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1、第二章第二章 随机信号分析随机信号分析山东大学信息学院山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ 2章章 随机信号分析随机信号分析2.1 引言2.2 随机过程的一般表述2.3 平稳随机过程2.4 平稳随机过程的相关函数与功率谱密度2.5 高斯过程2.6 窄带随机过程2.7 正弦波加窄带高斯过程2.8 随机过程通过线性系统山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ 2.1 引言引言?确知信号和随机信号确知信号和随机信号确知信号？确知信号？随机信号？随机信号？?能量信号和功率信号能量信号和功率信号信号的功率信号的功率: : 设设 R = 1, R = 1, 则则 P = V
2、2/R = I2R = V2 = I2P = V2/R = I2R = V2 = I2信号的能量：设信号的能量：设S S代表代表V V或或I I，若，若S S随时间变化，则写为随时间变化，则写为s(ts(t), ),于是，信号的能量于是，信号的能量 E = E = s s2 2(t)dt(t)dt能量信号：满足能量信号：满足平均功率：平均功率：， 故能量信号的故能量信号的P = 0P = 0。功率信号：功率信号：P P 0 0 的信号，即持续时间无穷的信号。的信号，即持续时间无穷的信号。能量信号的能量有限，但平均功率为能量信号的能量有限，但平均功率为0 0。功率信号的平均功率有限，但能量为无穷
3、大功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大=dt) t (sE02=2/T2/T2Tdt) t (sT1limP山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ -具有随机性的信号?随机噪声：随机噪声：- -凡是不能预测的噪声?随机过程：随机过程：- -随机信号和噪声山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ -依赖于某参数的依赖于某参数的RV的总体的总体?随机信号随机信号-依赖于时间参数依赖于时间参数t的总体的总体?RV概念概念?分类：分类：?离散离散RV?连续连续RV统计特性统计特性?概率分布与概率密度函数概率分布与概率密度函数?数字特征数字特征-均值、方差、协方差、相关系
4、数均值、方差、协方差、相关系数山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ Spectrum Density, PSD），描述，PSD表示随机信号不同频率成分分量的功率分布情况；?PSD和随机信号的自相关函数是一对Fourier变换。山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ )( )2nNR =山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ )2nNPGf dfdf= 山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ 2.2 随机过程的一般表述随机过程的一般表述?随机过程的基本概念随机过程的基本概念X(A, t) 事件 事件A的全部可能的全部可能“实现实现
5、”的总体；的总体；X(Ai, t) 事件 事件A的一个实现，为确定的时间函数；的一个实现，为确定的时间函数；X(A, tk) 在给定时刻 在给定时刻tk上的函数值。上的函数值。?简记：简记： X(A, t)X(t)X(Ai, t) Xi(t)例：接收机噪声例：接收机噪声随机过程的数字特征：随机过程的数字特征：?统计平均值：统计平均值：?方差：方差：?自相关函数：自相关函数：=)()()(iXXitmdxxxptXEi2)()()(iiitXEtXEtXD=)()(),(2121tXtXEttRX=山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ 依赖于t 的RV的总体 样本空间的全体样本
6、函数?通信中的RP分类随机信号-具有随机性的信号噪声?统计特性RVRP欲大致了解它们，须知其统计规律性山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ C（b）E（Cx）= CE（x）（）（c）E（X+Y）= E（X）+ E（Y）（）（d）E（XY）= E（X）E（Y）定义）定义)(),()(1111tadxtxxftE=记作记作a(t)1) 数学期望2)方差1) 数学期望2)方差)(2t记作）（122111)()()(ttEtEtD=山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ 相关函数3) 相关函数)()(),(2121ttEttR=?自相关函数:自相关函数:?协方差函数:
7、协方差函数:B(t1,t2) = E(t1)-a(t1) (t2)-a(t2)?互相关函数:互相关函数:R(t1,t2) = E(t1) (t2) ?互协方差函数互协方差函数: :?B (t1,t2)= E(t1)-a (t1) (t2)-a (t2)= R(t1,t2)- a (t1) a (t2)山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ 2章章 随机信号分析随机信号分析2.1 引言引言2.2 随机过程的一般表述随机过程的一般表述2.3 平稳随机过程平稳随机过程2.4 平稳随机过程的相关函数与功率谱密度平稳随机过程的相关函数与功率谱密度2.5 高斯过程高斯过程2.6 窄带随机过
8、程窄带随机过程2.7 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程2.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ 2.3 平稳随机过程平稳随机过程?平稳随机过程的定义：统计特性与时间起点无关的随机过程。（又称严格平稳随机过程）平稳随机过程的定义：统计特性与时间起点无关的随机过程。（又称严格平稳随机过程）?广义平稳随机过程的定义：平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。广义平稳随机过程的定义：平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。?广义平稳随机过程的性质：广义平稳随机过程的性质：?严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过
