《专题21 球的切与接问题【一题一专题 技巧全突破】2022高三二轮热点题型专项突破（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题21 球的切与接问题【一题一专题 技巧全突破】2022高三二轮热点题型专项突破（解析版）（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、球的切与接问题高考定位球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目.而且球相 关的特殊距离，即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握基本的解题技巧.还有球的截面 的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题,更应特别加以关注的.题 目一般属于中档难度，往往单独成题，或者在解答题中以小问的形式出现.专题解析（1）补形 （2）找球心 （3）作球心 （4）平面化 （5）动态切接专项突破类型一、补形例1-L九章算术中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖般，假设三棱锥P-ABC为 鳖膈，B4_L平面ABC, PA= BC=49 AB = 39 ABA.BC,假设三棱锥
2、尸一ABC的所有顶点 都在球。上，那么球。的半径为（）a 向R 333A. D. C. -U.一2482【答案】A【分析】补成长方体【详解】A由题意，将鳖臊补形为长方体如图，那么三棱锥P-ABC的外接球即为长方体的外接球.外接球的半径为7? = -PC = -a/42 +32 +42 =-V41.222应选：A练.空间四面体ABC。中，AB = CD = 2, AD = BC = 3, AC = BD = ,那么该四面体的外接球的外表积为23【答案】空【分析】补成长方体【详解】而与其所有棱都相切的称为棱切球，设以下“等长正棱柱（锥）”的棱长都为1,那么以下说 法中正确的有（）A.正方体的棱切球
3、的半径为/B.正四面体的棱切球的外表积为三2C.等长正六棱柱的棱切球的体积为上377rD.等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面（侧面和底面）截得的截面面积之和为一12答案：BCD例1-6.在四棱锥PA5CD中，B4_L底面且ZBAD = 120,PA = AB = AD = 2,那么该四棱锥外接球的体积为（）D20也兀r2020a/5A. 4岛B. -C.言。【答案】C【分析】补成对称体【解析】如下图，连接AC,设AC的中点为G,因为 A3 J_3C, ADA.CD,连接AC,设AC的中点为G,因为 A3 J_3C, ADA.CD,所以AC是底面A3CO外接圆的直径，又 A3 = AD = 2,所
4、以肋 aAB8R%ADC ,又 NH4D = 120。，得 ZBAC = ZQ4C = 60。,又底面 ABC。，那么 B4LAC,所以 NB4C = 90。,即PC是球的直径，那么PC的中点。为球心，连接OG,AO,pA易知OG/24,所以OG =1,且OG_L底面A3CD.ah在 HMABC 中，AC = 4,那么 AG =，= 2,cos6002又在HAOG中，球半径Q4 = Sg? +AG?=#），那么该四棱锥外接球的体积v=37r（6）3=好）,应选：c 33例1-7.（2021春鹿城区校级月考）单位正方体内部或边界上不共面的四个点构成的四面体体积的最大值为（ ）1 - 4 B.1
5、- 4 B.【解答】补成球解：要使四面体的体积最大，那么四面体的四个顶点应该在正方体的外表上，了表达方便，把此时的四面体称为正方体的内接四面体，记正方体的外接球为球O,由题意知正方体的内接四面体体积的最大值不大于球。的内接四面体的体积的最大值，球。的内接四面体以正四面体的体积最大，此时正四面体恰好是正方体的内接四面体，正方体为1时，内接正四面体的体积为 3应选：C.例18 .在一次综合实践活动中，某手工制作小组利用硬纸板做了一个如下图的几何模型， 底面ABCD为边长是4的正方形，半圆面APD_L底面A3CZ）.经研究发现，当点尸在半圆 弧上（不含A,。点）运动时，三棱锥P-ABQ的外接球始终保
6、持不变，那么该外接球的 外表积为.【来源】山东省烟台市2021届高三二模数学试题【答案】32【分析】【分析】补成圆柱由题设易知中点为三棱锥P-ABZ）的外接球的球心，进而求外接球半径R,由球体外表 积公式求外表积即可.【详解】假设。为中点，半圆面APDJL底面A3CO,面ABCZ）为边长是4的正方形，0 0为三棱锥P-ABD的外接球的球心，故外接球半径R = 2垃,回该夕卜接球的外表积为S = 4兀R? = 32）.故答案为：32兀.【点睛】关键点点睛：由面面垂直及三棱锥各侧面外接圆圆心与球心的关系，确定球心的位置，进而 求球体的半径，再求外表积.类型二、找球心例 2-L 三棱锥 A58 中，
7、NABC = NC8O = /DA4 = 60。，BC = BD = 1, 8的面积 为叵,那么此三棱锥外接球的外表积为（）41632A. 4 7B. 16/rC. D. Ji33【答案】A【分析】利用三角形全等和三角形的面积公式求出高AE,求解直角三角形得ACA。，利用余弦定 理得出44c3 = 4405 = 90。，可得A3为三棱锥外接球的直径，即可求出外接球的外表积.【详解】v BC=BD = , ZCBD = 60 , /.CZ） = 1,又 AB = 45,御5。= DBA = 60BC = BD , :NABC/ABD,那么 AC = 40,取C3中点,连接AE,又由“0。的面积为
