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1、第十章第十章 双样本假设检验及区间估计双样本假设检验及区间估计 我们在掌握了单样本检验与估计的有关方法与原理我们在掌握了单样本检验与估计的有关方法与原理之后，把视野投向双样本检验与估计是很自然的。双样之后，把视野投向双样本检验与估计是很自然的。双样本统计，除了有大样本、小样本之分外，根据抽样之不本统计，除了有大样本、小样本之分外，根据抽样之不同，还可分为同，还可分为独立样本独立样本与与配对样本配对样本。 独立样本独立样本, 指指双样本是在两个双样本是在两个总体中相互独立总体中相互独立地抽取的地抽取的 。 配对样本，指只有一配对样本，指只有一个总体，双样本是由于样个总体，双样本是由于样本中的个体
2、两两匹配成对本中的个体两两匹配成对而产生的。配对样本相互而产生的。配对样本相互之间不独立。之间不独立。4/2/20221第一节第一节 两总体大样本假设检验两总体大样本假设检验 为了把单样本检验推广到能够比较两个样本的均值的检验，必须为了把单样本检验推广到能够比较两个样本的均值的检验，必须再一次运用中心极限定理。下面是一条由中心极限定理推广而来的重再一次运用中心极限定理。下面是一条由中心极限定理推广而来的重要定理：如果从要定理：如果从 和和 两个总体中分别抽取容量为两个总体中分别抽取容量为n1和和n2 的独立随机样本，那么两个样本的均值差的独立随机样本，那么两个样本的均值差 的抽样分的抽样分布就
3、是布就是 。与单样本的情况相同，在大样本的。与单样本的情况相同，在大样本的情况下情况下(两个样本的容量都超过两个样本的容量都超过50)，这个定理可以推广应用于任何具，这个定理可以推广应用于任何具有均值有均值1和和2以及方差以及方差 和和 的两个总体。当的两个总体。当n1和和n2逐渐变大逐渐变大时，时， 的抽样分布像前面那样将接近正态分布。的抽样分布像前面那样将接近正态分布。4/2/202221大样本均值差检验大样本均值差检验 （1）零假设：）零假设：（2）备择假设：）备择假设： 单侧单侧 双侧双侧 或或（3）否定域：单侧否定域：单侧 双侧双侧（4）检验统计量）检验统计量（5）比较判定）比较判定
4、4/2/20223 例例为了比较已婚妇女对婚后生活的态度是否因婚为了比较已婚妇女对婚后生活的态度是否因婚龄而有所差别，将已婚妇女按对婚后生活的态度分为龄而有所差别，将已婚妇女按对婚后生活的态度分为“满满意意”和和“不满意不满意”两组。从满意组中随机抽取两组。从满意组中随机抽取600名妇女，名妇女，其平均婚龄为其平均婚龄为8.5年，标准差为年，标准差为2.3年；从不满意组抽出年；从不满意组抽出500名妇女，其平均婚龄为名妇女，其平均婚龄为9.2年，标准差年，标准差2.8年。试问在年。试问在0.05显著性水平上两组是否存在显著性差异？显著性水平上两组是否存在显著性差异？ 样本样本人数人数均值均值标
5、准差标准差满意组满意组6008.52.3不满意组不满意组5009.22.84/2/20224 解解 据题意，据题意，“不满意不满意”组的抽样结果为：组的抽样结果为： 9.2年，年， S12.8年，年， n1500； “满意满意”组的抽样结果为：组的抽样结果为： 8.5 年，年，S22.3 年，年， n2600。 H0：12D00 H1： 12 0 计算检验统计量计算检验统计量 确定否定域，确定否定域， 因为因为0.05，因而有，因而有 Z/21.964.47 因此否定零假设，即可以认为在因此否定零假设，即可以认为在0.05显著性水平上，婚龄对妇女婚显著性水平上，婚龄对妇女婚后生活的态度是有影响
