有限脉冲响应数字滤波器的设计

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1、第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计1/178第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计2/178IIR数字滤波器的优点：数字滤波器的优点：n可以利用模拟滤波器的设计结果可以利用模拟滤波器的设计结果IIR数字滤波器的缺点：数字滤波器的缺点：n非线性相位非线性相位n若需线性相位，要采用全通网络进行若需线性相位，要采用全通网络进行相位校正相位校正第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计3/17

2、8FIR数字滤波器的优点：数字滤波器的优点：1）可以做到严格线性相位）可以做到严格线性相位2）可以具有任意的幅度特性）可以具有任意的幅度特性3）对一个信号滤波，相当于）对一个信号滤波，相当于 可以用可以用FFT计算计算 4）总可以用一个因果系统来实现）总可以用一个因果系统来实现5） 无反馈运算，运算误差小。无反馈运算，运算误差小。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计4/178FIR数字滤波器的缺点数字滤波器的缺点 1）不能用模拟滤波器的设计方法，无解）不能用模拟滤波器的设计方法，无解析设计公式，要借助计算机辅助设计；析设计公式，要借助计算机辅助设

3、计； 2）由于没有极点，同样幅频特性，要获）由于没有极点，同样幅频特性，要获得较好的过渡带特性，需较高的阶数做为代得较好的过渡带特性，需较高的阶数做为代价。价。 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计5/178FIR滤波器的设计方法滤波器的设计方法设计方法：设计方法： 窗函数法窗函数法 频率采样法频率采样法 切比雪夫等波纹逼近法切比雪夫等波纹逼近法设计任务：设计任务：选择有限长度的脉冲响应选择有限长度的脉冲响应h(n)，得，得到系统函数到系统函数H(z)，使幅频特性满足技术指标，使幅频特性满足技术指标，同时使相频特性达到线性相位。同时使相频特性达到

4、线性相位。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计6/1787.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性 本节主要介绍本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条滤波器具有线性相位的条件及幅度特性以及零点、网络结构的特点。件及幅度特性以及零点、网络结构的特点。 FIR滤波器的单位冲激响应：滤波器的单位冲激响应：系统函数：系统函数：在在 z 平面有平面有N 1 个零点个零点在在 z = 0 处是处是N 1 阶极点阶极点 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计7/1787.1.1. 线性相位的定

5、义线性相位的定义 FIR滤波器的频率响应函数滤波器的频率响应函数幅度响应（幅度响应（+， 实函数）实函数）幅度函数（可幅度函数（可+可可-， 实函数）实函数）相位函数相位函数第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计8/178线性相位是指线性相位是指()是是的线性函数的线性函数满足满足第一类线性相位第一类线性相位第二类线性相位第二类线性相位群延时为常数群延时为常数第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计9/1787.1.2. 线性相位的条件线性相位的条件第一类线性相位成立的充分必要条件第一类线性相位成立的充分

6、必要条件 第二类线性相位成立的充分必要条件第二类线性相位成立的充分必要条件 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计10/178证明（第一类线性相位条件）：证明（第一类线性相位条件）：充分性充分性 FIR滤波器的系统函数滤波器的系统函数第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计11/178证明（第一类线性相位条件）：证明（第一类线性相位条件）：z=e j第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计12/178证明（第一类线性相位条件）：证明（第一类线性相位条件）：第第7

7、 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计13/178幅度函数幅度函数相位函数相位函数严格的线性相位严格的线性相位0证明（第一类线性相位条件）：证明（第一类线性相位条件）：第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计14/178证明（第一类线性相位条件）：证明（第一类线性相位条件）：必要性必要性实部、虚部分别相等实部、虚部分别相等两式相除两式相除第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计15/178关于关于 奇对称奇对称h(n)关于关于 偶对称偶对称证明（第一类线性相位条件）：

8、证明（第一类线性相位条件）：第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计16/178通过类似的推导，可以得到满足第二类线性相通过类似的推导，可以得到满足第二类线性相位条件的系统函数位条件的系统函数频率响应函数函数频率响应函数函数第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计17/178幅度函数幅度函数相位函数相位函数广义的线性相位广义的线性相位0第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计18/178结论结论、第一类线性相位、第一类线性相位、第二类线性相位、第二类线性相位第第7

9、 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计19/178第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计20/1787.1.3 线性相位线性相位FIR滤波器幅度特性滤波器幅度特性1、h(n)为偶对称为偶对称，N为奇数为奇数关于关于 偶对称偶对称关于关于 偶对称偶对称以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并为中心，把两两相等的项进行合并第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计21/178第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计22/

10、1782、h(n)为偶对称为偶对称，N为偶数为偶数第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计23/178n=1,2, 3, , N/2 =时，时， ， H()对对=呈奇对称呈奇对称=0时，时， ， H()对对=0呈偶对称呈偶对称H()对对=2呈偶对称呈偶对称不适合设计高通滤不适合设计高通滤波器、带阻滤波器波器、带阻滤波器第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计24/1783、h(n)为奇对称为奇对称，N为奇数为奇数第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计25/178

11、=0第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计26/178不适合低通滤波器、高通滤波器、带阻滤波器不适合低通滤波器、高通滤波器、带阻滤波器 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计27/1784、h(n)为奇对称为奇对称，N为偶数为偶数第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计28/178不适合于低通滤波不适合于低通滤波器、带阻滤波器器、带阻滤波器 h(n)为奇对称时，有为奇对称时，有90o相移，适用于微分器和相移，适用于微分器和90o移相器，而选频滤移相器，而选频滤

12、波器采用波器采用h(n)为偶对称为偶对称第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计29/178结论：P267表7.1.1 偶对称：偶对称：nN为奇数时， 对 呈偶对称。nN为偶数时， 对 呈偶对称。 奇奇 奇对称：奇对称：nN为奇数时， 对 呈奇对称。nN为偶数时， 对 呈奇对称。 偶偶 在 处，两者完全一样在 处，当N为奇数，两者完全一样；偶数相反对称性与对称性与 在在 处对称性的比较处对称性的比较第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计30/1787.1.4. 线性相位线性相位FIR滤波器的零点分布滤波器

