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1、.第2章 随机变量及其分布习题 21设有函数试说明能否是某随机变量的分布函数。解:不能,易知对,有:又,因此在定义域内必为单调递增函数。然而在上不是单调递增函数,所以不是某随机变量的分布函数。2筐中装有7只蓝球,编号为1,23,4,5,6,7.在筐中同时取3只,以表示取出的3只当中的最大号码,写出随机变量的分布列。解:的可能值为3,4,5,6,7。在7只篮球中任取3个共有种取法。表示取出的3只篮球以3为最大值,其余两个数是1,2,仅有这一种情况,故表示取出的3只篮球以4为最大值,其余两个数可以在1,2,3中任取两个,共有种取法,故。表示取出的3只篮球以5为最大值,其余两个数可在1,2,3,4中
2、任取2个,共有种取法,故,表示取出的3只篮球以6为最大值,其余两个数可在1,2,3,4,5中任取2个,共有种取法,故,表示取出的3只篮球以7为最大值,其余两个数可在1,2,3,4,5,6中任取2个,共有种取法,故。3. 设服从分布,其分布列为 求的分布函数,并作出其图形。解:服从0-1分布,其分布律为:01当时,当时,当时,即有: ,其分布图形如下图2-14将一颗骰子抛掷两次,以表示两次所得点数之和,以表示两次中得到的小的点数,试分别求与的分布列。解 以分别记第一次,第二次投掷时的点数,样本空间为故X的分布列如下:X23456789101112P1/362/363/364/365/366/36
3、5/364/363/361/351/36Y的取值为1,2,3,4,5,6Y的分布列为:Y123456P11/369/367/365/363/361/365试求下列分布列中的待定系数k123为常数。解:1由分布列的性质有,所以 2由分布列的性质有,所以。或解由所以服从几何分布,故有。3由分布列的性质有,所以。6进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为p失败的概率为。1将试验进行到出现一次成功为止,以表示所需的试验次数,求的分布列。此时称服从以p为参数的几何分布。2将试验进行到出现r次成功为止,以表示所需的试验次数,求的分布列。此时称服从以r,p为参数的巴斯卡分布。3一篮球运动员的投篮命中率为45
4、%。以表示他首次投中时累汁已投篮的次数,写出的分布列,并计算取偶数的概率。解1此试验至少做一次,此即X可能值的最小值。若需做k次,则前k-1次试验均失败最后一次成功,由于各次试验是相互独立的,故分布律为。(1) 此试验至少做r次,若需做k次,则第k次比为成功,而前k-1次中有r-1次成功,由于各次试验是相互独立的,故分布律为。(2) 先写出X的分布律。它是题1中p=0.45的情形。所求的分布律为 。因故X取偶数的概率为.7有甲、乙两个口袋,两袋分别装有3个白球和2个黑球。现从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋任取4个球,求从乙袋中取出的4个球中包含的黑球数的分布列。解:分为以下两种情况,即从甲袋
5、中取一球放入乙袋,取出的球为白球的概率为,黑球为。(1) 假设取出的是白球,乙袋此时为4白球2黑球。从中取出4球,黑球数可为0,1,2,概率如下,.(2) 假设取出的是黑球,乙袋此时为3白球3黑球,从中取出4球,黑球数可为1,2,3.概率如下,.综合以上两种情况,又已知从甲袋取出为白球的概率为,黑球是.所以分布列为X01238. 设服从Poisson 分布,且已知,求。解:由于即X的分布律为于是有由条件可得方程 解得 所以于是。9一大楼装有5套同类型的空调系统,调查表明在任一时刻t每套系统被使用的概率为0.1,问在同一时刻1恰有2套系统被使用的概率是多少?2至少有3套系统被使用的概率是多少?3
