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1、等差数列前n项和的最值问题教学设计教学目标:1、利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值。 2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式。 3、体会数列与函数、数列与不等式等知识的联系。教学重点:利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值。教学难点:对Sn的最值求解方法的灵活应用。教学环境: 多媒体教学教 学 过 程 复习引入 (打开幻灯片1,展示课题) (打开幻灯片2) 复习等差数列的通项公式:(学生填空) an=a1+ d an=am+ d (打开幻灯片3) 复习等差数列的前n项和公式:(学生填空) (1)已知a1和an求Sn:(2)已知a1和d求Sn:(3)补充公
2、式:答:(1) (2) (3) 由公式(2)到公式(3)如何推导?(回忆推导过程,幻灯片展示) 二、新知探究 (一)利用二次函数的最值特征求Sn最值1、 方法探究 (打开幻灯片5) 对(1)若A=0(即d=0)时,数列an为常数列,。 (2)若A0(即d0)时,可以看成当x=n时的函数值,因此我们可以利用二次函数的有关性质求的最值。2、例题精讲(打开幻灯片6) 例1.已知等差数列16,14,12,的前n项和为Sn,使得Sn最大的序号n的值。 分析:先把Sn整理成n的二次函数形式 解:由题意知,等差数列的公差为-2,所以 因为,所以当n取与最接近的整数即8或9时,Sn最大。 (二)利用等差数列通
3、项公式求Sn最值1、方法探究(打开幻灯片8) (1)当,时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由且求得。 (1)当,时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由且求得。 2、例题精讲 (打开幻灯片9) 例1.已知等差数列16,14,12,的前n项和为Sn,使得Sn最大的序号n的值。 分析: (,数列为递减数列,只有前面有限项非负,从某项开始其余所有项均为负,所以关键是确定数列中正项与负项的转折项) 由 即解得所以当n取8或9时,Sn最大。 三、变式训练(打开幻灯片10) 练习1:已知数列an是等差数列,且a1= 21,公差d=2,求这个数列的
4、前n项和Sn的最大值。 S11最大为121 四、提高拓展 (打开幻灯片11) 例2.已知等差数列an中,a1=13且,求n取何值时,Sn取最大值.解:解法1 由得 d=2 当n=7时,Sn取最大值49 解法二: 由S3=S11得d=2 an=13+(n-1)(-2)=2n+15 令an0,得n7.5 即数列an前7项为正数,第7项以后为负数。 当n=7时,Sn取最大值Sn取最大值为49 (打开幻灯片14) 变式训练:已知数列an是等差数列,且a1= 25,S17=S9,求这个数列的前n项和Sn的最大值。 S13最大为169五、本节小结(打开幻灯片15)求等差数列前n项的最大(小)的方法:方法1:利用Sn,由二次函数求最值的方法根据对称轴求其前n项和的最值。注意 。方法2:利用等差数列通项公式求Sn最值。(1)当,时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由且求得。 (2)当,时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由且求得。5