13、的零点分布1、零点的分布原则零点的分布原则若若z=zi 是是H(z)的零点，则的零点，则也是也是H(z)的零点的零点h(n)为实序列时为实序列时线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对即共轭成对且镜像成对对即共轭成对且镜像成对第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计31/1784种种零点零点第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计32/1782、零点的位置零点的位置1）零点零点zi既不在实轴上，也不在单位圆上既不在实轴上，也不在单位圆上4 4个零点成对出现个零点成对出现第第

14、7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计33/1782）零点零点zi不在实轴上，在单位圆上不在实轴上，在单位圆上2 2个零点成对出现个零点成对出现存在共轭对，但倒数是其本身存在共轭对，但倒数是其本身第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计34/1783）零点零点zi在实轴上，不在单位圆上在实轴上，不在单位圆上2 2个零点成对出现个零点成对出现存在倒数，但共轭是其本身存在倒数，但共轭是其本身第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计35/1784）零点零点zi在既实轴上，

15、又在单位圆上在既实轴上，又在单位圆上4 4个互为倒数、共轭的零点合为个互为倒数、共轭的零点合为1 1点点N为偶数时的偶对称为偶数时的偶对称N为偶数时的奇对称为偶数时的奇对称N为奇数时的奇对称为奇数时的奇对称第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计36/178（1）四种）四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于数字滤波器的相位特性只取决于 h(n)的对称性，的对称性，而与而与h(n)的值无关；的值无关；（2）幅度特性取决于）幅度特性取决于h(n)的取值；的取值；（3）设计线性相位）设计线性相位FIR滤波器时，在保证滤波器时，在保证h(n) 对称的条件下对

16、称的条件下 ，只要完成幅度特，只要完成幅度特性的逼近即可。性的逼近即可。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计37/1787.2 窗函数设计法窗函数设计法频域给出指标频域给出指标给出理想滤波器的频率响应给出理想滤波器的频率响应 设计设计FIRFIR滤波器，求其频率响应滤波器，求其频率响应逼近逼近设计在时域进行设计在时域进行hd(n)无限长，非因果无限长，非因果设计设计h(n) ，有限长，因果，有限长，因果逼近逼近第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计38/1787.2.1 设计方法（以低通滤波器设计为例

17、）设计方法（以低通滤波器设计为例）理想低通滤波器的频响理想低通滤波器的频响100为群延时为群延时第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计39/178单位抽样响应单位抽样响应相位相位hd(n)偶对称，对称中心偶对称，对称中心hd(n)无限长的非因果序列无限长的非因果序列第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计40/178设计可设计可实现实现FIR滤波器的单位滤波器的单位脉冲响应脉冲响应窗函数窗函数先选取最简单的窗函数先选取最简单的窗函数第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤

18、波器的设计41/178按第一类线性相位条件，得按第一类线性相位条件，得第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计42/1787.2.2 加窗处理对频谱性能的影响加窗处理对频谱性能的影响理想低通滤波器的频响理想低通滤波器的频响矩形窗的频响矩形窗的频响第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计43/178主瓣宽度主瓣宽度第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计44/178线性相位线性相位幅度函数幅度函数第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数

19、字滤波器的设计45/178窗函数的频率特性窗函数的频率特性WR(ej) 决定了决定了H(ej)对对Hd(ej)的逼近程度。的逼近程度。幅度函数幅度函数相位函数相位函数一般情况一般情况第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计46/178正肩峰正肩峰负肩峰负肩峰第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计47/178加窗函数的影响：加窗函数的影响：形成过渡带形成过渡带 Hd(ej)在截止频率处有陡峭的边沿在截止频率处有陡峭的边沿H()在截止频率处连续曲线在截止频率处连续曲线边边沿沿加加宽宽，形成过渡带形成过渡带窗频

20、谱的主瓣越宽，过渡带也越宽。窗频谱的主瓣越宽，过渡带也越宽。过渡带：正肩峰与负肩峰的间隔过渡带：正肩峰与负肩峰的间隔过渡带宽过渡带宽= =窗频谱窗频谱WR(ej)主瓣宽度主瓣宽度第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计48/178正、负肩峰位置正、负肩峰位置截止频率两侧截止频率两侧窗谱函数旁瓣多窗谱函数旁瓣多起伏振荡多起伏振荡多窗谱函数旁瓣相对幅度大窗谱函数旁瓣相对幅度大起伏振荡幅度大起伏振荡幅度大 H()形成正、负肩峰，肩峰两侧形成起伏振荡形成正、负肩峰，肩峰两侧形成起伏振荡第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤

21、波器的设计49/178改改变变N只只能能改改变变窗窗谱谱的的主主瓣瓣宽宽度度，但但不不能能改改变变主主瓣瓣与与旁旁瓣瓣的的相相对对比比例例。其其相相对对比比例例由由窗窗函数形状决定。函数形状决定。主瓣幅度增加，旁瓣幅度也增加主瓣幅度增加，旁瓣幅度也增加第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计50/178吉布斯效应：（截断效应吉布斯效应：（截断效应）在在矩矩形形窗窗情情况况下下，最最大大相相对对肩肩峰峰为为8.95%，N 增增加加时时， 减减小小，故故起起伏伏变变密密，而而最最大大相相对对肩肩峰峰却却总总是是8.95%，这这种种现现象象称称为为吉吉布布

22、斯斯效效应。应。肩峰值的大小，直接影响通带特性和阻带衰减。肩峰值的大小，直接影响通带特性和阻带衰减。h(n)代替代替 hd(n) 引起的误差，在频域上表现为引起的误差，在频域上表现为第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计51/178图7.2.4 增大增大增大N对矩形窗幅度特的影响对矩形窗幅度特的影响 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计52/178引出原因：引出原因：矩形窗阻带最小衰减矩形窗阻带最小衰减在工程上，衰减量不够在工程上，衰减量不够要加大阻带衰减，需要改善窗口函数形状要加大阻带衰减，需要改善

23、窗口函数形状改善窗口函数形状的标准改善窗口函数形状的标准窗函数不仅起到截断作用，还能起到平滑作用。窗函数不仅起到截断作用，还能起到平滑作用。7.2.3 几种典型的窗函数几种典型的窗函数 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计53/178窗函数的要求：窗函数的要求： （1）窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡）窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带带 （2）尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，）尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，以减小肩峰和波纹以减小肩峰和波纹第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计54/178（1）最大

