《比例线段》例题精讲与同步练习教案1一.知识要点: (一)比例线段 1.线段的比:如果选用同一长度单位量得两条线段a,b的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比是a:b=m:n,或写成 ,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项 2.成比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. 3.比例的项:已知四条线段a,b,c,d,如果 ,那么a,b,c,d,叫做组成比例的项,线段a,d叫做比例外项,线段b,c叫做比例内项,线段d还叫做a,b,c的第四比例项. 4.比例中项:如果作为比例线段的内项是两条相同的线段,即a:b=b:c或 ,那么线段b叫做线段a和c的比例中项. (二)比例的性质: (1)比例的基本性质: (2)反比性质: (3)更比性质: 或 (4)合比性质: (5)等比性质: 且 (三) 平行线分线段成比例定理 1.定理: 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例 2.推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例 3.平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例。
4.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边 这四个定理主要提出由平行线可得到比例式;反之,有比例可得到平行线首先要弄清三个基本图形 这三个基本图形的用途是: 1.由平行线产生比例式 基本图形(1): 若l1//l2//l3,则 或 或 或 基本图形(2): 若DE//BC,则 或 或 或 基本图形(3): 若AC//BD,则 或 或 或 在这里必须注意正确找出对应线段,不要弄错位置 2.由比例式产生平行线段 基本图形(2):若 , , , , , 之一成立,则DE//BC 基本图形(3):若 , , , , , 之一成立,则AC//DB 二. 本讲内容所需要的计算与证明方法 计算方法1.利用引入参数求解相关命题的方法 2. 会利用比例式建立方程求线段的长 证明方法:会证比例式及等积式,会添加必要的辅助线求解相关命题 三. 例题 例1. 已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值 分析: 题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k, 转化成关于k的一元方程,求出k后,使得问题得解。
解:∵a:b:c=3:5:7 设a=3k, b=5k, c=7k ∵2a+3b-c=28 ∴6k+15k-7k=28,∴k=2 ∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12 例2:若 , 求 的值 解:设 则x=3k, y=4k, z=5k ∴ 说明:在这个问题中,不必求出K的值,就可以把问题解决了 例3.如图,在□ABCD中,E为AB中点, ,EF,AC相交于G,求 分析:欲求 ,就需要有平行线,并使已知条件得以利用,虽然题目中有平行线,但无基本图形,不能使已知条件发挥作用,需通过添加辅助线来寻找解题途径,构造基本图形 解:分别延长FE,CB相交于H,(构造出了基本图形) 在□ABCD中,AD BC, ∵E为AB中点,∴AE=BE ∵AD//BC,∴∠AFE=∠H 在△AEF和△BEH中 在△AEF≌△BEH(AAS) ∴AF=BH ∵ , 设AF=k, 则FD=3k,AD=4k,BH=AF=k,BC=AD=4K,CH=5K ∵AD//BC,即AF//HC ∴ ∴ 说明:此题还有其他辅助线的作法,例如分别延长EF,CD相交于M。
或取AC中点N,连结EN 请同学们思考,这两种方法构造 了哪些基本图形,如何求出 例4.已知:如图,D是△ABC的AB边的中点,F是BC延长线上一点,连结DF交AC于E点 求证: EA:EC=BF:CF 分析:这是证明比例式的问题,根据题目条件,不能直接证出要求证的比例式,并且四条线段中EC,CF在同一个三角形中,而EA,BF不在同一个三角形中,因此需要添加适当的辅助线(平行线)来构造形成比例的基本图形 (由平行得比例)为了利用BF:CF,故可以过C点作平行线来构造基本图形 证法一: 过C作CH//AB交DF于H ∵CH//AB,即CH//BD ∴ 又CH//AD, ∵ ∵D是AB中点 ∴AD=BD ∴ ∴ (等比代换) 即EA:EC=BF:CF证法二: 过 C作CM//FD交AB于M ∵CM//FD ∴ ∵CM//ED ∴ ∵D是AB中点 ∴AD=BD ∴ ∴EA:EC=BF:CF (等比代换) 说明:在上面证明过程中,我们还用到了利用相等的比进行代换证明比例式的方法,这也是一种经常使用的方法。
