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《比例线段》例习题精讲与同步练习教案1

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《比例线段》例习题精讲与同步练习教案1_第1页
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《比例线段》例题精讲与同步练习教案1一.知识要点:   (一)比例线段   1.线段的比:如果选用同一长度单位量得两条线段a,b的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比是a:b=m:n,或写成 ,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项   2.成比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.   3.比例的项:已知四条线段a,b,c,d,如果 ,那么a,b,c,d,叫做组成比例的项,线段a,d叫做比例外项,线段b,c叫做比例内项,线段d还叫做a,b,c的第四比例项.   4.比例中项:如果作为比例线段的内项是两条相同的线段,即a:b=b:c或 ,那么线段b叫做线段a和c的比例中项.   (二)比例的性质:   (1)比例的基本性质:   (2)反比性质:   (3)更比性质: 或   (4)合比性质:   (5)等比性质: 且   (三) 平行线分线段成比例定理   1.定理: 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例   2.推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例   3.平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例。

  4.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边   这四个定理主要提出由平行线可得到比例式;反之,有比例可得到平行线首先要弄清三个基本图形       这三个基本图形的用途是:   1.由平行线产生比例式   基本图形(1): 若l1//l2//l3,则 或 或 或   基本图形(2): 若DE//BC,则 或 或 或   基本图形(3): 若AC//BD,则 或 或 或   在这里必须注意正确找出对应线段,不要弄错位置   2.由比例式产生平行线段   基本图形(2):若 , , , , , 之一成立,则DE//BC   基本图形(3):若 , , , , , 之一成立,则AC//DB   二. 本讲内容所需要的计算与证明方法   计算方法1.利用引入参数求解相关命题的方法   2. 会利用比例式建立方程求线段的长   证明方法:会证比例式及等积式,会添加必要的辅助线求解相关命题   三. 例题   例1. 已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值   分析: 题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k, 转化成关于k的一元方程,求出k后,使得问题得解。

  解:∵a:b:c=3:5:7  设a=3k, b=5k, c=7k  ∵2a+3b-c=28  ∴6k+15k-7k=28,∴k=2   ∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12   例2:若 , 求 的值   解:设   则x=3k, y=4k, z=5k  ∴   说明:在这个问题中,不必求出K的值,就可以把问题解决了   例3.如图,在□ABCD中,E为AB中点, ,EF,AC相交于G,求   分析:欲求 ,就需要有平行线,并使已知条件得以利用,虽然题目中有平行线,但无基本图形,不能使已知条件发挥作用,需通过添加辅助线来寻找解题途径,构造基本图形   解:分别延长FE,CB相交于H,(构造出了基本图形)   在□ABCD中,AD BC,  ∵E为AB中点,∴AE=BE   ∵AD//BC,∴∠AFE=∠H  在△AEF和△BEH中   在△AEF≌△BEH(AAS)  ∴AF=BH  ∵ ,    设AF=k, 则FD=3k,AD=4k,BH=AF=k,BC=AD=4K,CH=5K   ∵AD//BC,即AF//HC  ∴   ∴   说明:此题还有其他辅助线的作法,例如分别延长EF,CD相交于M。

或取AC中点N,连结EN             请同学们思考,这两种方法构造 了哪些基本图形,如何求出 例4.已知:如图,D是△ABC的AB边的中点,F是BC延长线上一点,连结DF交AC于E点   求证: EA:EC=BF:CF   分析:这是证明比例式的问题,根据题目条件,不能直接证出要求证的比例式,并且四条线段中EC,CF在同一个三角形中,而EA,BF不在同一个三角形中,因此需要添加适当的辅助线(平行线)来构造形成比例的基本图形 (由平行得比例)为了利用BF:CF,故可以过C点作平行线来构造基本图形   证法一: 过C作CH//AB交DF于H   ∵CH//AB,即CH//BD  ∴   又CH//AD,  ∵   ∵D是AB中点   ∴AD=BD  ∴   ∴ (等比代换)  即EA:EC=BF:CF证法二: 过 C作CM//FD交AB于M    ∵CM//FD  ∴   ∵CM//ED  ∴   ∵D是AB中点  ∴AD=BD  ∴   ∴EA:EC=BF:CF (等比代换)   说明:在上面证明过程中,我们还用到了利用相等的比进行代换证明比例式的方法,这也是一种经常使用的方法。

本题还可以过B点作AC的平行线或作DF的平行线的方法来证明,请同学们自己来证总之通过作平行线得到比例是必须掌握的方法   例5.已知:如图,菱形ABCD内接于△AEF,AE=3,AF=5,求菱形ABCD的边长   分析:有平行线就能得到比例线段,求线段的长有时需要使用方程的思想方法来解决,本题给出了用比例式建立方程求线段长的一种常见方法,注意掌握解题的思路   解: ∵菱形ABCD内接于△AEF  ∴AB//CD,AB=BC=CD=AD   设 菱形边长为x,则CD=AD=x(适当设出未知数)   ∵AF=5   ∴DF=5-x(有关的量要用含未知数的代数式表示)   ∵CD//AB  即CD//AE   ∴   且AE=3(得到相等关系)   ∴ (利用比例式建立了关于x的方程)  ∴5x=15-3x, ∴x= (解出方程)   ∴菱形ABCD的边长为 四.练习: 1.已 知 ,求 的值   2.已知:如图,△ABC中,DE//BCAB=8,AD=5,EC=4,求AE的长   3.已知a=4,c=9若b是a,c的比例中项,求b的值 4.已知线段MN是AB,CD的比例中项,AB=4cm,CD=5cm,求 MN的长。

