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1、2022年深圳市高三年级第一次调研考试数学本试卷满分150分考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上3非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个
2、选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接根据交集的定义计算可得；【详解】因为，所以故选：C2. 已知复数z满足，其中为虚数单位，则z的虚部为（ ）A. 0B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，化简复数，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数z满足，可得，所以z的虚部为.故选：B.3. 以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）A. 8B. 4C. 8D. 4【答案】A【解析】【分析】根据题意求出圆柱的底面半径和高，直接求侧面积即可.【详解】以边长为2的正方
3、形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，其底面半径r=2，高h=2，故其侧面积为.故选：A4. 阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（cm）和时间t（s）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，且，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】利用正弦型函数的性质画出函数图象，并确定连续三次位移为的时间，即可得，可求参数.【详解】由正弦型函数的性质，
4、函数示意图如下：所以，则，可得.故选：B5. 已知椭圆C：，圆M：，若圆M的圆心在椭圆C上，则椭圆C的离心率为（ ）A. B. C. 或D. 【答案】D【解析】【分析】首先求出圆心的坐标，代入椭圆方程，令，则，求出，再根据计算可得；【详解】解：因为圆M：，即圆M：，圆心，因为圆心在椭圆上，所以，即，令，则，即，解得，即，所以离心率；故选：D6. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，易得，从而可求出，即可得出答案.【详解】解：因为，所以，即，所以，即，所以，所以或，所以或，当时，不合题意，舍去，当时，所以.故选：C.7. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有3个
5、小孩的家庭，随机选择一个家庭，则下列说法正确的是（ ）A. 事件“该家庭3个小孩中至少有1个女孩”和事件“该家庭3个小孩中至少有1个男孩”是互斥事件B. 事件“该家庭3个孩子都是男孩”和事件“该家庭3个孩子都是女孩”是对立事件C. 该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为D. 当已知该家庭3个小孩中有男孩的条件下，3个小孩中至少有2个男孩的概率为【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断A、B；利用列举法求出只有一个男孩的概率，即可判断C；利用条件概率的求法计算，即可判断D.【详解】A：假设事件A：该家庭3个小孩至少有1个女孩，则包含(女，男，男)的可能，事件B：该家庭3个小孩至少
6、有一个男孩，则包含(女，女，男)的可能，所以，故A错误；B：事件“3个孩子都是男孩”与事件“3个孩子都是女孩”不可能同时发生，是互斥但不对立事件，故B错误；C：3个小孩可能发生的事件如下：男男男、男男女、男女女、男女男、女女女、女女男、女男女、女男男共8种，其中只有一个男孩的概率为：，故C错误；D：设M=至少一个有男孩，N=至少有2个男孩，由选项C可知，所以，故D正确.故选：D8. 已知函数，其中，则（ ）A. 在上单调递增B. 在上单调递减C. 曲线是轴对称图形D. 曲线是中心对称图形【答案】C【解析】【分析】由解析式易得且定义域为且即可判断C；对求导，并讨论、研究在上的符号判断A、B；根据
7、是否为定值判断D.【详解】由题设，定义域为且，所以关于对称，C正确；又，当时，不妨假设，则，显然，此时在上有递减区间，A错误；当时，在上，即在上递增，B错误；由，不可能为定值，故D错误.故选：C【点睛】关键点点睛：利用导数结合分类讨论研究函数的区间单调性，根据、是否成立判断对称性(为常数).二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】如图，根据向量的线性运算和数量积的定义计算，依次判
8、断选项即可.【详解】如图，A：，故A错误；B：，故B正确；C：，故C错误；D：，由，得，所以，故D正确.故选：BD10. 某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：第x年12345利润y/亿元23457已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ）A. B. 变量y与x之间的线性相关系数C. 预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元D. 该人工智能公司这5年的利润的方差小于2【答案】AC【解析】【分析】首先求出、，根据回归直线方程必过，即可求出，从而得到回归直线方程，根据与成正相关，即可得到相关系数，再令求出，即可预测第6年的利润，最后根据
9、方差公式求出利润的方差，即可判断D；【详解】解：依题意，因为回归直线方程为必过样本中心点，即，解得，故A正确；则回归直线方程为，则与成正相关，即相关系数，故B错误，当时，即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C正确，该人工智能公司这5年的利润的方差为，故D错误；故选：AC11. 已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据动圆C与圆A和直线l都相切，分圆C与圆A相外切和圆C与圆A相内切，分别取到A的距离为d+1
10、，d-1，且平行于l的直线，利用抛物线的定义求解.【详解】解：动圆C与圆A和直线l都相切，当圆C与圆A相外切时，取到A的距离为d+1，且平行于l的直线，则圆心C到A的距离等于圆心C到的距离，由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线；当圆C与圆A相内切时，取到A的距离为d-1，且平行于l的直线，则圆心C到A的距离等于圆心C到的距离，由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线；所以，当时，抛物线不完整，所以，故选：ABD12. 如图，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是边长为4的正方形，点M为CG的中点，点P为底面EFGH上的动点，则（ ）A. 当时，存在点
11、P满足B. 当时，存在唯一的点P满足C. 当时，满足BPAM的点P的轨迹长度为D. 当时，满足的点P轨迹长度为【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合选项逐个验证，利用对称点可以判断A，利用垂直求出可以判断B，求出点P轨迹长度可判定C,D.【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建系如图，对于选项A，当时，设点关于平面的对称点为，则，.所以.故A不正确.对于选项B，设，则，由得，即，解得，所以存在唯一的点P满足，故B正确.对于选项C，设，则，由得.在平面中，建立平面直角坐标系，如图，则的轨迹方程表示的轨迹就是线段，而，故C正确.对于选项D，当时，设，则，由得，即，在平面中，建立平面直
12、角坐标系，如图，记的圆心为，与交于；令，可得，而，所以，其对应的圆弧长度为；根据对称性可知点P轨迹长度为；故D正确.故选：BCD.【点睛】立体几何中的动点问题，常常采用坐标法，把立体几何问题转化为平面问题，结合解析几何的相关知识进行求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知等差数列的前n项和为，且，则数列的公差_【答案】2【解析】【分析】根据题意可得，直接利用等差数列前n项和公式计算即可.详解】由题意知，解得.故答案为：14. 已知函数是定义域为R的奇函数，当时，则_【答案】【解析】【分析】利用奇函数可得，结合及已知解析式即可求值.详解】由题设，又，所以故答案为：.15.
13、 在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，若点，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】根据题意求出点A、B的坐标，由平面向量的坐标表示和向量的几何意义写出的表达式，利用三角函数的值域即可求出的最大值.【详解】由题意知，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，则，又，所以，有，则，其中，当时，取得最大值，且最大值为.故答案为：16. 古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著数学汇编里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，且，若，则实数的最小值为_【答案】#1.5【解析】【分析】由圆内接四边形性
14、质结合正弦定理可得到，再利用托勒密定理得，结合整理得，求得答案.【详解】根据圆内接四边形的性质可知; ,所以，即，在中，,故，由题意可知： ,则，所以，故，当且仅当时等号取得，又，所以，则 ，则实数的最小值为， 故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知数列的首项，且满足（1）证明：是等比数列；（2）求数列的前n项和【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）将已知条件转化为，由此证得数列是等比数列.（2）利用分组求和法求得.【小问1详解】由，得， 又，故， 故，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列【小问2详解】由（1）可知，所以， 所以18. 2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”
