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1、引领强者之路1 / 15 2013 年普通高等学校招生全国统一考试新课标全国卷数学 模拟试题（）【温馨提示】若果此文 档的有些公式 不 能显示，建议你 在你的电脑中安 装 Math type6.0 （ 公式编 辑器 6.0）或比 Math type6.0 更高的 版本。如果你 要打印该文档， 建议使用 Word2003或 Word2007 或 Word2010 打印，而 不建议使用“ WPS 文字” 。第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集 UR， A x| x(x3)0 ，B x| x0 B x|3x0 Cx|3x1
2、D x| xb1)与直线 xy10 相交于 P、Q 两点，且 OPOQ(O 为原点 )(1)求证：1a21b2为定值；(2)若椭圆离心率e33，22时，求椭圆长轴长的取值范围21.（本小题满分12 分）已知函数 f(x)x3ax2bx5. (1)若曲线 f(x)在点 (1，f(1)的切线斜率为3，且 x23时， f(x)有极值，求函数f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在4,1上的最大值和最小值引领强者之路6 / 15 请考生在第22,23, 24 三个题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分。22.（本小题满分10 分）如图， AB 是圆 O 的直径， D 为圆 O
3、 上一点，过 D 作圆 O 的切线交AB 的延长线于点C，若DADC，求证： AB2BC. 23.（本小题满分10 分）(2011 辽宁高考 )在平面直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为xcos ，ysin ，(为参数 )，曲线 C2的参数方程为xacos ，ybsin ，(ab0，为参数 )在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l： 与 C1，C2各有一个交点当 0 时，这两个交点间的距离为 2，当 2时，这两个交点重合(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a 与 b 的值；(2)设当 4时， l 与 C1，C2的交点分别为A1，B1，当 4时， l 与 C1
4、， C2的交点分别为A2， B2，求四边形A1A2B2B1的面积引领强者之路7 / 15 24.（本小题满分10 分）设 c1，mc 1c，ncc 1，求证： mn. 引领强者之路8 / 15 2013 年普通高等学校招生全国统一考试新课标全国卷数学 模拟试题（）学生答案第卷一、选择题1.【解析】C图中阴影部分表示的集合是A B，而 A x|3 x0 ，B x|x1 ，故 A B x| 3x1 2. 【解析】C五个字母排成一列，先从中选三个位置给A，B，C 且 A，B，C 有两种排法，则有C53 2 排法然后D，E 排在剩余两个位置上，有A22种排法，由分步乘法计数原理可知，所求排列有C53
5、2 A2240 种3.【解析】A4 mi1 2i15(4 mi)(1 2i)1542m(m8)i R，m80，解得 m8， |m 6i|643610. 4. 【解析】C当 PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有 2 个；同理当PF2F1为直角时，这样的点P 有 2 个；当 P 点为椭圆的短轴端点时F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P 有 2 个故符合要求的点P 有 6 个5.【解析】Ca22，a1a35，2q2q5，数列 an 递减， q12，a14，数列 anan1 是以 a1a2为首项， q2为公比的等比数列，a1a2 a2a3anan1a1a21 q2n1q28 11
6、4n114323114n，而数列114n是递增数列，341 14n1，8323114n1，其周期小于2 ，故选项 B 中图像可以是函数f(x)的图像当a0 时，f(x)1，此时对应选项C 中图像对于选项 D，可以看出其最大值大于2，其周期应小于2 ，而图像中的周期大于2 ，故选项D中图像不可能为函数f(x)的图像10.【解析】D函数f(x)为偶函数；函数周期为1；点 (x1，y)，(1x， y)连线的中点是 (1，y)； yf(x1)的图像由yf(x)左移 1 个单位得到，yf(x1)的图像由yf(x)右移 1 个单位得到，而yf(x)与 yf(x)关于 y 轴对称，则yf(1 x)与 yf(
