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1、第四章 根轨迹法习题及答案4-1 系统的开环传递函数为 试证明在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益和开环增益。解 若点在根轨迹上，则点应满足相角条件，如图所示。对于，由相角条件满足相角条件，因此在根轨迹上。将代入幅值条件：解出 ： ， 4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出时系统的闭环传递函数。（1） （2）解 (1) (2) = 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制参数b从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。解 根轨迹如图。 时， 4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 (2)
2、(3) (4) 解 三个开环极点：, 实轴上的根轨迹：, 渐近线： 分离点：解之得：，(舍去)。 与虚轴的交点：特征方程为令 解得与虚轴的交点（0，）。根轨迹如图所示。 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：, 分离点： 解之得：。根轨迹如图所示。根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：, 渐近线： 分离点： 用试探法可得 。根轨迹如图所示。(4) 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：0, 1,-1,-2分离点： 求解得：根轨迹如图所示。4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为 要求：(1) 绘制系统的根轨迹；(2) 确定系统临界稳定时开环增益k的值； (3) 确定系统临界阻尼比时开环增益k的值。解 (1
3、) 实轴上的根轨迹：0, -50,-100,- 分离点： 求解得 渐近线： 根轨迹如图所示。(2) 系统临界稳定时(3) 系统临界阻尼比时4-6 已知系统的开环传递函数为，要求绘制根轨迹并确定系统阶跃响应无超调时开环增益k的取值范围。解 实轴上的根轨迹： 渐近线： 分离点： 解之得：。与虚轴交点： 把代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：解得： 起始角：由相角条件，。根轨迹如图所示。所有根为负实根时阶跃响应无超调，此时 所以4-7 单位反馈系统的开环传递函数为， 试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的k值范围。解 ：根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 渐近线： 与虚轴交点：闭环特征方程为把代
4、入上方程， 令解得： ， 根轨迹如图所示。由图可知使系统稳定的值范围为 。4-8 已知控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹（要求求出起始角）。 解 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 渐近线： 分离点：解之得： (舍去)与虚轴交点：闭环特征方程为把代入上方程， 令解得： 起始角： 解出 根轨迹如图所示。4-9 已知系统开环传递函数如下，试分别绘制以a和T为变化参数的根轨迹。(1) ，；(2) ，解 (1) 实轴上的根轨迹： 渐近线： 分离点： 根轨迹如图所示。(2) 实轴上的根轨迹： 起始角终止角： 解得起始角 解得终止角 根轨迹如图所示。4-10 已知系统的开环传递函数如下，试概略绘
5、出相应的根轨迹，并求出所有根为负实根时开环增益k的取值范围及系统稳定时k的值。解 实轴上的根轨迹： 分离点：， 渐近线：， 与虚轴交点：，根轨迹如图所示。，结论：时所有根为负实根，时系统稳定。4-11 已知系统结构图如图所示，试绘制时间常数变化时系统的根轨迹，并分析参数的变化对系统动态性能的影响。 解：作等效开环传递函数根轨迹绘制如下： （注意： 实轴上的根轨迹：, 分离点： 解得。根据幅值条件，对应的。 虚轴交点：闭环特征方程为把代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：解得： 起始角：参数从零到无穷大变化时的根轨迹如图所示。(请注意根轨迹的方向！)从根轨迹图可以看出，当时，系统阶跃响应为单调收
6、敛过程；时，阶跃响应为振荡收敛过程；时，有两支根轨迹在s右半平面，此时系统不稳定。若取另外一种等效开环传递函数则解题步骤如下： 三条根轨迹中两条起于-10，一条起于，均终止于原点 实轴上的根轨迹：, 分离点： 解得。 其余步骤与上基本相同，根轨迹相同，只是-10处为两个开环极点，原点处为3个开环零点，根轨迹方向与图中一样。4-12 控制系统的结构如图所示，试概略绘制其根轨迹()。 解 此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。 实轴上的根轨迹：, 分离点： 解得 起始角：根据相角条件， 得 ，。根轨迹如图所示。4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为，试绘制其根轨迹，并求出使系统产生重实根和纯虚根的值。解 由开环传递函数的表达式知需绘制根轨迹。 实轴上的根轨迹： ； 分离点： 解得： , 将, 代入幅值条件得：, 与虚轴交点：闭环特征方程为把代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：解得： 根轨迹如图所示，复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到分离点的距离为半径的圆 。系统产生重实根的为，产生纯虚根的为2。Ok12
