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1、等差数列前n项和的最值问题教学设计教学目标：1、利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值。 2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式。 3、体会数列与函数、数列与不等式等知识的联系。教学重点：利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值。教学难点：对Sn的最值求解方法的灵活应用。教学环境: 多媒体教学教 学 过 程 复习引入 （打开幻灯片1，展示课题） （打开幻灯片2） 复习等差数列的通项公式：（学生填空） an=a1+ d an=am+ d （打开幻灯片3） 复习等差数列的前n项和公式:（学生填空） （1）已知a1和an求Sn：（2）已知a1和d求Sn：（3）补充公
2、式:答：（1） （2） （3） 由公式（2）到公式（3）如何推导？（回忆推导过程，幻灯片展示） 二、新知探究 （一）利用二次函数的最值特征求Sn最值1、 方法探究 （打开幻灯片5） 对(1)若A=0（即d=0）时，数列an为常数列，。 (2)若A0（即d0）时，可以看成当x=n时的函数值，因此我们可以利用二次函数的有关性质求的最值。2、例题精讲（打开幻灯片6） 例1.已知等差数列16,14,12，的前n项和为Sn，使得Sn最大的序号n的值。 分析：先把Sn整理成n的二次函数形式 解：由题意知，等差数列的公差为-2，所以 因为，所以当n取与最接近的整数即8或9时，Sn最大。 （二）利用等差数列通
3、项公式求Sn最值1、方法探究（打开幻灯片8） （1）当,时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由且求得。 （1）当,时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由且求得。 2、例题精讲 （打开幻灯片9） 例1.已知等差数列16,14,12，的前n项和为Sn，使得Sn最大的序号n的值。 分析： （，数列为递减数列，只有前面有限项非负，从某项开始其余所有项均为负，所以关键是确定数列中正项与负项的转折项） 由 即解得所以当n取8或9时，Sn最大。 三、变式训练（打开幻灯片10） 练习1：已知数列an是等差数列，且a1= 21，公差d=2，求这个数列的
4、前n项和Sn的最大值。 S11最大为121 四、提高拓展 （打开幻灯片11） 例2.已知等差数列an中,a1=13且,求n取何值时,Sn取最大值.解：解法1 由得 d=2 当n=7时,Sn取最大值49 解法二： 由S3=S11得d=2 an=13+(n-1)(-2)=2n+15 令an0，得n7.5 即数列an前7项为正数，第7项以后为负数。 当n=7时,Sn取最大值Sn取最大值为49 （打开幻灯片14） 变式训练：已知数列an是等差数列，且a1= 25,S17=S9，求这个数列的前n项和Sn的最大值。 S13最大为169五、本节小结（打开幻灯片15）求等差数列前n项的最大(小)的方法：方法1:利用Sn,由二次函数求最值的方法根据对称轴求其前n项和的最值。注意 。方法2：利用等差数列通项公式求Sn最值。（1）当,时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由且求得。 （2）当,时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由且求得。5
