3不等式 3.1不等式的性质 必备知识必备知识自主学习自主学习1.1.比较两个实数比较两个实数a,ba,b大小的基本事实大小的基本事实文字文字语语言言符号表示符号表示如果如果a-ba-b是是_,_,那么那么ab,ab,反反过过来也成立来也成立abab_如果如果a-ba-b等于等于0,0,那么那么a=b,a=b,反反过过来也成立来也成立a=ba=b_如果如果a-ba-b是是_,_,那么那么ab,ab,反反过过来也成立来也成立aba0a-b0a-b=0a-b=0负数负数a-b0a-bb,ab,且且bc,bc,那么那么_2 2如果如果ab,ab,那么那么a+cb+ca+cb+c3 3(1)(1)如果如果ab,c0,ab,c0,那么那么acbcacbc(2)(2)如果如果ab,cb,cb,cd,ab,cd,那么那么_acacacbcacb+da+cb+d序号序号性性质质内容内容5 5(1)(1)如果如果ab0,cd0,ab0,cd0,那么那么_(2)(2)如果如果ab0,cdb0,cdb0ab0时时,_,_,其中其中nNnN+ +,n2,n26 6当当ab0ab0时时,_,_,其中其中nNnN+ +,n2,n2acbdacbdacbdacbbn n(2)(2)本质本质: :不等式的性质是由等式性质类比而得到的不等式的性质是由等式性质类比而得到的, ,是解决不等式问题的基本依是解决不等式问题的基本依据据. .(3)(3)应用应用: :判断证明不等式是否成立判断证明不等式是否成立, ,解不等式问题时的依据解不等式问题时的依据. .【基础小测基础小测】1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)ab(1)ab且且cd,cd,则则a-cb-d.a-cb-d.( () )(2)(2)若若a+cb+d,a+cb+d,则则ab,cd.ab,cd.( () )(3)(3)若若abc,abc,则则a-cb-c.a-cb-c.( () )提示提示: :(1).(1).例如例如5353且且4141时时, ,则则5-43-15-43-1是错的是错的, ,故故(1)(1)错错. .(2).(2).取取a=4,c=5,b=6,d=2.a=4,c=5,b=6,d=2.满足满足a+cb+d,a+cb+d,但不满足但不满足ab.ab.(3).(3).2.2.若若ab0,cdb0,cd A. B. B. C. D. D. 0,0,所以所以x x2 2+4-4x0,+4-4x0,所以所以x x2 2+44x.+44x.答案答案: :x x2 2+44x+44x关键能力关键能力合作学习合作学习类型一作差法比较大小类型一作差法比较大小( (逻辑推理、数学运算逻辑推理、数学运算) )【典例典例】已知已知a1a1且且aR,aR,试比较试比较 与与1+a1+a的大小的大小. .【解题策略解题策略】作差法比较大小的步骤作差法比较大小的步骤【跟踪训练跟踪训练】1.1.已知已知x,yR,P=2xx,yR,P=2x2 2-xy+1,Q=2x- ,-xy+1,Q=2x- ,试比较试比较P,QP,Q的大小的大小. .【解析解析】因为因为P-Q=2xP-Q=2x2 2-xy+1- =x-xy+1- =x2 2-xy+ +x-xy+ +x2 2-2x+1= +(x-1)-2x+1= +(x-1)2 20,0,所以所以PQ.PQ.2.2.已知已知a,ba,b均为正实数均为正实数. .试比较试比较a a3 3+b+b3 3与与a a2 2b+abb+ab2 2的大小的大小. .【解析解析】因为因为a a3 3+b+b3 3-(a-(a2 2b+abb+ab2 2)=(a)=(a3 3-a-a2 2b)+(bb)+(b3 3-ab-ab2 2) )=a=a2 2(a-b)+b(a-b)+b2 2(b-a)(b-a)=(a-b)(a=(a-b)(a2 2-b-b2 2)=(a-b)=(a-b)2 2(a+b).(a+b).当当a=ba=b时时,a-b=0,a,a-b=0,a3 3+b+b3 3=a=a2 2b+abb+ab2 2; ;当当abab时时,(a-b),(a-b)2 20,a+b0,a0,a+b0,a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2. .综上所述综上所述,a,a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2. .【拓展延伸拓展延伸】中间值法比较大小中间值法比较大小如果所给式子作差后无法因式分解如果所给式子作差后无法因式分解, ,不能判断差的符号不能判断差的符号, ,可尝试中间值法比较大可尝试中间值法比较大小小. .利用中间值法比较大小的关键在于寻找中间值利用中间值法比较大小的关键在于寻找中间值, ,通过它们的有界性来寻找中通过它们的有界性来寻找中间值作媒介间值作媒介, ,以达到传递的目的以达到传递的目的. .【拓展训练拓展训练】已知已知xR,xR,试比较试比较2x2x2 2-3x+3-3x+3与与 的大小的大小. .【解析解析】因为因为2x2x2 2-3x+3=2 1,2-3x+3=2 1,2x x+2+2-x-x=( )=( )2 2+22,+22,所以所以 1,1,所以所以2x2x2 2-3x+3 .-3x+3 .类型二利用不等式的性质判断命题真假类型二利用不等式的性质判断命题真假( (数学抽象、逻辑推理数学抽象、逻辑推理) )【题组训练题组训练】1.1.