6、至多有3套系统被使用的概率是多少?4至少有1套系统被使用的概率是多少?解: 以表示同一时刻被使用的设备的个数,则。(3) 所求的概率为。(4) 所求的概率为(5) 所求的概率为(6) 所求的概率为10在纺织厂里一个女工照顾800个纱锭。每个纱锭旋转时,由于偶然的原因,纱会被扯断。设在某段时间内每个纱锭上的纱被扯断的概率是0.005,求在这段时间内断纱次数不大于10的概率。解:设纱被扯断的概率是P,P=0.005.用X表示在某段时间内的纱断次数,所求的概率为,而利用柏松定理,有:,查表得:11一寻呼台每分钟收到寻呼的次数服从参数为4的泊松分布。求1每分钟恰有7次寻呼的概率。2每分钟的寻呼次数大于
7、10的概率。解:1212. 某商店出售某种商品,据历史记载分析,月销售量服从泊松分布,参数为5,问在月初进货时要库存多少件此种商品,才能以0.999的概率满足顾客的需要。 解:设表示商品的月销售量,则由服从参数为5的泊松分布,其概率分布为由题意,应确定m使得即,查泊松分布表得m+1=14,或m=13,即在月初进货时,至少要库存13件此种商品。13确定下列函数中的待定系数a,使它们成为分布密度,并求它们的分布函数。12 。解:1因时 ,且x为其他值时,为0. 根据公式有: 解得.分布函数为: 对 有 所以.分布函数为:14设随机变量的分布函数为1求;2求分布密度。解:12,15. 设随机变量的分
8、布密度为,且是随机变量的分布函数,则对任意实数a有试证之。 证明:因,有易知 。 又为偶函数,有,即 。所以有将代入上式,得:,即得证。16. 设k在上服从均匀分布,求方程有实根的概率。 解:x的二次方程有实根的充要条件是它的判别式 即 解得。 由假设k在区间上服从均匀分布,其概率密度为 故这个二次方程有实根的概率为 17设顾客在某银行的窗口等待服务的时间以分计服从指教分布,其分布密度为某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟,他就离开。他一个月要到银行5次。以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。写出的分布律,并求。解:顾客在窗口等待服务超过10min的概率为 故顾客去银行一次因未等到服务而
9、离开的概率为.从而Y的分布率为18设随机变量服从正态分布试求1;2;3确定C,使得。解:,12319在电源电压不超过200伏,在200-240伏和超过240伏三种情况下,某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2。假设电源电压服从正态分布,试求:该电子元件损坏的概率;该电子元件损坏时,电源电压在200-240之间的概率。解:1由题意知则电压不超过200V: 电压在200240V: 电压超过240V: 设电子元件损坏为事件A,则 设电源电压在200240V之间为事件B则 20一个袋中有6个一样的球,其中3个球各标有一个点,2个球各标有2个点,一个球上标有3个点,从袋中任取3个球,设表
10、示这3个球上点数的和。1求的分布列;2若任取10次有放回抽样,求8次出现的概率;3求的概率分布。解:1X34567此为贝努利概型,因,所以,任取10次出现X=6 k次的概率为的概率为3 6810121421设随机变量的分布列为-2-1013求的分布列。解:所有可能取值为0,1,4,9.故X的分布律为:Y014922设随机变量在区间内服从均匀分布。1求的分布密度。2求的分布密度。解:1Y的分布函数当y0时,注意x在有值,y在, 2注意x在有值,y在, 231设随机变量的分布密度为。求的分布密度。2设随机变量的分布密度为求的分布密度。解:1,即有它严格单调增加,解得且有的分布密度为: 2,即有,在时,严格单调增加,具有反函数又有的分布密度为:24设随机变量1求的分布密度。2求的分布密度,3求的分布密度。解: 因为,故不取负值,从而,若,则;若,注意到,故的分布函数为:从而,时,。于是,的概率密度为 因故在取值,从而时;若,注意到,故的分布函数为:故时,于是的概率密度为 对于,显然,当时;若,注意到,故的分布函数为:故时,于是的概率密度为25. 设随机变量服从参数为2的指数分布,证明:在区间上服从均匀分布。证明:的分布函数为:故为的分布函数,由于,有,易得:1当y0时,G0,2当y1时,G1,3当0y1时,总之有所以在区间0,1上服从均匀分布。9 / 9