7、1x)关于 y 轴对称故4 个命题均为真命题11.【解析】B由勾股定理得，ABDC2，ADBC3，PA2， V13 6 24. 12.【解析】D由函数 f(x)x22axa 在区间 ( ，1)上有最小值，可得a 的取值范围为 a0，所以 g(x)为增函数第卷二、填空题13.【解析】manb(2m,3m)(n,2n)(2mn,3m 2n)，a2b(2,3) (2,4)(4，1)由于 manb 与 a2b 共线，则有2mn43m2n 1，n2m12m8n，mn12. 【答案】1214.【解析】如图，输出的点的轨迹是以原点为圆心，以22为半径的圆周及其内部，面积为2；可行域内所有的点构成的轨迹是边长
8、为2的正方形，面积为2.所以概率为224. 引领强者之路10 / 15 【答案】415.【解析】设事件A“ 任选一人是女生” ，B“ 任选一人来自北京” ，依题意知，来自北京的女生有8 人，这是一个条件概率，问题即计算P(B|A)由于 P(A)40100，P(AB)8100，则 P(B|A)PABPA81004010015. 【答案】1516.【解析】 3an1Sn(n1) ， 3an Sn1(n2) 两式相减，得3(an1 an)SnSn1an(n2)可得an1an43(n2) ，n2时，数列 an是以 a2为首项，43为公比的等比数列，n2时， ana243n2. 令 n 1，由 3an1
9、Sn，得 3a2 a1，又 a11? a213，an1343n2(n2) ，故 an.2,3431,1,12nnn【答案】2,3431,1,12nnn三、解答题17.【解析】()c2a2 b22abcos C14 4144，c2， ABC 的周长为abc1225. ()cos C14，引领强者之路11 / 15 sin C1 cos2C1142154. sin Aasin Cc1542158. ac， A0 ，得 a2b21.设 P(x1，y1)，Q(x2， y2)，则x1x22a2a2b2，x1x2a21b2a2b2. OPOQ， x1x2y1y20，x1x2(1x1)(1x2)0.2x1x
10、2(x1x2)10. 2a21b2a2b22a2a2b210.a2b22a2b2，1a21b22(定值 )(2)eca， b2 a2 c2a2a2e2. a2 b22a2b2， 2e22a2(1e2)a22 e221e212121e2. 33 e22，13 e212，121 e223，12(1 e2) 43.34121e21 ，54 a232.52 a62. 长轴长的取值范围为5，6引领强者之路14 / 15 21.【解析】(1)f(x)3x22axb，由 f(1) 3，f230，得32ab3，3492a23b0，解得a 2，b 4，经检验符合题意f(x)x32x24x5. (2)f(x)x3
11、2x24x5，f(x)3x24x4. 令 f(x)0，得 x 2 或 x23. f(x)、f(x)随 x 的变化情况如下表：x (4， 2)22，232323， 1f(x)00f(x)单调递增极大值 13单调递减极小值9527单调递增由此可知 f(x)极大值f(2)13，f(x)极小值 f239527. 又 f( 4)(4)32 (4)24 (4)5 11，f(1) 132 124 154，f(x)max13，f(x)min 11. 请考生在第22,23, 24 三题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分。22.【解析】如图，连接OD、BD. AB 是圆 O 的直径， ADB 90 ，A
12、B2OB. DC 是圆 O 的切线， CDO90 . 又 DADC， DAB DCO， ADB CDO，ABCO，即 2OB OBBC，得 OBBC. 故 AB2BC. 23.【解析】(1)C1是圆， C2是椭圆当 0 时，射线 l 与 C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以 a3. 当 2时，射线l 与 C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b1. 引领强者之路15 / 15 (2)C1，C2的普通方程分别为x2y21 和x29y21. 当 4时，射线l 与 C1交点 A1的横坐标为x22，与 C2交点 B1的横坐标为x 31010. 当 4时，射线l 与 C1，C2的两个交点A2，B2分别与 A1，B1关于 x 轴对称，因此四边A1A2B2B1为梯形故四边形A1A2B2B1的面积为2x 2xx x225. 24.【解析】法一： mnc1c12 c，当 a 0，b0，a b 时，ab2a2b22，得c1c12c1c12c，c1c12 c，即 mn0，故 mn. 法二： n0，而mnc1ccc1cc1c1c1， mn.