24、旁瓣峰值）最大旁瓣峰值 （dB）。）。（2）主瓣宽度）主瓣宽度 ，窗函数频谱的主瓣宽度。，窗函数频谱的主瓣宽度。（3）过度带宽）过度带宽 ，窗函数设计得到，窗函数设计得到FIR滤波滤波器的过度带宽，即通带截止频率与阻带截止频器的过度带宽，即通带截止频率与阻带截止频率之差。率之差。（4）阻带最小衰减）阻带最小衰减 （dB）。窗函数设计得到）。窗函数设计得到FIR滤波器的阻带最小衰减。滤波器的阻带最小衰减。窗函数参数：窗函数参数：第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计55/1781. 矩形窗矩形窗(Rectangle Window) 傅里叶变换傅里叶变

25、换幅度函数幅度函数主瓣宽度最窄：主瓣宽度最窄：旁瓣幅度大旁瓣幅度大第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计56/178矩形窗及加窗处理后波器波形矩形窗及加窗处理后波器波形 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计57/178频率响应频率响应 2. 三角形窗三角形窗(Bartlett Window)主瓣宽度宽：主瓣宽度宽：旁瓣幅度较小旁瓣幅度较小第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计58/178第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数

26、字滤波器的设计59/178利用欧拉公式利用欧拉公式 3. 汉宁汉宁(Hanning)窗窗升余弦窗升余弦窗利用利用DTFT的频移特性的频移特性第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计60/178幅度函数幅度函数三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消，能量三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加1 1倍。倍。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计61/178主瓣宽度宽：主瓣宽度宽：旁瓣幅度小旁瓣幅度小第第7 7章章 有限长单位抽样响应

27、数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计62/178第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计63/1784. 汉明汉明(Hamming)窗窗改进的升余弦窗改进的升余弦窗 幅度函数幅度函数主瓣宽度宽：主瓣宽度宽：旁瓣幅度更小旁瓣幅度更小第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计64/178第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计65/1785. 布莱克曼布莱克曼(Blackman)窗窗在在升升余余弦弦窗窗的的定定义义式式中中再再加加上上一一个个二二次次谐谐波

28、波的的余余弦弦分分量量得得到到的的，故故又又称称二二阶阶升升余余弦弦窗窗。可可进进一步抑制旁瓣的效果一步抑制旁瓣的效果第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计66/178幅度函数幅度函数主瓣宽度最宽：主瓣宽度最宽：旁瓣幅度最小旁瓣幅度最小第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计67/178第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计68/1786. 凯塞凯塞贝塞尔窗贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window)前面介绍的窗函数统都是固定窗，即用每种窗函数前面介绍的

29、窗函数统都是固定窗，即用每种窗函数设计的滤波器的阻带最小衰减是固定不变的，而且设计的滤波器的阻带最小衰减是固定不变的，而且都是以牺牲主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制的，这两都是以牺牲主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制的，这两个指标不能同时兼顾。而凯塞窗是一种可调整的窗个指标不能同时兼顾。而凯塞窗是一种可调整的窗函数，可以实现以同一种窗函数类型来满足不同性函数，可以实现以同一种窗函数类型来满足不同性能需求的目的。在相同的性能指标下，通过调整控能需求的目的。在相同的性能指标下，通过调整控制参数可以达到不同的阻带最小衰减，同时可以保制参数可以达到不同的阻带最小衰减，同时可以保证最小的主瓣宽度，即有最陡峭的过渡带，

30、实现在证最小的主瓣宽度，即有最陡峭的过渡带，实现在主瓣宽度和旁瓣峰值之间的平衡。反之，给定指标，主瓣宽度和旁瓣峰值之间的平衡。反之，给定指标，凯塞窗可以使滤波器的阶数最小。因此，凯塞窗是凯塞窗可以使滤波器的阶数最小。因此，凯塞窗是一种近似最佳的窗函数。一种近似最佳的窗函数。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计69/178 是一个可选参数，是一个可选参数，用来选择主瓣宽度和用来选择主瓣宽度和旁瓣衰减之间的交换旁瓣衰减之间的交换关系，一般说来，关系，一般说来， 越大越大,过渡带越宽，阻过渡带越宽，阻带越小衰减也越大。带越小衰减也越大。I0()是第一类

31、修正是第一类修正零阶贝塞尔函数。零阶贝塞尔函数。一般取一般取1525项就项就可满足精度要求。可满足精度要求。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计70/178 参参数数可可以以控控制制窗窗的的形形状状。一一般般加加大大，主主瓣瓣加加宽宽，旁旁瓣瓣幅幅度度减减小小，典典型型数数据据为为4 9。当当 =5.44时时，窗窗函函数数接接近近哈哈明明窗窗。 =7.865时时，窗窗函函数数接接近近布布莱莱克曼窗。克曼窗。图图7.2.13 凯塞窗波形凯塞窗波形（N=21）第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计71/1

32、78图图7.2.14 参数变化时凯塞窗的傅里叶变换参数变化时凯塞窗的傅里叶变换 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计72/178表表7.2.1 对滤波器性能的影响对滤波器性能的影响第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计73/178若阻带最小衰减表示为若阻带最小衰减表示为st，的确定可采用下的确定可采用下述经验公式述经验公式第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计74/178第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计7

33、5/1787.2.4 窗函数设计法总结窗函数设计法总结 (1)确定所希望设计滤波器的确定所希望设计滤波器的hd(n)一一般般以以理理想想线线性性相相位位滤滤波波器器作作为为逼逼近近函函数数来来求求hd(n)，即即设设Hd(ej)为为理理想想线线性性相相位位滤滤波波器器，那那么单位取样响应用下式求出：么单位取样响应用下式求出：求解过程中涉及求解过程中涉及Hd(ej)的截止频率的截止频率第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计76/178(2)根根据据对对过过渡渡带带及及阻阻带带衰衰减减的的要要求求，选选择择窗窗函函数数的的形形式式，并并估估计计窗窗口口

34、长长度度N。一一般般原原则则是是在在满满足足阻阻带带最最小小衰衰减减的的要要求求下下，尽尽量量选选择择主主瓣窄的窗函数。瓣窄的窗函数。(3) 计算滤波器的单位取样响应计算滤波器的单位取样响应h(n)， h(n) =hd(n)w(n)(4)验算技术指标是否满足要求。验算技术指标是否满足要求。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计77/178低通滤波器的设计低通滤波器的设计例例7.3.1 利用窗函数法设计一个利用窗函数法设计一个FIR低通滤波低通滤波器，要求：通带截止频率器，要求：通带截止频率p=0.3，阻带截止，阻带截止频率频率st=0.5，阻带最小

