《高中数学复习课件曲线与方程及圆锥曲线的综合应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学复习课件曲线与方程及圆锥曲线的综合应用（59页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.设设k1，则关于，则关于x，y的方程（的方程（1-k）x2+y2=k2-1表示的曲线是（表示的曲线是（ ）y轴上的椭圆轴上的椭圆x轴上的椭圆轴上的椭圆y轴上的双曲线轴上的双曲线x轴上的双曲线轴上的双曲线 方程可化为方程可化为所以所以k2-10，k+10， 所以方程表示实轴在所以方程表示实轴在y轴上的双曲线，选轴上的双曲线，选C.C因为因为k1，2.在在同同一一坐坐标标系系中中，方方程程a2x2+b2y2=1与与ax+by2=0(ab0)表示的曲线大致是（表示的曲线大致是（ ）D将方程将方程a2x2+b2y2=1与与ax+by2=0转化为转化为标准方程：标准方程：因因为为ab0，所所以以则则
2、有有椭椭圆圆的的焦焦点在点在y轴，抛物线的开口向左，选轴，抛物线的开口向左，选D.易易错错点点：由由方方程程研研究究曲曲线线的的性性质质，须须化化为标准方程为标准方程.3.平面直角坐标系中，已知两点平面直角坐标系中，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若若点点C满满足足 (O为为原原点点)，其其中中1,2R，且且1+2=1，则则点点C的的轨轨迹是（迹是（ ） 设设C(x,y)，由已知得，由已知得(x,y)=1(3,1)+2(-1,3)，x=31-2y=1+32，又又1+2=1，消去，消去1,2得得x+2y=5，选，选AA.所以所以4.在在平平面面直直角角坐坐标标系系xOy中中，已已知知ABC
3、的顶点的顶点A(-6,00和和C(6,0)，顶点，顶点B在双曲线在双曲线 的左支上，则的左支上，则 =. 因因为为A和和C恰恰为为双双曲曲线线的的两两个个焦焦点点，所以由双曲线方程及定义得：所以由双曲线方程及定义得：根据正弦定理知：根据正弦定理知：填填.5.P的的斜斜坐坐标标定定义义为为：若若（其其中中e1,e2分分别别为为斜斜坐坐标标系系的的x轴轴，y轴轴正正方方向向上上的的单单位位向向量量，x,yR），则则点点P的的斜斜坐坐标标为为（x,y）.在在平平面面斜斜坐坐标标系系xOy中中，若若xOy=60，已已知知点点A的的斜斜坐坐标标为为（1,2），点点B的的斜斜坐坐标标为为（3,1）,则则线
4、线段段AB的的垂垂直直平平分分线线在在斜斜坐坐标标系系中中的的方方程程是是 .x=2设设P(x,y)为为线线段段AB垂垂直直平平分分线线上上的的任一点，则有任一点，则有因因为为 =(1-x)e1+(2-y)e2， =(3-x)e1+(1-y)e2所以所以 =(1-x)2+(2-y)2+2(1-x)(2-y)，=(3-x)2+(1-y)2+2(3-x)(1-y)，由得由得xx=2. 易易错错点点：处处理理新新信信息息题题应应认认真真阅阅读读并并理理解好题意解好题意.(1)定定义义：在在直直角角坐坐标标系系中中，如如果果曲曲线线C(看看作作适适合合某某种种条条件件的的点点的的集集合合或或轨轨迹迹)
5、上上的的点点与与一一个二元方程个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系的实数解建立了如下的关系曲线上的点的坐标都是这个方程的解；曲线上的点的坐标都是这个方程的解；以以这这个个方方程程的的解解为为坐坐标标的的点点都都是是曲曲线线上上的点的点.那那么么，这这个个方方程程叫叫做做曲曲线线的的方方程程，这这条条曲曲线叫做方程的曲线线叫做方程的曲线.：(2)已已知知曲曲线线求求方方程程，已已知知方方程程画画曲曲线线是是解解析几何的核心内容析几何的核心内容.已已知知曲曲线线求求方方程程实实质质就就是是求求轨轨迹迹方方程程，其方法主要有直接法，定义法，代入法等；其方法主要有直接法，定义法，代入法等
6、；已已知知方方程程画画曲曲线线就就是是用用代代数数的的方方法法，研研究究方方程程性性质质(x，y的的取取值值范范围围，对对称称性性等等)，然然后后根根据据性性质质及及一一些些基基本本函函数数(方方程程)的的图图象象作作出出曲线曲线.在在解解析析几几何何问问题题中中，有有些些与与参参数数有有关关，这这就就构构成成定定值值问问题题.解解决决这这类类问问题题常常通通过过取取出出参参数数和和特特殊殊值值来来确确定定“定定值值”是是多多少少，再再将将该该问问题题涉涉及及的的几几何何式式转转化化为为代代数数式式或或三三角角形形式式，证证明明该该式是恒定的式是恒定的.以以实实际际应应用用为为背背景景，圆圆锥
