单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,人教,A,版高一数学必修二第二学期,第六章 平面向量及其应用,单元复习课,第六章 平面向量及其应用,单元复习,核心素养目标,1.数学抽象,：,能从具体实例中抽象出平面向量的概念、运算和基本定理，构建完整知识体系2.直观想象：,通过向量的几何表示（有向线段），理解向量运算的几何意义，如向量加法的三角形法则和平行四边形法则，提升直观想象能力,3.逻辑推理：,借助向量运算规则，进行向量的线性运算、数量积运算，解决平行、垂直、夹角等问题，培养逻辑推理能力4.数学运算：,将实际问题（如物理中力的合成与分解、位移问题等）转化为向量模型求解，增强建模意识和应用能力教学目标,教学重点：,平面向量的基本概念（向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量等）向量的线性运算（加法、减法、数乘）及其几何意义和坐标运算平面向量基本定理及坐标表示，用基底表示向量向量数量积的定义、运算律、性质及坐标运算，利用数量积求夹角、模长和判断垂直关系,教学难点：,理解平面向量基本定理中基底的任意性与唯一性，以及向量坐标与位置的关系。
向量数量积在解决综合问题时的灵活运用，如与三角函数、解析几何等知识的结合用向量方法解决实际问题时，如何准确建立数学模型并求解,知识讲解,向量的概念,只有大小，没有方向,既有大小，又有方向,数量,密度,面积,温度,时间,向量,位移,速度,重力,浮力,总结,向量：,既有方向又有大小的量平行向量：,方向相同或相反的向量相等向量：,方向相同并且长度相等的向量向量的大小：,有向线段的长度,叫做,向量的模向量的方向：,有向线段的方向零向量：,长度为零的向量叫零向量单位向量：,长度等于1个单位长度的向量叫单位向量知识讲解,1.向量及向量的模、向量的表示方法,1)图形表示,2)字母表示,3)坐标表示,A,B,有向线段AB,知识梳理,一.基本概念,知识讲解,2.零向量及其特殊性,3.单位向量,与非零向量 共线的单位向量,一.基本概念,知识讲解,一.基本概念,知识讲解,4,平行向量（共线向量）区分向量平行、共线与几何平行、共线,方向相同或相反的非零向量,叫做平行向量,5,相等向量,长度相等且方向相同的向量,叫做相等向量,6,相反向量,长度相等且方向相反的向量叫做相反向量在保持长度和方向不变的前提下，向量可以平行移动平移先后两向量相等任一组平行向量都可平移到同一直线上。
7,两个非零向量,与,的夹角,0,首要的是通过向量平移，使两个向量共起点,-(-,)=,+(-,)=,二.基本运算向量途径,知识讲解,1,向量加法的三角形法则,+,=,+,=,首尾相接,2,向量加法的平行四边形法则,:,+,=,+,=,平行四边形,ABCD,中，,共起点,向量加法的运算律（交换律、结合律）,3.,向量减法的三角形法则,共起点,:,-,=,-,=,知识讲解,在同一个平行四边形中把握：,+,-,及其模的关系,=,=,=,+,;,=,|,|,|-|,|,|,+,|,|,|+|,|,基本运算（向量途径）,实数与向量的积 是一个向量,基本运算（向量途径）,知识讲解,知识讲解,基本运算（向量途径）,实数与向量的积,是一个向量,其长度：,|,|=|,|.|,|,其方向：若,，则,0,时，,与,同向；,则,0,时，,与,反向；,则,=0,时，,=,方向任意,若,=,，则对于任意的实数,，都有,=,是一个与,共线的向量知识讲解,二.基本运算（向量途径）,两个非零向量 的数量积,若,=(x,1,y,2,),=(x,2,y,2,),则,（,1,）,+,=(x,1,+x,2,y,1,+y,2,),（,2,）,-,=(x,1,-x,2,y,1,-y,2,),（,3,）,=(,x,1,y,1,),（,4,）,.,=(x,1,.x,2,+,y,1,.y,2,),（,5,）,|,|=,=,基本运算（向量途径）,知识讲解,三.两个等价条件,知识讲解,若,=(x,1,y,1,),=(x,2,y,2,),则,1,.,向量,和非零向量,:,|,有唯一的实数,，使,=,x,1,.y,2,一,x,2,.y,1,=0,2.,非零向量,和,：,.,=0,x,1,.x,2,+y,1,.y,2,=0,利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组,四.平面向量基本定理,如果 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，使 把不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
知识讲解,变形,四.两个定理,1.正弦定理,正弦定理解决的题型：,1、已知两角和任意一边，求其他的两边及角.,2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角.,知识讲解,余弦定理解决的题型：,1、已知三边求三角.,2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.,四.两个定理,2.