35、衰减，阻带最小衰减st50dB。解解：（：（1）以理想线性相位低通滤波器作为以理想线性相位低通滤波器作为逼近滤波器，即逼近滤波器，即第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计78/178单位抽样响应为单位抽样响应为理想低通滤波器的截止频率理想低通滤波器的截止频率c为为为了保证线性相位为了保证线性相位第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计79/178（2）依据阻带最小衰减指标选择窗函数类型。）依据阻带最小衰减指标选择窗函数类型。因为要求因为要求st50dB ，查表，查表7.2.1可以看出汉明窗、可以看出汉明窗

36、、布莱克曼窗等都满足要求。但由于汉明窗的主布莱克曼窗等都满足要求。但由于汉明窗的主瓣最窄，因而我们选择汉明窗，其表达式为瓣最窄，因而我们选择汉明窗，其表达式为由过渡带宽确定窗的长度由过渡带宽确定窗的长度N。设计所要求的过。设计所要求的过渡带宽为渡带宽为第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计80/178汉明窗的带宽为汉明窗的带宽为（3）确定所设计滤波器）确定所设计滤波器 h(n)。依据所选窗函。依据所选窗函数，得到单位抽样响应为数，得到单位抽样响应为第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计81/178（4）

37、由）由h(n) 求出求出H(ej) ，以便验证设计结果是，以便验证设计结果是否满足要求。否满足要求。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计82/178例例7.3.2 利用窗函数法设计一个利用窗函数法设计一个FIR低通滤波器，低通滤波器，所希望的频率响应函数为所希望的频率响应函数为若长度若长度N=21，观察加不同窗函数后滤波器幅，观察加不同窗函数后滤波器幅度特性的变化。度特性的变化。解：解：第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计83/178若选择矩形窗函数，则有若选择矩形窗函数，则有若选择汉宁窗函数，则有

38、若选择汉宁窗函数，则有第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计84/178矩形窗设计的矩形窗设计的FIR滤波器幅度滤波器幅度特性特性；汉宁窗设计的汉宁窗设计的FIR滤波器幅度滤波器幅度特性特性第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计85/178例例7.3.3 利用凯塞窗设计一个利用凯塞窗设计一个FIR低通滤波器，低通滤波器，要求：通带截止频率要求：通带截止频率p=0.4，阻带截止频率，阻带截止频率st=0.6，阻带最小衰减，阻带最小衰减st60dB。解解：（：（1）确定凯塞窗的参数确定凯塞窗的参数和和N。取

39、取N=38第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计86/178（2）确定理想低通滤波器的截止频率）确定理想低通滤波器的截止频率c（3）求解）求解hd(n)。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计87/178（4）确定所设计滤波器）确定所设计滤波器h(n)。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计88/178例例2 设计一个线性相位设计一个线性相位FIR低通滤波器，低通滤波器，给定抽样频率为给定抽样频率为通带截止频率为通带截止频率为阻带起始频率为阻带起始频率为阻带

40、衰减不小于阻带衰减不小于-50dB。解：解：1）求数字频率）求数字频率第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计89/1782）求）求hd(n)3）选择窗函数：由）选择窗函数：由 确定汉明窗确定汉明窗第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计90/1784）确定）确定N 值值5）确定）确定FIR滤波器的滤波器的h(n)第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计91/1786 6）求）求 ，验证，验证若不满足，则改变若不满足，则改变N或窗形状重新设或窗形状重新设计计第第7

41、 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计92/1781、线性相位、线性相位FIR高通滤波器的设计高通滤波器的设计理想线性相位高通滤波器的频率响应函数为理想线性相位高通滤波器的频率响应函数为单位抽样响应为单位抽样响应为高通滤波器高通滤波器的长度的长度N只能只能取奇数取奇数第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计93/178例例7.3.4 利用汉明窗设计一个利用汉明窗设计一个FIR高通滤波器，高通滤波器，所希望的频率响应函数为所希望的频率响应函数为取长度取长度N=31。解：解：第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤

42、波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计94/178选择汉明窗函数，则选择汉明窗函数，则第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计95/1782、线性相位、线性相位FIR带通滤波器的设计带通滤波器的设计理想带通的频响理想带通的频响其单位抽样响应：其单位抽样响应：第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计96/178例例7.3.5 利用汉宁窗设计一个利用汉宁窗设计一个FIR带通滤波器，带通滤波器，所希望的频率响应函数为所希望的频率响应函数为取长度取长度N=31。解：解：第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤

43、波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计97/178所设计带通滤波器的单位抽样响应为所设计带通滤波器的单位抽样响应为第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计98/1783、线性相位、线性相位FIR带阻滤波器的设计带阻滤波器的设计理想带阻的频响：理想带阻的频响：其单位抽样响应：其单位抽样响应：第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计99/178例例7.3.6 利用矩形窗设计一个利用矩形窗设计一个FIR带阻滤波器，带阻滤波器，所希望的频率响应函数为所希望的频率响应函数为取长度取长度N=31。解：解：第第7

44、7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计100/178所设计带阻滤波器的单位抽样响应为所设计带阻滤波器的单位抽样响应为第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计101/1787.4 频率抽样设计法频率抽样设计法频率抽样设计法则是在频域内，以有限个频率响应频率抽样设计法则是在频域内，以有限个频率响应抽样，去近似所希望的理想频率响应抽样，去近似所希望的理想频率响应Hd(ej)的设计的设计方法。方法。窗函数设计法：窗函数设计法：第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计102/17

45、8对于一个长度为对于一个长度为N的序列的序列h(n)，若知道其频域的，若知道其频域的N个个抽样值抽样值H(k)，则，则h(n)就可以由就可以由H(k) 唯一地确定。同唯一地确定。同时，也就可以获得其系统函数时，也就可以获得其系统函数H(z)或频率响应函数或频率响应函数H(ej) 。设所希望得到的频率响应为设所希望得到的频率响应为Hd(ej) （一般为理想频（一般为理想频率响应），在频域的率响应），在频域的=02之间对其等间隔抽样之间对其等间隔抽样N点（或对点（或对Hd(z) 在单位圆上进行等间隔抽样），得到在单位圆上进行等间隔抽样），得到 个抽样值为个抽样值为7.4.1 设计的基本思想设计的基