9、程。但是，广义平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。但是，广义平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。常数=Xm EX(t) 常数=22X)t (XE) t (XE)t (XD21tt)(R )t -(tR )t ,(tRX21X21X=山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ EX(t) 是信号的直流分量； 是信号的直流分量；?一阶原点矩的平方一阶原点矩的平方mX2 是信号直流分量的归一化功率； 是信号直流分量的归一化功率；?二阶原点矩二阶原点矩E X 2( t ) 是信号归一化平均功率； 是信号归一化平均功率；?二阶原点矩的平方根二
10、阶原点矩的平方根E X 2(t)1/2 是信号电流或电压的均方根值（有效值）； 是信号电流或电压的均方根值（有效值）；?二阶中心矩二阶中心矩X2 是信号交流分量的归一化平均功率 是信号交流分量的归一化平均功率;?若若mX= mX2= 0，则，则X2= E X 2( t ) ；?标准偏差标准偏差X 是信号交流分量的均方根值； 是信号交流分量的均方根值；?若若mX= 0，则，则X就是信号的均方根值就是信号的均方根值 。山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ 2章章 随机信号分析随机信号分析2.1 引言引言2.2 随机过程的一般表述随机过程的一般表述2.3 平稳随机过程平稳随机过程2
11、.4 平稳随机过程的相关函数与功率谱密度平稳随机过程的相关函数与功率谱密度2.5 高斯过程高斯过程2.6 窄带随机过程窄带随机过程2.7 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程2.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ 平均功率：平均功率：XPtXER=)()0(2)()(= RR)0()(RR)()(2tXER=2)()0(XRR=TfSfPTT2)(lim)(=TfSEfPEfPTTX2)(lim)()(=dfTfSEdffPPTTXX)(lim)(2山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ =2/2/2/2/)
12、(2/2/2/2/2/2/2/2/2) (1) ()(1) (*)(1)(TTTTttjTTtjTTtjTTtjTTTtjTTdtdtettRTdtetsdtetsTEdtetsdtetsTETfSE)()()(tstsEttR=山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ =t t，k =t + t，则上式可以化简成，则上式可以化简成=TTjTdeRTTfSE)(1)(2于是有于是有=deRdeRTTfSEfPjTTjTTTX)()(1lim)(lim)(2山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ )和和R( )是一对傅里叶变换：是一对傅里叶变换：-PX(f )的性质
13、：的性质：PX(f ) 0, 并且并且PX(f )是实函数。是实函数。PX(f ) PX(-f )，即，即PX(f )是偶函数。【例是偶函数。【例2.1】设有一个二进制数字信号】设有一个二进制数字信号x(t)，如图所示，其振幅为，如图所示，其振幅为+a或或-a；在时间；在时间 T 内其符号改变的次数内其符号改变的次数k服从泊松分布式中，服从泊松分布式中， 是单位时间内振幅的符号改变的平均次数。试求其相关函数是单位时间内振幅的符号改变的平均次数。试求其相关函数R( )和功率谱密度和功率谱密度P(f)。=deRfPjX)()(dfefPRjX)()(=0,!)()(=kkeTkPTk+a-ax(t
14、)t0t-t山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ )只有两种可能取值：只有两种可能取值：a2, 或或-a2。因此，式可以化简为：。因此，式可以化简为：R( ) = a2 a2出现的概率出现的概率 + (-a2) (-a2)出现的概率出现的概率式中，式中，“出现的概率出现的概率”可以按上述泊松分布可以按上述泊松分布 P(k)计算。计算。)t ( x )t ( xE)(R=)5() 3() 1 ()4()2()0()()()(22LL+=PPPaPPPatxtxER山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ 秒内秒内x(t)的符号有偶数次变化，则出现的符号有偶数次变化
15、，则出现+ a2;若在若在 秒内秒内x(t)的符号有奇数次变化，则出现的符号有奇数次变化，则出现- a2。因此， 用因此， 用 代替泊松分布式中的代替泊松分布式中的T，得到，得到222322! 3)(!2)(! 11 )(=+=eaeeaeaRL山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ 是时间间隔，所以它应该是非负数。所以，在上式中当取负值时，上式应当改写成将上两式合并，最后得到：其功率谱密度是时间间隔，所以它应该是非负数。所以，在上式中当取负值时，上式应当改写成将上两式合并，最后得到：其功率谱密度P( f )可以由其自相关函数可以由其自相关函数R( )的傅里叶 变换求出：的傅里
16、叶 变换求出：P( f )和和R( )的曲线：的曲线：22)(eaR=22)(=eaR4)()(22202202222+=+=+adeeadeeadeeadeRfPjjjj山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ f )如图所示。试求其自相关函数如图所示。试求其自相关函数R( )。解：解：功率谱密度功率谱密度P( f )已知，已知，式中，式中，?自相关函数曲线：自相关函数曲线：0022cos22sin42cos22cos)(2)()(21ffffAdffAdfffPdfefPRfffj=2,212012ffffff+=山东大学通信原理课程山东大学通信原理课程(http:/ f )的噪声，即的噪声，即Pn( f ) n0/2式中，式中，n0为单边功率谱密度（为单边功率谱密度（W/Hz）白噪声的自相关函数可以从它的功率谱密度求得）白噪声的自相关函数可以从它的功率谱密度求得:由上式看出，白噪声的任何两个相邻时间（即由上式看出，白噪声的任何两个相邻时间（即 0时）的抽样值都是不相关的。白噪声的平均功率时）的抽样值都是不相关的。白噪声的平均功率 :上式表明，白噪声的平均功率为无穷大