6、的。同时我们看到，由于样本计算值后生活的态度是有影响的。同时我们看到，由于样本计算值Z4.47 远大远大于单侧于单侧 Z0.05 的临界值的临界值1. 65，因此本题接受，因此本题接受12 0 的备择假设，即可的备择假设，即可以认为妇女婚龄长容易对婚后生活产生以认为妇女婚龄长容易对婚后生活产生“不满意不满意”。 4/2/202252大样本成数差检验大样本成数差检验 （1）零假设：）零假设：（2）备择假设：）备择假设： 单侧单侧 双侧双侧 或或（3）否定域：单侧否定域：单侧 双侧双侧（4）检验统计量）检验统计量 其中其中: 为总体为总体1的的 样本成数样本成数 为总体为总体2的的 样本成数。样本
7、成数。4/2/20226 当当p1和和p2未知，须用样本成数未知，须用样本成数 和和 进行估算时，分以下两进行估算时，分以下两种情况讨论：种情况讨论： 若零假设中两总体成数的关系为若零假设中两总体成数的关系为 ，这时两总体可看作成数，这时两总体可看作成数P 相同的总体，它相同的总体，它们的点估计值为们的点估计值为 此时上式中检验此时上式中检验统计量统计量 Z 可简化为可简化为 若零假设中两总体成数若零假设中两总体成数 ，那么它们的点估计值有，那么它们的点估计值有 此时上式中此时上式中 检验统计量检验统计量Z为为（5）判定）判定4/2/20227 例例有一个大学生的随机样本，按照性格有一个大学生
8、的随机样本，按照性格“外向外向”和和“内向内向”，把他们分成两类。结果发现，新生中有，把他们分成两类。结果发现，新生中有73属属于于“外向外向”类，四年级学生中有类，四年级学生中有58属于属于“外向外向”类。类。样本样本中新生有中新生有171名，四年级学生有名，四年级学生有117名。试问，在名。试问，在0.01水平水平上，两类学生有无显著性差异？上，两类学生有无显著性差异？外向外向内向内向四年级四年级58%（117）42%一年级一年级73%（171）27%4/2/20228 解解 据题意据题意 新生组的抽样结果为：新生组的抽样结果为： 0.73， 0.27，n1171 四年级学生组的抽样结果为
9、四年级学生组的抽样结果为: 0.58， 0.42，n2117 H0：p1p2D00 H1：p1p2D00 计算检验统计量计算检验统计量 确定否定域确定否定域 因为因为0.01，因而有，因而有 Z/2Z0.0052.582.66 因而否定零假设，即可以认为在因而否定零假设，即可以认为在0.01显著性水平上，两类显著性水平上，两类 学生在性格上是有差异的。学生在性格上是有差异的。 4/2/20229第二节第二节 两总体小样本假设检验两总体小样本假设检验 与对单总体小样本假设检验一样，我们对两与对单总体小样本假设检验一样，我们对两总体小样本假设检只讨论总体满足正态分布的情总体小样本假设检只讨论总体满
10、足正态分布的情况。况。1. 小样本均值差假设检验小样本均值差假设检验 (1) 当当 和和 已知时，小样本均值差已知时，小样本均值差检验，与上一节所述大样本总体均值差检验完全检验，与上一节所述大样本总体均值差检验完全相同，这里不再赘述。相同，这里不再赘述。4/2/202210 (2) 和和 未知，但假定它们相等时，未知，但假定它们相等时， 关键是要解决关键是要解决 的算式。的算式。 现又因为现又因为未知，所以要用它的未知，所以要用它的无偏估计量无偏估计量 替代它。由于两个样替代它。由于两个样本的方差基于不同的样本容量，因而本的方差基于不同的样本容量，因而可以用加权的方法求出可以用加权的方法求出的
11、无偏估计的无偏估计量，得量，得 注意，上式的分母上减注意，上式的分母上减2，是因为，是因为根据根据 和和 计算计算S1和和S2时，分别损时，分别损失了一个自由度，一共损失了两个自由失了一个自由度，一共损失了两个自由度，所以全部自由度的数目就成为度，所以全部自由度的数目就成为(n1+ n22)。 于是有于是有4/2/202211 这样，对小样本正态总体，这样，对小样本正态总体， 和和 未知，但未知，但 1 2 ，其均值差的检验步骤如下其均值差的检验步骤如下: （1）零假设：）零假设：（2）备择假设：）备择假设： 单侧单侧 双侧双侧 或或（3）否定域：单侧否定域：单侧 双侧双侧（4）检验统计量）检