46、本思想第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计103/178则则重构系统函数重构系统函数H(z)(7.4.1)第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计104/178将将z=ej代入代入H(z)表达式可得表达式可得式中，内插函数式中，内插函数(7.4.2)第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计105/178从式（从式（7.4.2）可以看出，在个频率抽样点上，滤波）可以看出，在个频率抽样点上，滤波器的实际频率响应时严格和理想频率响应数值相等，器的实际频率响应时严格和

47、理想频率响应数值相等，但是在抽样点之间的频率响应则是个抽样点的加权但是在抽样点之间的频率响应则是个抽样点的加权内插函数的延伸叠加而形成的，因而有一定的逼近内插函数的延伸叠加而形成的，因而有一定的逼近误差，误差大小取决于理想频率响应的曲线形状，误差，误差大小取决于理想频率响应的曲线形状，理想频率响应特性变化越平缓，则内插越接近理想理想频率响应特性变化越平缓，则内插越接近理想值，逼近误差越小；反之，如果抽样点之间的理想值，逼近误差越小；反之，如果抽样点之间的理想频率响应变化越陡，则内插与理想值之间误差就越频率响应变化越陡，则内插与理想值之间误差就越大。大。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波

48、器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计106/178抽样点上，频率响应严格相等抽样点上，频率响应严格相等抽样点之间，加权内插函数的延伸叠加抽样点之间，加权内插函数的延伸叠加 变化越平缓，内插越接近理想值，逼近误差较小变化越平缓，内插越接近理想值，逼近误差较小第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计107/1787.4.2 H(k)满足的条件满足的条件关于线性相位关于线性相位FIR滤波器的时域、频域特性，我们已滤波器的时域、频域特性，我们已经将其归纳于表经将其归纳于表7.1.1中。下面将以该表内容为依据，中。下面将以该表内容为依据，讨论当讨论当H(

49、k)的幅度和相位满足什么条件时，才能使的幅度和相位满足什么条件时，才能使所设计的所设计的FIR滤波器具有线性相位。滤波器具有线性相位。为了讨论方便，将所设计滤波器的为了讨论方便，将所设计滤波器的H(ej) 、H(k)分别分别表示成以下形式：表示成以下形式：(7.4.3)(7.4.4)第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计108/178比较上述两式，可知下述关系成立：比较上述两式，可知下述关系成立：(7.4.5)(7.4.6)第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计109/178从表从表7.1.1中看到，此

50、时幅度函数中看到，此时幅度函数关于关于=偶对称，即偶对称，即则则即即相位抽样相位抽样(k)1）h(n)偶对称，偶对称，N为奇数为奇数(7.4.7)(7.4.8)第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计110/178此时幅度函数关于此时幅度函数关于=奇对称，即奇对称，即即即相位抽样相位抽样(k)2）h(n)偶对称，偶对称，N为偶数为偶数第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计111/1783）h(n)奇对称，奇对称，N为奇数为奇数3）h(n)奇对称，奇对称，N为偶数为偶数第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字

51、滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计112/1787.4.3 设计公式设计公式频率抽样的两种方法频率抽样的两种方法第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计113/1781）第一种频率抽样）第一种频率抽样系统函数系统函数：频率响应：频率响应：第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计114/1782）第二种频率抽样）第二种频率抽样系统函数：系统函数：频率响应：频率响应：第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计115/178线性相位第一种频率抽样依据式（依据式

52、（7.4.8）而而当当N为奇数时，为奇数时，N-1为偶数，由于为偶数，由于 ，则可取，则可取第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计116/178当当N为偶数时，为偶数时， 为为N-1奇数，由于奇数，由于 ，则可取，则可取但此时但此时A(k)=-A(N-k)，则，则所以此时可以将幅度抽样和相位抽样改写为所以此时可以将幅度抽样和相位抽样改写为第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计117/178综合上述分析过程，可得到如下设计公式：综合上述分析过程，可得到如下设计公式：（1）N为奇数为奇数（2）N为偶数为偶数

53、(7.4.9)(7.4.10)第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计118/178例如：设计所希望的滤波器是理想低通滤波器，要例如：设计所希望的滤波器是理想低通滤波器，要求截止频率为求截止频率为c，抽样点数，抽样点数N为奇数，则为奇数，则A(k) 、(k)可以下列公式计算：可以下列公式计算：kc为小于或等于为小于或等于 的最大整数。的最大整数。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计119/1787.4.4 逼近误差逼近误差1、逼近误差的特点、逼近误差的特点例例7.4.1 用频率抽样法设计一个具有第一类线

54、性相位用频率抽样法设计一个具有第一类线性相位FIR低通滤波器，要求截止频率低通滤波器，要求截止频率c =0.4，绘制出当，绘制出当频域抽样点数频域抽样点数 分别为分别为15、65时的设计结果波形，并时的设计结果波形，并分析逼近误差的特点。分析逼近误差的特点。解：以理想低通滤波器作为希望逼近的滤波器，则解：以理想低通滤波器作为希望逼近的滤波器，则频率响应函数为频率响应函数为第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计120/178（1）对）对Hd(ej) 进行抽样。先计算在通带内的抽样点进行抽样。先计算在通带内的抽样点数数kc +1（ =0 ）。依据所要求

55、的截止频率，得）。依据所要求的截止频率，得则则接下来，从接下来，从=0开始对开始对Hd(ej) 在在 =0 2抽样抽样15点，点，得到幅度抽样得到幅度抽样A(k)，如图，如图7.4.1(a)所示。所示。 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计121/178图图7.4.1 例例7.4.1波形波形 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计122/178因为因为N为奇数，所以依据式为奇数，所以依据式(7.4.9)的设计公式，此时的设计公式，此时相位抽样为相位抽样为由此得频率抽样由此得频率抽样H(k)为为第第7

56、7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计123/178（2）求解）求解h(n)（3）求解设计所得滤波器的频率响应）求解设计所得滤波器的频率响应H(ej)由于由于A(k)=A(N-k)，(k)=-(N-1)k/N，所以满足线性，所以满足线性相位条件。相位条件。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计124/178当当N=65时，幅度响应如图时，幅度响应如图7.4.2所示，为了便于比较，所示，为了便于比较，与与N=15的曲线绘制在一起。其中，由黑圆点所描述的曲线绘制在一起。其中，由黑圆点所描述的曲线是的曲线是N=65时

