则_a. 【答案】32【解析】曲线1C：1,1 2xtyt直角坐标方程
9、为32yx，与x轴交点为3(,0)2；曲线2C：sin ,3cosxay直角坐标方程为22219xya，其与x轴交点为(,0),(,0)aa，由0a，曲线1C与曲线2C有一个公共点在X轴上，知32a. 【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等. 曲线1C与曲线2C的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与x轴交点，即可求得. 10. 不等式 |2x+1|-2|x-1|0的解集为 _. 【答案】14x x【解析】令( )2121f xxx，则由( )f x13,()2141,(1)23,(1)xxxx得( )f x0的解集为14x x. 【点评】绝对值不等式解法
10、的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）. x821ym2logyxym1OABCD- 5 - 11. 如图 2，过点 P的直线与圆O相交于 A，B 两点. 若 PA=1 ，AB=2 ，PO=3 ，则圆 O的半径等于 _. 【答案】6【解析】设PO交圆 O于 C ，D，如图，设圆的半径为R，由割线定理知,1 (1 2)(3- )(3),6.PA PBPC PDrrr即【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知PA PBPC PD，从而求得圆的半径. ( 二) 必做题（ 1216 题）12. 已知复数2(3)zi (i为虚数单位 ) ，则 |z|=_. 【答案】 10 【解
11、析】2(3)zi=29686iii，228610z. 【点评】本题考查复数的运算、复数的模. 把复数化成标准的( ,)abi a bR形式，利用22zab求得 . 13.( 2 x-1x)6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答）【答案】 -160 【解析】 ( 2 x-1x)6的展开式项公式是6631661C (2)()C 2( 1)rrrrrrrrTxxx. 由题意知30,3rr，所以二项展开式中的常数项为33346C 2 ( 1)160T. 【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 14. 如果执行如图3 所示的程序框图，输入1x,n=3, 则
12、输出的数S= . ABPOABPOCD- 6 - 【答案】4【 解 析 】 输 入1x,n=3, ， 执 行 过 程 如 下 ：2 :6233iS；1:3( 1)1 15iS；0:5( 1)014iS，所以输出的是4. 【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错 . 15. 函数 f （x）=sin (x) 的导函数( )yfx的部分图像如图4 所示，其中， P为图像与 y 轴的交点， A,C 为图像与 x 轴的两个交点， B为图像的最低点 . （1）若6，点 P的坐标为（ 0，3 32） ，则 ; （2）若在
13、曲线段ABC与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为 . - 7 - 【答案】（1）3； （2）4【解析】（1）( )yfxcos()x，当6，点 P的坐标为（ 0，3 32）时3 3cos,362；（2）由图知222TAC，122ABCSAC，设,A B的横坐标分别为,a b. 设曲线段ABC与 x 轴所围成的区域的面积为S则( )( )sin()sin()2bbaaSfx dxf xab，由几何概型知该点在ABC内的概率为224ABCSPS. 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点 P在图像上求，（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公
14、式即得. 16. 设N=2n（nN*，n 2） ，将 N 个数 x1,x2, ,， xN依次放入编号为1,2 ，,，N的 N 个位置，得到排列P0=x1x2, xN. 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N和后2N个位置，得到排列P1=x1x3, xN-1x2x4,xN，将此操作称为 C 变换，将 P1分成两段，每段2N个数，并对每段作C 变换，得到2p；当 2i n-2 时，将 Pi分成 2i段，每段2iN个数，并对每段 C变换，得到 Pi+1，例如，当 N=8时， P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时 x7位于 P2中的第 4 个位置 . （1）当
15、 N=16时， x7位于 P2中的第 _个位置；（2）当 N=2n（n8）时， x173位于 P4中的第 _个位置 . 【答案】（1）6； （2）43 211n【解析】（1）当 N=16时, 012345616Px x x x x xx,可设为(1,2,3,4,5,6,16), 113571524616Px x x xx x x xx, 即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,16), 2159133711 152616Px x x x x x x x x xx, 即(1,5,9,13,3,7,11 ,15,2,6,16), x7位于 P2中的第 6 个位置 , ；（2）方法同（ 1）, 归
16、纳推理知 x173位于 P4中的第43211n个位置 . 【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题. 三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12 分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100 位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量1至 4件5 至 8 件9 至 12 件13至16件17件 及 以上- 8 - 顾客数（人）x30 25 y10 结算时间（分钟 /人）1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中的一次购物量超过8 件的顾客占 55. （）确定 x，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（）若某顾客到达收银台时前面恰有2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5 分钟的概率 . （注：将频率视为概率）【解析】（1）由已知 , 得251055,35,yxy所以15,20.xy该超市所有顾客一次购物的结算时间组成