并思考3、4两题有何区别 5.已知:△ABC中,D是BC上一点,BD=3CD,M是AD中点,连BM延长交AC于E 求:AE:EC 6.已 知:如图,△ABC中,CD平分∠ACB,DE//BC, AD:DB=2:3,AC=10,求DE的长  练习参考答案:   1.   2.   3.   4.   3、4题区别: 第3题中b是数,可为正也可为负; 第4题中MN为线段,只能为正 5. 提示:           或          作DN//AC交BE于N     作CO//BE交AD延长线于O     或   或      作AP//BE交CB延长线于P       作AQ//BC交BE延长线于Q    结论: AE:EC=3:4   6.DE=6(提示:用方程的思想方法)测试  选择题  1.已知线段d是线段a、b、c的第四比例项,其中a=2cm,b=4cm,c=5cm,则d=(    )    (A)1cm    (B)10cm    (C)     (D) cm   2.已知:8x+3y-5z=0,且2x-3y+z=0,那么x:y:z的值是(    )    (A)1:2:3    (B)2:3:5    (C)3:3:4    (D)2:2:3   3.如图,DE∥AC,EF∥AB,AC=14,AD:DB=3:4,则AF的长是(    )    (A)6   (B)10 (C)8(D)9  4.已知,如图△ABC中,AD⊥BC,E是AC的中点。

那么下列比例式成立的是(    )    (A)AB:AC=DF:BC    (A)AB:AC=EF:ED    (C)AB:AC=BF:FD    (D)AB:AC=AC:AD   5.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD交于O,过O作底的平行 线,分别与两腰交于E,F,则    (A)OE= OF   (B)OE=OF   (C)OE=2OF   (D)OE+OF=BD 答案与解析答案:1、B  2、B  3、C  4、C  5、B解析: 1、答案(B)  2、答案(B)  解析:         ∴x:y:z=( z):( z):z=2:3:5 3、答案(C) 解析:∵DE∥AC  ∵CE:BE=AD:DB=3:4  ∵EF∥AB  ∴CF:AF=CE:BE=3:4 设CF=3x ,则AF=4x ∵AC=14 ∴3x+4x=14 ∴x=2 ∴CF=6 AF=8  4、答案(C)  解析:作AG∥BC交DF于G  ∴BF:AB=FD:DG   ∵AD⊥CD,AG∥BC  ∴∠ADC=∠DAG=900   ∵E为AC的中点  ∴ED=EA  ∴∠1=∠2  ∵AD为公共边  ∴△GAD≌△CDA  ∴AC=DG  ∴BF:AB=FD:AC  即:AB:AC=BF:FD  5、答案:(B)   解析:∵OE∥AD,∴OE:AD=BE:AB  ∵OF∥AD,∴OF:AD=FC:CD  ∵AD∥EF∥BC,∴AE:BE=DF:CF  ∴(AE+BE):BE=(DF+CF):CF  即BE:AB=CF:CD  OE:AD=OF:AD  ∴OE=OF 中考解析例1.( 杭州市)已知:1, ,2三个数,请你再添上一个数,写出一个比例式_________。

    评析:思路:运用比例的基本性质,将所添的数当作比例式a:b=c:d中的任何一项即可,一题可以写出三个数,都与1、 、2三数构成比例如:1: =2:2 ,1:2= :2 ……等(只要是含1, ,2三数的比例式即可,若是三数不含全的则不符合题意  例2.(上海市)已知数3,6,请再写出一个数,使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项,这个数是___________(只需填写一个数)   评析:因为此题是一个主观性质的试题,它不是求这两个数的比例中项而是让自己写出一个数,使三个数中的某个数是另外两个数的比例中项,所以只要明白比例中项的意义,就能写出符合条件的一个数结论不是唯一的   3 (或-3 ,或12,或 )  例 3.(河北省)已知:如图,l1∥l2∥l3,AB=3,BC=5,DF=12求DE和EF的长  评析:思路:此题关键是求DE,∵L1∥L2∥L3,∴ ,  由条件AB=3,BC=5,DF=12,DE得求而EF=DF-DE  答案:解: ∵l1∥l2∥l3,  ∴ ,  即 ,  ∴DE= .  ∴EF=DF-DE=12- = .  例 4.(北京市海淀区)如图,在△ABC中,MN∥BC,若∠C=68°,AM:MB=1:2,则∠MNA=_______度,AN:NC=_____________。

  评析:首先,想到定理的含义,再结合图形分析(或进行比例变形)就可直接求出结果  答案为68°,1:2  例5.(西安市)-油桶高0.8m,桶内有油,一根木棒长1m,从桶盖小口斜插入桶内,一端到桶底,另一端到小口 抽出木棒,量得棒上浸油部分长0.8m,则桶内油面的高度为      评析:将实际问题转化为几何问题是解题的关键,即由题意可得Rt△ABC,其中AB=1m,AC=0.8m,BD=0.8m,D。

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