8、且，可得“0。的高AE = 1,42那么可得ac = ao = VL在 aABC 中，由余弦定理 AC2 = AB2 + BC2- 2AB BC cos60 ,i1/.3 = AB2+l-2xABxlx-,解得AB = 2, 2那么 AC? + BC? = AB?,可得 ZAC5 = 90, /. ZADB = 901,:.ACBC,AD1BD ,根据球的性质可得AB为三棱锥外接球的直径，那么半径为1,故外接球的外表积为41X12 =4.应选：A.练.在三棱锥PABC中，平面q平面ABC, AB.LBC, PA = BC = 2, AB = 4, APABB.B.32万的面积为26，那么三棱锥
9、P-ABC的外接球体积为（）4 A. 3【答案】C【分析】【分析】取AC的中点。，过P作于。，连接。，那么由条件可得。为三棱锥P-ABC的外接球的球心，那么A。为半径，从而可求出三棱锥P-48。的外接球体积【详解】取AC的中点。，那么。为的外心，过P作PDLA3于。，连接OO, 在ANC 中，AB BC, BC = 2, 48 = 4,所以 AC = Jab2+bc2 =46 + 4 = 25所以 AO = CO =AC =百，cos/84C =丝2AC 2。5因为平面PABJL平面ABC,平面PABc平面A3C = AB, PDA.AB,所以PD_L平面ABC,因为OOu平面ABC,所以PO
10、LQD,因为B45的面积为26，PA = 2, AB = 4,所以;2。-48 = 26，得PD = 5所以AD =，。屈一小=i，在A。中由余弦定理得，0。2 = 4。2 + aq2 2AO. AOcos 44C = 5 +1-2氐 1X3=2 ,2V5所以二2。2+。2 =5,所以。p = 6,所以 OA = OC = O5 = OP = E,所以。为三棱锥尸-A8C的外接球的球心，且球的半径为逐所以三棱锥P-ABC的外接球体积为3乃（石了=型叵，应选：C练.如图，在四棱锥P43CD中，24,底面A5CD,AB，8c AJ_C。，且ABAD = 120,PA = AB = AD = 2,那
11、么该四棱锥外接球的外表积为（）8兀8兀A.B. 20兀C. 20后【答案】B【分析】 取PC中点。，连接。4。氏。3D先证明点。就是四棱锥外接球的球心，再求出外接球 的半径即得解.【详解】取PC中点。，连接。A。aOD, BD.由题得又 OP = OC ,所以0P = OC = Q4,因为 8,4。,8，丛,4。口尸4 = 4,4。,如（=平面以0,所以CQJL平面PAD,又PDu平面PAD,所以 CDLPD,又 PO = OC,.OP = OC = OD.同理。p = OC = QB,所以 OP = OC = 04 = 03 = OD,所以点。就是四棱锥外接球的球心.因为 NBAD = 12
12、0, AB = AD = 2,所以 ZDAC = 60。, ZDCA = 30, ,AC = 4.所以尸C =必3r = 2 6,所以外接球的半径为百.所以该四棱锥外接球的外表积s = 44（逐）2 = 20 .应选：B练.边长为26的菱形ABCQ中，ZA = 60现沿对角线3。折起，使得AC = 3万，此时点4氏C,。在同一个球面上，那么该球的外表积为（）A. 207B. 24C. 287rD. 327【答案】C【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，再利用球的外表积公 式即可求解.【详解】如下图，取8。的中点b，连接AF, C尸那么Ab = B = 3,因为
13、4。= 3力，在 Z4 代中 cos/.C = 32+.一（36） ,一9二, 2x3x3182所以ZAFC = 120”，过点A作AE J_面BCD交CF的延长线于点E可得NA巫= 60,所以 AE = AF sin60 = 3x =， EF = AF-cos60 = 3x=：,222 2设3CO外接圆的圆心为。，三棱锥A-3CQ外接球的球心为0,那么00面8CD,设OO = x,因为8O = 3Ccos3(rx2 = 2g 3过点。作。G，A后于点G,x 立 x2 = 2,所以 ON = 1, 2 3x 立 x2 = 2,所以 ON = 1, 2 33 5DG = OfE = OF + E
14、F = l + = 2 2由勾股定理可得：R2=/+4 =Y xI 2 J(52、2,解得：x = 6, N = 7 ,在心AAGO中，AG = AE-OOf = -x, 2所以该球的外表积为402 =28i,应选：C练.点A、8、C、O都在球。的球面上，AB = AC, BCD是边长为1的等边三角形,A。与平面5CQ所成角的正弦值为亚，假设AD = 2,那么球。的外表积为（）3A.nB. 4兀C. 8乃D. 167r【答案】B【分析】假设是5。的中点，那么。是BCO的中心，连接OE,由线面垂直、面面垂直的判定可得 面6CC面AED,过A作A/，面BCO,由面面垂直的性质知尸必在直线上，即NA
15、D/7 为A3与面8co所成角，再过。作。石交AO于0,结合可知O是。尸中点，0 为AO的中点，即可确定球心的位置，进而求外表积.【详解】【详解】由题设，假设E是的中点，那么。是BCD的中心，连接。E,如以下图示:由题设知：DE_L BC , 4J_BC,又=石，那么面 AEO,而 BCu面 5c。，即面 3C0J_面 AEZ）,过A作Ab，面8c。，那么尸必在直线。石上，易知：NADb为AD与平面88所成角的平面 角，又A。与平面BCD所成角的正弦值为逅，AD = 2,可得=拽.33过。作00。交4）于。，易知：OD = OB = OC,而0。=也，即07）=。/，又AFIIOO ,故。为AD的中点，OD = OA,32：.OD = OB = OC = OA,即。是球心，故球。的半径为1,球。的外表积为44.应选：B类型三、作出球心例 3-1 .在三棱锥 S ABC 中，AB