57、绘制出的时绘制出的 波形，空心圆表示波形，空心圆表示N=15时的时的 波形。波形。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计125/178由上图看出，抽样点数由上图看出，抽样点数N越大，越大，Hd()平坦区域的误平坦区域的误差越小，过渡带也越窄，通带与阻带的波纹变化越差越小，过渡带也越窄，通带与阻带的波纹变化越快。本例中当快。本例中当N=15时，阻带最小衰减时，阻带最小衰减st约为约为15.2dB, 当当N=65时，时， st约为约为16.6dB, 可见可见N的增大对阻带的最的增大对阻带的最小衰减并无明显改善。小衰减并无明显改善。2逼近误差产生的原因逼

58、近误差产生的原因(频域和时域）频域和时域）频域：从式（频域：从式（7.4.2）可以看出，）可以看出， H(ej)在各频率抽在各频率抽样点上等于本抽样点出的样点上等于本抽样点出的H(k)，但是在抽样点之间，但是在抽样点之间则由各抽样值则由各抽样值H(k)乘以相应的内插函数延伸叠加而乘以相应的内插函数延伸叠加而成。这样，在各抽样点处，二者的逼近误差为零；成。这样，在各抽样点处，二者的逼近误差为零；而在各抽样频率点之间存在逼近误差，误差大小取而在各抽样频率点之间存在逼近误差，误差大小取决于理想频率响应的曲线形状和决于理想频率响应的曲线形状和N的大小。的大小。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波

59、器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计126/178时域：时域：依据频域抽样知识依据频域抽样知识若若Hd(ej)是分段的，则是分段的，则hd(n)是无限长的。这样，是无限长的。这样，hd(n)在周期延拓时，就会产生时域混叠，从而使所在周期延拓时，就会产生时域混叠，从而使所设计的设计的h(n)与所希望的与所希望的hd(n)之间出现偏差。同时，之间出现偏差。同时，频域抽样点数频域抽样点数N越大，越大，h(n)越接近于越接近于hd(n)。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计127/1783减小逼近误差的措施减小逼近误差的措施1）增加过渡带抽样点）增

60、加过渡带抽样点加大过渡带宽，即在不连续点的边缘增加值为加大过渡带宽，即在不连续点的边缘增加值为0到到1之间（不包含之间（不包含0和和1）的过渡带抽样点，可以缓和阶）的过渡带抽样点，可以缓和阶跃突变，使所希望的幅度特性跃突变，使所希望的幅度特性Hd()由通带比较平滑由通带比较平滑的过渡到阻带，从而使波纹幅度大大减小，同时阻的过渡到阻带，从而使波纹幅度大大减小，同时阻带衰减也得到改善，如图带衰减也得到改善，如图7.4.3所示。所示。图图7.4.3增加过渡带抽样示意图增加过渡带抽样示意图 注意：这时总抽注意：这时总抽样点数样点数N并未改并未改变，只是将原来变，只是将原来为零的几个点改为零的几个点改为

61、非零点为非零点第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计128/178增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减，一般取过渡增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减，一般取过渡带的抽样点数为带的抽样点数为13点即可得到满意的效果。点即可得到满意的效果。不加过渡抽样点：不加过渡抽样点：加一点：加一点：加两点：加两点：加三点：加三点：第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计129/1782）增大抽样点数）增大抽样点数 N如果在要求减小波纹幅度、加大阻带衰减的同时，又如果在要求减小波纹幅度、加大阻带衰减的同时，又要求不能增加过渡带宽

62、，则可以增大抽样点数要求不能增加过渡带宽，则可以增大抽样点数N 。增。增加加N，使抽样点变密，减小过渡带宽度，但增加了计，使抽样点变密，减小过渡带宽度，但增加了计算量算量优点：频域直接设计优点：频域直接设计缺点：抽样频率只能是缺点：抽样频率只能是 或或 的整数倍，的整数倍， 截止频率截止频率c不能任意取值。不能任意取值。(7.4.11)第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计130/1787.4.5 设计步骤及举例设计步骤及举例（1）确定过渡带抽样点数）确定过渡带抽样点数m。依据给定的。依据给定的st ，结合，结合表表7.4.1确定。确定。（2）估算

63、抽样点数）估算抽样点数N 。依据给定的过渡带宽。依据给定的过渡带宽B，利用式（利用式（7.4.11）来确定。）来确定。（3）确定所希望逼近的频率响应函数）确定所希望逼近的频率响应函数Hd(ej) 。一般。一般选择选择Hd(ej)为理想频率响应，注意应确保相位为理想频率响应，注意应确保相位()为线性相位，而要为线性相位，而要Hd()满足线性相位要求。满足线性相位要求。（4）对）对Hd(ej)进行频域抽样，得到进行频域抽样，得到H(k) 。首先确定。首先确定在通带内的抽样点数在通带内的抽样点数kc +1（ =0 ）;然后进行抽样，然后进行抽样，并加入过渡带抽样点。并加入过渡带抽样点。第第7 7章章

64、 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计131/178（5）求解所设计滤波器单位抽样响应）求解所设计滤波器单位抽样响应h(n)。对。对H(k)做做N点离散傅里叶反变换即得，即点离散傅里叶反变换即得，即（6）设计结果验证。）设计结果验证。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计132/178例例7.4.2 运用频率抽样法设计一个运用频率抽样法设计一个FIR低通数字滤波低通数字滤波器，要求截止频率器，要求截止频率c =0.4，阻带最小衰减，阻带最小衰减st 40 dB，过渡带宽，过渡带宽B 0.1，所设计的滤波器应具有第一，

65、所设计的滤波器应具有第一类线性相位。类线性相位。解解：（：（1）确定需增加的过渡带抽样点数确定需增加的过渡带抽样点数m根据所要求的根据所要求的st ，由表，由表7.4.1看出，当看出，当m=1时，满足时，满足st 40 dB的要求。的要求。（2）估算频域抽样点数，依据式）估算频域抽样点数，依据式(7.4.11)，得，得留一点的裕量，取留一点的裕量，取N=41第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计133/178（3）构造所希望的频率响应函数。依据题意选择以）构造所希望的频率响应函数。依据题意选择以下理想函数：下理想函数：（4）频域抽样，求得）频域抽样