余弦定理,变形,知识讲解,解决已知两边及其夹角求三角形面积,A,B,C,a,b,c,h,a,三角形面积公式,知识讲解,S=,ab,=,=,20,知识讲解,如图，梯形,ABCD,中，,AB,CD,，点,M,，,N,分别是,DA,，,BC,的中点，且 ，设 以,e,1,，,e,2,为基底表示向量 .,类型一 平面向量的线性运算,解析,:,=,e,2,且,=k,=k,=ke,2,+,+,=0,=-,-,-,=,-,+,-,+,-,=,e,1,+(k-1)e,2,又,-,-,=,+,+,=,e,2,知识讲解,规律方法,向量线性运算的基本原则和求解策略,(1),基本原则：,向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算的结果仍是一个向量因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面,(2),求解策略：,向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧,字符表示下的线性运算的常用技巧：,首尾相接用加法的三角形法则，如 ；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如 .,平面向量数量积的运算,知识讲解,(1),已知点,A,（,-1,1,），,B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),，则向量,方向上的投影为（,),A,B,C-,D-,解析：（,1,）,=,（,2,1,），,=(5,5),，向量,=,（,2,1,）在,=(5,5),上的投影为,|,|,，,=,|,|.,=,=,=,平面向量数量积的运算,知识讲解,(2,）如图，在梯形,ABCD,中,AB/CD,AB=4,AD=3,CD=2,=2,若,=-3,，则,=,解：因为,=,（,+,）,.,（,-,+,),-2-,.,=-3,所以,.,=,知识讲解,规律方法,向量数量积的求解策略,(1,）利用数量积的定义、运算律求解,在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即,，上述两公式以及,这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用,(2,）借助零向量,即借助,围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量,，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积,(3,）借助平行向量与垂直向量,即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助,a,b,，则,ab=0,等解决问题,(4,）建立坐标系，利用坐标运算求解数量积,知识讲解,平面向量的坐标运算,-1,设向量,a=(1,0),b=(-1,m),，若,a,（,ma-b),，则,m=,【解析】,a=(1,0),b=(-1,m),ma-b=(m,0)-(-1,m)=(m+1,-m),由,a(ma-b,）得：,a(ma-b)=0,m+1=0,即,m=-1.,26,知识讲解,规律方法,向量的坐标计算,知识讲解,平面向量的平行与垂直问题,(1,）已知向量,m=(,+1,1),n=(,+2,2),，若（,m+n)(m-n),则,=(),A.-4 B.-3 C.-2 D.-1,【解析】因为,m+n=(2,+3,3),m-n=(-1,-1),且（,m+n,）,（,m-n),，所以（,m+n)(m-n)=,-2,-3-3=0,解得,=-3.,知识讲解,1,证明共线问题常用的方法,(1,）向量,a,b(a0,）共线,存在唯一实数,，使,b=,a.,(2,）向量,a=(x,1,y,1,),b=(x,2,y,2,）共线,x,1,y,2,-x,2,y,1,=0.,(3,）向量,a,与,b,共线,|ab|=|a|b|.,(4,）向量,a,与,b,共线,存在不全为零的实数,1,2,，使,1,a+,2,b,=0.,2,证明平面向量垂直问题的常用方法,ab a.b=0 x,1,x,2,+y,1,y,2,=0,其中,a=(x,1,y,1,),b=(x,2,y,2,),规律方法,知识讲解,规律方法,解决向量模的问题常用的策略,(1,）应用公式：,|a|=,（其中,a=(x,y).,(2,）应用三角形或平行四边形法则,(3,）应用向量不等式,|a|-|b|,+,b|,|a|+|b|,(4,）研究模的平方,知识讲解,设非零向量,a=(x,1,y,1,),b=(x,2,y,2,),(0,）,两向量夹角的余弦,2,求向量的夹角,知识讲解,在,ABC,中，内角,A,B,C,所对的边分别为,a,b,c,，已知,b+c=2acos B.(1,）证明：,A=2B;,(2,）若,ABC,的面积,S=,求角,A,的大小,【解析】,(1,）证明：由正弦定理得,sin B+sin C=2sin Acos B,，故,2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是,sin B=sin(A-B),又,A,B,(0,),，故,0A-B,，所以,B=,一（,A,一,B,）或,B=A-B,，因此,A=,（舍去）或,A=2B,，所以,4=2B.,利用正、余弦定理解三角形,知识讲解,利用正、余弦定理解三角形,在,ABC,中，内角,A,B,C,所对的边分别为,a,b,c,，已知,b+c=2acos B.(1,）证明：,A=2B;,(2,）若,ABC,的面积,S=,求角,A,的大小,(2),由,S=,得,absinC=,故有,sin,Bsin C=,sin 2B=sinBcos B,因为,sinB,0,，所以,sin,C=,cos B,又,B,C,(0,),，所以,C,+,B,.,当,B+C,时，,A,;,当,C-B=,时，,A=,.,综上，,A,或,A=,知识讲解,规律方法,解三角形的一般方法,(1,）已知两角和一边，如已知,A,B,和,C,，由,A+B+C=,求,C,，由正弦定理求,a,b.,(2,）已知两边和这两边的夹角，如已知,a,b,和,C,，应先用余弦定理求,c,，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用,A+B+C=,，求另一角,(3,）已知两边和其中一边的对角，如已知,a,b,和,A,，应先用正弦定理求,B,，由,A+B+C=,求,C,，再由正弦定理或余弦定理求,c,，要注意解可能有多种情况,(4,）已知三边,a,b,c,，可应用余弦定理求,A,B,C.,。