本题还可以过B点作AC的平行线或作DF的平行线的方法来证明,请同学们自己来证总之通过作平行线得到比例是必须掌握的方法 例5.已知:如图,菱形ABCD内接于△AEF,AE=3,AF=5,求菱形ABCD的边长 分析:有平行线就能得到比例线段,求线段的长有时需要使用方程的思想方法来解决,本题给出了用比例式建立方程求线段长的一种常见方法,注意掌握解题的思路 解: ∵菱形ABCD内接于△AEF ∴AB//CD,AB=BC=CD=AD 设 菱形边长为x,则CD=AD=x(适当设出未知数) ∵AF=5 ∴DF=5-x(有关的量要用含未知数的代数式表示) ∵CD//AB 即CD//AE ∴ 且AE=3(得到相等关系) ∴ (利用比例式建立了关于x的方程) ∴5x=15-3x, ∴x= (解出方程) ∴菱形ABCD的边长为 四.练习: 1.已 知 ,求 的值 2.已知:如图,△ABC中,DE//BCAB=8,AD=5,EC=4,求AE的长 3.已知a=4,c=9若b是a,c的比例中项,求b的值 4.已知线段MN是AB,CD的比例中项,AB=4cm,CD=5cm,求 MN的长。
并思考3、4两题有何区别 5.已知:△ABC中,D是BC上一点,BD=3CD,M是AD中点,连BM延长交AC于E 求:AE:EC 6.已 知:如图,△ABC中,CD平分∠ACB,DE//BC, AD:DB=2:3,AC=10,求DE的长 练习参考答案: 1. 2. 3. 4. 3、4题区别: 第3题中b是数,可为正也可为负; 第4题中MN为线段,只能为正 5. 提示: 或 作DN//AC交BE于N 作CO//BE交AD延长线于O 或 或 作AP//BE交CB延长线于P 作AQ//BC交BE延长线于Q 结论: AE:EC=3:4 6.DE=6(提示:用方程的思想方法)测试 选择题 1.已知线段d是线段a、b、c的第四比例项,其中a=2cm,b=4cm,c=5cm,则d=( ) (A)1cm (B)10cm (C) (D) cm 2.已知:8x+3y-5z=0,且2x-3y+z=0,那么x:y:z的值是( ) (A)1:2:3 (B)2:3:5 (C)3:3:4 (D)2:2:3 3.如图,DE∥AC,EF∥AB,AC=14,AD:DB=3:4,则AF的长是( ) (A)6 (B)10 (C)8(D)9 4.已知,如图△ABC中,AD⊥BC,E是AC的中点。
那么下列比例式成立的是( ) (A)AB:AC=DF:BC (A)AB:AC=EF:ED (C)AB:AC=BF:FD (D)AB:AC=AC:AD 5.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD交于O,过O作底的平行 线,分别与两腰交于E,F,则 (A)OE= OF (B)OE=OF (C)OE=2OF (D)OE+OF=BD 答案与解析答案:1、B 2、B 3、C 4、C 5、B解析: 1、答案(B) 2、答案(B) 解析: ∴x:y:z=( z):( z):z=2:3:5 3、答案(C) 解析:∵DE∥AC ∵CE:BE=AD:DB=3:4 ∵EF∥AB ∴CF:AF=CE:BE=3:4 设CF=3x ,则AF=4x ∵AC=14 ∴3x+4x=14 ∴x=2 ∴CF=6 AF=8 4、答案(C) 解析:作AG∥BC交DF于G ∴BF:AB=FD:DG ∵AD⊥CD,AG∥BC ∴∠ADC=∠DAG=900 ∵E为AC的中点 ∴ED=EA ∴∠1=∠2 ∵AD为公共边 ∴△GAD≌△CDA ∴AC=DG ∴BF:AB=FD:AC 即:AB:AC=BF:FD 5、答案:(B) 解析:∵OE∥AD,∴OE:AD=BE:AB ∵OF∥AD,∴OF:AD=FC:CD ∵AD∥EF∥BC,∴AE:BE=DF:CF ∴(AE+BE):BE=(DF+CF):CF 即BE:AB=CF:CD OE:AD=OF:AD ∴OE=OF 中考解析例1.( 杭州市)已知:1, ,2三个数,请你再添上一个数,写出一个比例式_________。
评析:思路:运用比例的基本性质,将所添的数当作比例式a:b=c:d中的任何一项即可,一题可以写出三个数,都与1、 、2三数构成比例如:1: =2:2 ,1:2= :2 ……等(只要是含1, ,2三数的比例式即可,若是三数不含全的则不符合题意 例2.(上海市)已知数3,6,请再写出一个数,使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项,这个数是___________(只需填写一个数) 评析:因为此题是一个主观性质的试题,它不是求这两个数的比例中项而是让自己写出一个数,使三个数中的某个数是另外两个数的比例中项,所以只要明白比例中项的意义,就能写出符合条件的一个数结论不是唯一的 3 (或-3 ,或12,或 ) 例 3.(河北省)已知:如图,l1∥l2∥l3,AB=3,BC=5,DF=12求DE和EF的长 评析:思路:此题关键是求DE,∵L1∥L2∥L3,∴ , 由条件AB=3,BC=5,DF=12,DE得求而EF=DF-DE 答案:解: ∵l1∥l2∥l3, ∴ , 即 , ∴DE= . ∴EF=DF-DE=12- = . 例 4.(北京市海淀区)如图,在△ABC中,MN∥BC,若∠C=68°,AM:MB=1:2,则∠MNA=_______度,AN:NC=_____________。
评析:首先,想到定理的含义,再结合图形分析(或进行比例变形)就可直接求出结果 答案为68°,1:2 例5.(西安市)-油桶高0.8m,桶内有油,一根木棒长1m,从桶盖小口斜插入桶内,一端到桶底,另一端到小口 抽出木棒,量得棒上浸油部分长0.8m,则桶内油面的高度为 评析:将实际问题转化为几何问题是解题的关键,即由题意可得Rt△ABC,其中AB=1m,AC=0.8m,BD=0.8m,D。