66、，求得H(k)先求先求kc，依据所要求的截止频率，得，依据所要求的截止频率，得所以在通带内抽样所以在通带内抽样9点（点（=0）第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计134/178此题是此题是h(n)偶对称，偶对称，N为奇数的情况。所以从为奇数的情况。所以从 =0开开始对始对Hd()在在 =02内抽样内抽样41点，得到幅度抽样点，得到幅度抽样A(k)在在A(k)原为零的原为零的k=9、32处加入值为处加入值为0.38的过渡带抽的过渡带抽样点，即样点，即A(9)=A(32)=0.38，则，则第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽

67、样响应数字滤波器的设计135/178又依据式又依据式(7.4.9)得到相位抽样得到相位抽样(k)为为由此得到频率抽样由此得到频率抽样第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计136/178（5）求解）求解h(n)。对。对H(k)做做41点离散傅里叶反变换即点离散傅里叶反变换即得，即得，即（6）分析所设计滤波器的频域性能。）分析所设计滤波器的频域性能。将将H(k)表达式带入内插公式（表达式带入内插公式（7.4.2）化简，得）化简，得第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计137/178依据上式分析滤波器的性能，

68、从而验证设计结果是依据上式分析滤波器的性能，从而验证设计结果是否满足指标要求。设计过程及结果波形如图否满足指标要求。设计过程及结果波形如图7.4.4所所示。示。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计138/178图图7.4.4 例例7.4.2波形波形阻带衰减：阻带衰减：-42.2dB第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计139/178例：利用频率抽样法设计一个频率特性为矩形的理例：利用频率抽样法设计一个频率特性为矩形的理想低通滤波器，截止频率为想低通滤波器，截止频率为0.5，抽样点数为，抽样点数为N=3

69、3，要求滤波器具有线性相位。，要求滤波器具有线性相位。解：理想低通频率特性解：理想低通频率特性按第一种频率抽样方式，按第一种频率抽样方式，N=33，得，得第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计140/178得线性相位得线性相位FIR滤波器的频率响应：滤波器的频率响应：过渡带宽：过渡带宽：阻带衰减：阻带衰减：-20dB第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计141/178增加一点过渡带抽样点，令增加一点过渡带抽样点，令H(9)=0.5 过渡带宽：过渡带宽：阻带衰减：阻带衰减：-40dB第第7 7章章 有限长

70、单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计142/178增加两点过渡带抽样点，增加两点过渡带抽样点，且增加抽样点数为且增加抽样点数为N=65，令令H(17)=0.5886 H(18)=0.1065过渡带宽：过渡带宽：阻带衰减：阻带衰减：-60dB第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计143/178 窗函数设计法和频率抽样设计法的优点是简单窗函数设计法和频率抽样设计法的优点是简单直观、易于实现。但同时二者存在以下不足：所设直观、易于实现。但同时二者存在以下不足：所设计滤波器的通带和阻带的截止频率不易精确控制；计滤波器的通带和阻带的

71、截止频率不易精确控制；通带和阻带内的波纹幅度不能分开控制；由于所设通带和阻带内的波纹幅度不能分开控制；由于所设计的滤波器一般在阻带的截止频率附近刚好满足衰计的滤波器一般在阻带的截止频率附近刚好满足衰减要求，而在大于该截止频率的频段，衰减加大，减要求，而在大于该截止频率的频段，衰减加大，因而存在很大的衰减裕量，即这两种设计方法存在因而存在很大的衰减裕量，即这两种设计方法存在较大的资源浪费，所设计的滤波器性价比不高。较大的资源浪费，所设计的滤波器性价比不高。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计144/1787.5 等波纹最佳逼近设计法等波纹最佳逼近设

72、计法 针对窗函数设计法和频率抽样设计法存在的缺针对窗函数设计法和频率抽样设计法存在的缺点，我们希望有一种方法，在滤波器长度点，我们希望有一种方法，在滤波器长度 给定的情给定的情况下，设计出的滤波器是所能得到的所有滤波器中况下，设计出的滤波器是所能得到的所有滤波器中性能最佳的，即寻求一种最优化的设计方法，而等性能最佳的，即寻求一种最优化的设计方法，而等波纹最佳逼近设计法就是这样一种方法。波纹最佳逼近设计法就是这样一种方法。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计145/1787.5.1 设计思想设计思想 设计滤波器的过程，其实就是用一个实际的频设计滤波

73、器的过程，其实就是用一个实际的频率响应函数率响应函数H(ej)（或对应的（或对应的h(n) ）对所希望的频率）对所希望的频率响应函数响应函数Hd(ej) （或对应的（或对应的hd (n) ）的一个逼近过程。）的一个逼近过程。而最优化设计过程则是依据某一优化准则，改变一而最优化设计过程则是依据某一优化准则，改变一组变量值，进行迭代运算，寻求一种最佳逼近的过组变量值，进行迭代运算，寻求一种最佳逼近的过程。程。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计146/178函数逼近准则函数逼近准则（1）均方误差最小准则均方误差最小准则：窗函数设计法：窗函数设计法（2

74、）插值逼近准则插值逼近准则：频率抽样设计法：频率抽样设计法这两种逼近有一个共同的缺点：在整个要求逼近的这两种逼近有一个共同的缺点：在整个要求逼近的区间（区间（0）内误差分布是不均匀的，特别是在幅）内误差分布是不均匀的，特别是在幅度特性具有跃变点的过渡区附近，误差最大。度特性具有跃变点的过渡区附近，误差最大。（3）最大误差最小化准则最大误差最小化准则：等波纹最近逼近设计法，：等波纹最近逼近设计法，使得在要求逼近的整个范围内，逼近误差分布是均使得在要求逼近的整个范围内，逼近误差分布是均匀的，所以也称为最佳一致意义下的逼近。匀的，所以也称为最佳一致意义下的逼近。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字