若若abc,abc,则下列不等式成立的是则下列不等式成立的是( () )A. A. B. B. C. D. D. 2.2.已知已知a,ba,b为非零实数为非零实数, ,且且ab,ab,则下列命题成立的是则下列命题成立的是( () )A.aA.a2 2bb2 2B.aB.a2 2babb0,b0,bb-b-aA.ab-b-aB.a-b-abB.a-b-abC.a-bb-aC.a-bb-aD.ab-a-bD.ab-a-b【解题策略解题策略】运用不等式的性质判断命题真假的技巧运用不等式的性质判断命题真假的技巧(1)(1)要注意不等式成立的条件要注意不等式成立的条件, ,不要弱化条件不要弱化条件, ,尤其是不能随意捏造性质尤其是不能随意捏造性质. .(2)(2)解有关不等式选择题时解有关不等式选择题时, ,也可采用特殊值法进行排除也可采用特殊值法进行排除, ,注意取值一定要遵循如注意取值一定要遵循如下原则下原则: :一是满足题设条件一是满足题设条件; ;二是取值要简单二是取值要简单, ,便于验证计算便于验证计算. .【补偿训练补偿训练】1.1.下列命题中一定正确的是下列命题中一定正确的是( () )A.A.若若abab且且 , ,则则ab0abb,b0,ab,b0,则则 11C.C.若若ab,ab,且且a+cb+d,a+cb+d,则则cdcdD.D.若若abab且且acbd,acbd,则则cdcd2.2.给出下列命题给出下列命题:ab:abacac2 2bcbc2 2;a|b|;a|b|a a4 4bb4 4;ab;aba a3 3bb3 3;|a|b;|a|ba a2 2bb2 2. .其中正确的命题序号是其中正确的命题序号是.类型三证明不等式类型三证明不等式( (逻辑推理逻辑推理) ) 角度角度1 1利用不等式的性质证明不等式利用不等式的性质证明不等式【典例典例】已知已知cab0,cab0,求证求证: : 【思路导引思路导引】利用不等式的性质利用不等式的性质, ,先证明先证明 , ,再由再由 得到得到 . .【变式探究变式探究】将本例中的条件将本例中的条件“cab0”cab0”变为变为“ab0,cb0,c .: .【证明证明】因为因为ab0,ab0,所以所以ab0, 0.ab0, 0.于是于是a b ,a b ,即即 . .由由c0,c . .角度角度2 2利用作差法证明不等式利用作差法证明不等式【典例典例】若若a0,b0,p= ,q=a+b.a0,bb0,cd0,ab0,cd0,证明证明:acbd.:acbd.【证明证明】 acbd.acbd.【补偿训练补偿训练】已知已知a+b0,a+b0,求证求证: + .: + .【证明证明】 - = - =(a-b)=(a-b) = . = .因为因为a+b0,(a-b)a+b0,(a-b)2 20,0,所以所以 0.0.所以所以 备选类型利用不等式的性质求代数式的取值范围备选类型利用不等式的性质求代数式的取值范围( (逻辑推理、数学运算逻辑推理、数学运算) )【典例典例】已知已知-6a8,2b3,-6a8,2b3,求求2a+b,a-b2a+b,a-b及及 的取值范围的取值范围. .【解题策略解题策略】利用不等式性质求代数式的范围要注意的问题利用不等式性质求代数式的范围要注意的问题(1)(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系, ,最后利用一次不等式的性质最后利用一次不等式的性质进行运算进行运算, ,求得待求的范围求得待求的范围. .(2)(2)同向不等式的两边可以相加同向不等式的两边可以相加, ,这种转化不是等价变形这种转化不是等价变形, ,如果在解题过程中多次如果在解题过程中多次使用这种转化使用这种转化, ,就有可能扩大其取值范围就有可能扩大其取值范围. .【题组训练题组训练】已知已知-1x4,2y3.-1x4,2ybcabc且且a+b+c=0,a+b+c=0,则下列不等式中正确的是则下列不等式中正确的是 ( () )A.abacA.abacB.acbcB.acbcC.a|b|c|b|C.a|b|c|b|D.aD.a2 2bb2 2cc2 2【解析解析】选选A.A.由由abcabc及及a+b+c=0a+b+c=0知知a0,c0,cac.abac.2.2.设设a=3xa=3x2 2-x+1,b=2x-x+1,b=2x2 2+x,+x,则则( () )A.abA.abB.abB.abab时成立时成立B.B.当当aba0”0”是是“a a2 2-b-b2 20”0”的的( () )A.A.充分条件充分条件B.B.必要条件必要条件C.C.充要条件充要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析解析】选选A. 0A. 0 ab0ab0a a2 2bb2 2, ,但由但由a a2 2-b-b2 200不能推出不能推出 0.0.5.5.比较比较(a+3)(a-5)(a+3)(a-5)与与(a+2)(a-4)(a+2)(a-4)的大小为的大小为.【解析解析】因为因为(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a=(a2 2-2a-15)-(a-2a-15)-(a2 2-2a-8)=-70.-2a-8)=-70.所以所以(a+3)(a-5)(a+2)(a-4).(a+3)(a-5)(a+2)(a-4).答案答案: :(a+3)(a-5)(a+2)(a-4)(a+3)(a-5)(a+2)(a-4)。