12、验统计量（5）比较判定）比较判定4/2/202212 例例为研究某地民族间家庭规模是否有所不同，各做为研究某地民族间家庭规模是否有所不同，各做如下独立随机抽样：如下独立随机抽样： 民族民族A：12户，平均人口户，平均人口6.8人，标准差人，标准差1.5人人 民族民族B：12户，平均人口户，平均人口5.3人，标准差人，标准差0.9人人 问：能否认为问：能否认为A民族的家庭平均人口高于民族的家庭平均人口高于B民族的家民族的家庭平均人口（庭平均人口（ =0.05）？（）？（假定家庭平均人口服从正态假定家庭平均人口服从正态分布，且方差相等）分布，且方差相等）t=2.97 例例 某市对儿童体重情况进行调
13、查，抽查某市对儿童体重情况进行调查，抽查8岁的女岁的女孩孩20人，平均体重人，平均体重22.2千克，标准差千克，标准差2.46千克；抽查千克；抽查8岁的岁的男孩男孩18人，平均体重人，平均体重21.3千克，标准差千克，标准差1.82千克。若男女千克。若男女儿童体重的总体方差相等，问在显著性水平儿童体重的总体方差相等，问在显著性水平5%上，该年上，该年龄男女儿童之体重有无显著差异龄男女儿童之体重有无显著差异? 4/2/202213 解解 据题意，据题意，女孩组的抽样结果为：女孩组的抽样结果为： 22.2(千克千克)， S12.46(千克千克)，n120(人人) 男孩组的抽样结果为：男孩组的抽样结
14、果为： 21.3(千克千克)，S21.82(千克千克)， n218(人人) H0：12D00 H1：120 计算检验统计量计算检验统计量 确定否定域确定否定域 因因0.05，因而有，因而有t 0.025 (36)2.0281.24 故不能否定故不能否定H0，即可认为男女儿童平均体重无显著性差异。，即可认为男女儿童平均体重无显著性差异。 4/2/202214 (3) 和和 未知，但不能假定它们相等未知，但不能假定它们相等 如果不能假定如果不能假定1 1 1 12 2 2 2 ，那么就不能引进共同的，那么就不能引进共同的简化简化 ，也不能计算，也不能计算的无偏估计量的无偏估计量 。现在简单的做法是
15、用。现在简单的做法是用 估计估计 ，用，用 估计估计 ，于是有，于是有 例例 用上式重新求解前例题。用上式重新求解前例题。 解解 用上式，检验统计量的计算为用上式，检验统计量的计算为 可以看出，求解用可以看出，求解用(10.8)式和式和(10.10)式，得出的结果差别不大。式，得出的结果差别不大。 4/2/2022152小样本方差比检验小样本方差比检验 在实际研究中，除了要比较两总体的均值外，有时还需要比较两在实际研究中，除了要比较两总体的均值外，有时还需要比较两在实际研究中，除了要比较两总体的均值外，有时还需要比较两在实际研究中，除了要比较两总体的均值外，有时还需要比较两总体的方差。例如对农
16、村家庭和城镇家庭进行比较，除了平均收入的总体的方差。例如对农村家庭和城镇家庭进行比较，除了平均收入的总体的方差。例如对农村家庭和城镇家庭进行比较，除了平均收入的总体的方差。例如对农村家庭和城镇家庭进行比较，除了平均收入的比较外，还要用方差比较收入的不平均情况。此外，刚刚在小样本均比较外，还要用方差比较收入的不平均情况。此外，刚刚在小样本均比较外，还要用方差比较收入的不平均情况。此外，刚刚在小样本均比较外，还要用方差比较收入的不平均情况。此外，刚刚在小样本均值差的检验中曾谈到，当方差未知时，往往还假设两总体方差相等。值差的检验中曾谈到，当方差未知时，往往还假设两总体方差相等。值差的检验中曾谈到，当方差未知时，往往还假设两总体方差相等。值差的检验中曾谈到，当方差未知时，往往还假设两总体方差相等。因此，在总体方差未知的情况下，先进行方差比检验，对于均值差检因此，在总体方差未知的情况下，先进行方差比检验，对于均值差检因此，在总体方差未知的情况下，先进行方差比检验，对于均值差检因此，在总体方差未知的情况下，先进行方差比检验，对于均值差检检验也是具有一定意义的。检验也是具有一定意义的。检验也是具有