75、滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计147/178 在设计滤波器时，对通带和阻带的性能要求是在设计滤波器时，对通带和阻带的性能要求是不同的，为了统一使用最大误差最小化准则，则采不同的，为了统一使用最大误差最小化准则，则采用误差函数加权的办法，使得不同频段（如通带和用误差函数加权的办法，使得不同频段（如通带和阻带）的加权误差最大值是相等的。阻带）的加权误差最大值是相等的。 设所希望的幅度频率响应为设所希望的幅度频率响应为Hd() ，实际设计，实际设计得到的频率响应为得到的频率响应为H() ，误差的加权函数为，误差的加权函数为W() ，则定义加权逼近误差函数为，则定义加权逼近误差函数为（

76、7.5.1）第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计148/178使式使式(7.5.1)所定义的加权逼近误差函数所定义的加权逼近误差函数 的最大绝对的最大绝对值在各个要求逼近的频带内达到最小，即值在各个要求逼近的频带内达到最小，即式中，式中，|E()|为得到的最小值，为得到的最小值，A为所要求逼近的通为所要求逼近的通带和阻带。带和阻带。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计149/1787.5.2 交错点组定理交错点组定理若若H()是是r个余弦函数的线性组合，即个余弦函数的线性组合，即A是是0,内的一个闭

77、区间（包括通带、阻带，但不包内的一个闭区间（包括通带、阻带，但不包括过渡带），括过渡带），Hd()是是A上的一个连续函数，则上的一个连续函数，则Hd()的唯一和最佳一致逼近的充要条件是：加权逼近误的唯一和最佳一致逼近的充要条件是：加权逼近误差函数差函数E()在在A中至少存在中至少存在r+2个交错频率点个交错频率点01|，则说明，则说明是纹波的极值，且初始猜测是纹波的极值，且初始猜测i（i=0,1, ,r+1）恰好是交错点组频率，计算即可结）恰好是交错点组频率，计算即可结束。束。（7.5.8）第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计158/178（2）

78、对上次确定的交错点组）对上次确定的交错点组 i（i=0,1, ,r+1）中）中的每一点，都检查在其附近是否存在使的每一点，都检查在其附近是否存在使| E( )|的的频率点，如存在，则在该点附近找出局部极值点，频率点，如存在，则在该点附近找出局部极值点，并用找到的这一局部极值点代替原来的点。待并用找到的这一局部极值点代替原来的点。待r+2点点都检查完毕，便得到一组新的交错点组频率都检查完毕，便得到一组新的交错点组频率i（i=0,1, ,r+1） ，再次依据式，再次依据式(7.5.5)(7.5.8) 重新重新计算计算 、 H()和和E() ，这样就完成了一次迭代，也，这样就完成了一次迭代，也就完成

79、了一次交错点组的调整。就完成了一次交错点组的调整。（3）利用和（）利用和（2）相同的方法，再次调整交错点组）相同的方法，再次调整交错点组中频率。中频率。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计159/178重复上述步骤。由于每次得到的新的交错点组频率重复上述步骤。由于每次得到的新的交错点组频率都是上一次交错点组频率所确定的都是上一次交错点组频率所确定的E()的局部极值的局部极值点频率，因此在迭代过程中点频率，因此在迭代过程中是递增的，最后是递增的，最后收敛收敛到自己的上限，也即到自己的上限，也即H()最佳一致地逼近最佳一致地逼近Hd()的解。的解。所

80、以，迭代过程在重复到新的所以，迭代过程在重复到新的与上一次的与上一次的相同时相同时即可结束。由最后一组交错点即可结束。由最后一组交错点i（i=0,1, ,r+1）依）依据式据式(7.5.7)求出求出 ，再加上线性相位条件，作，再加上线性相位条件，作DTFT（FFT）即可求出）即可求出 。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计160/178等波纹最佳逼近法设计线性相位等波纹最佳逼近法设计线性相位FIRFIR滤波器的步骤滤波器的步骤（1）确定滤波器的性能要求。主要是指确定所希望）确定滤波器的性能要求。主要是指确定所希望设计滤波器的幅度频率响应函数设计滤

81、波器的幅度频率响应函数Hd() 、 W()误差误差加权函数加权函数W()和滤波器单位抽样响应长度和滤波器单位抽样响应长度N。（2）确定所希望设计滤波器的类型。这些类型包括）确定所希望设计滤波器的类型。这些类型包括低通、高通、带通、带阻、差分器和低通、高通、带通、带阻、差分器和Hilbert变换器。变换器。（3）运用瑞米兹算法，求逼近问题）运用瑞米兹算法，求逼近问题E()= W()H()-Hd()的解，得到的解，得到H()。（4）计算所设计滤波器的单位抽样响应）计算所设计滤波器的单位抽样响应h(n)。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计161/17

82、8设计过程中滤波器长度设计过程中滤波器长度N需事先给定，对于低通滤波需事先给定，对于低通滤波器，通常用以下近似公式来估算滤波器长度：器，通常用以下近似公式来估算滤波器长度：与窗函数设计法和频率抽样设计法相比，运用等波与窗函数设计法和频率抽样设计法相比，运用等波纹最佳逼近设计法得到的滤波器的最大误差均匀分纹最佳逼近设计法得到的滤波器的最大误差均匀分布，性价比最高。在布，性价比最高。在N相同时，这种方法使所设计滤相同时，这种方法使所设计滤波器的最大逼近误差最小，即通带最大衰减最小、波器的最大逼近误差最小，即通带最大衰减最小、阻带最小衰减最大；在设计指标相同时，这种方法阻带最小衰减最大；在设计指标相

83、同时，这种方法设计出的滤波器阶数最低。设计出的滤波器阶数最低。（7.5.9）第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计162/1787.6 IIR滤波器和滤波器和FIR滤波器的比较滤波器的比较IIR滤波器滤波器FIR滤波器滤波器h(n)无限长无限长h(n)有限长有限长极点位于极点位于z平面任意位置平面任意位置滤波器阶次低滤波器阶次低非线性相位非线性相位递归结构递归结构 不能用不能用FFT计算计算可用模拟滤波器设计可用模拟滤波器设计用于设计规格化的选用于设计规格化的选频滤波器频滤波器极点固定在原点极点固定在原点滤波器阶次高得多滤波器阶次高得多可严格的线性相位可严格的线性相位一般采用非递归结构一般采用非递归结构可用可用FFT计算计算设计借助于计算机设计借助于计算机可设计各种幅频特性可设计各种幅频特性和相频特性的滤波器和相频特性的滤波器