7、锥曲曲线线的的有有关关知知识识为为手手段段，解解决决实实际际问问题题的的应应用用题题，或或以以圆圆锥锥曲曲线线为为载载体体，构构建建与与其其他他数数学学分分支支相相结结合合的的问问题题（如数列问题）（如数列问题）.重点突破：已知曲线求方程重点突破：已知曲线求方程 ()已已知知A(0,7)，B(0,-7) ，C(12,2)，则则以以C为为一一个个焦焦点点过过A，B的的椭椭圆圆，求求该该椭椭圆圆的的另另一个焦点一个焦点F的轨迹方程的轨迹方程.()设设 动动 直直 线线 l垂垂 直直 于于 x轴轴 ， 且且 与与 椭椭 圆圆x2+2y2=4交交于于A，B两两点点，P是是l上上满满足足=1的点，求点的
8、点，求点P的轨迹方程的轨迹方程.()首先利用椭圆的定义可知首先利用椭圆的定义可知 为为常常数数，再再利利用用双双曲曲线线的的定定义义即即可可求得轨迹方程求得轨迹方程.()设设出出动动点点P的的坐坐标标，用用直直接接法法求求出出P点的轨迹方程即可，注意点的轨迹方程即可，注意x的取值范围的取值范围.()由题意由题意又又所所以以故故F点点的的轨轨迹迹是是以以A，B为为焦焦点点，实实轴轴长长为为2的的双双曲曲线线的的下下支支，又又c=7，a=1，所所以以b2=48，所所以以轨轨迹迹方方程程为为 (y-1)，故填，故填(y-1).()设设 P点点 的的 坐坐 标标 为为 (x,y)， 则则 由由 方方
9、程程x2+2y2=4，得得 ，由由于于直直线线l与与椭椭圆圆交交于于A，B两两点点，故故-2x2，即即A，B两两点点的的坐坐标标分别为分别为A(x,)，B(x,-),则则所所以以即即x2+2y2=6，所所以以点点P的的轨迹方程为轨迹方程为x2+2y2=6(-2x0，所以所以化化 简简 可可 得得 点点 C的的 轨轨 迹迹 方方 程程 为为 ：x2+4y2=4a2(x0). 重重点点突突破破：圆圆锥锥曲曲线线中的定值问题中的定值问题 已已知知F1，F2分分别别为为椭椭圆圆C1：(ab0)的的上上、下下焦焦点点,其其中中F1也也是是抛抛物物线线C2：x2=4y的的焦焦点点,点点M是是C1与与C2在
10、第二象限的交点在第二象限的交点,且且()求椭圆求椭圆C1的方程的方程.()已已知知点点P（1,3）和和圆圆O：x2+y2=b2,过过点点P的的动动直直线线l与与圆圆O相相交交于于不不同同的的两两点点A,B,在线段在线段AB上取一点上取一点Q,满足：满足： (0且且1).求求证证：点点Q总总在在某某定直线上定直线上. ()求求出出点点M的的坐坐标标，利利用用椭椭圆圆的的定定义义，可可求求得得椭椭圆圆方方程程；()利利用用设设而而不不求法，将向量问题转化为坐标关系，可得证求法，将向量问题转化为坐标关系，可得证. ()由由C2：x2=4y知知F1(0,1),设设M(x0,y0)(x0b0)上上关关于
11、于原原点点对对称称的的两两个个点点，点点P是是椭椭圆圆上上任任一一点点，当当直直线线PM，PN的的斜斜率率都都存存在在，并并记记为为kPM,kPN时时，求求证证：kPM与与kPN之之积积是是与与点点P位置无关的定值位置无关的定值. 设设点点P(x,y)，若若M的的坐坐标标为为(m,n)，点点N的坐标为的坐标为(-m,-n)，其中其中 由由所以所以kPMkPN= 将代入上式得：将代入上式得：kPMkPN= 为定值，得证为定值，得证. 重点突破：圆锥曲线中的存在性问题重点突破：圆锥曲线中的存在性问题 已已知知两两点点M(2,0)，N(-2,0)，平平面面上上动点动点P满足满足()求动点求动点P的轨
12、迹的轨迹C方程方程.()如如果果直直线线x+my+4=0(mR)与与曲曲线线C交交于于A，B两两点点，那那么么在在曲曲线线C上上是是否否存存在在点点D，使使得得ABD是是以以AB为为斜斜边边的的直直角角三三角角形形？若若存存在在，求求出出m的的取取值值范范围围；若若不不存存在在，请请说说明理由明理由. ()利利用用直直接接法法，可可求求得得点点P的的轨轨迹迹方方程程.()联联立立直直线线和和曲曲线线的的方方程程，利利用韦达定理，结合假设存在，则有用韦达定理，结合假设存在，则有=0，可判断成立与否，可判断成立与否. ()设点设点P(x,y)，由由得得 化化简简得得y2=8x为点为点P的轨迹方程的
13、轨迹方程.()设设 直直 线线 x+my+4=0与与 曲曲 线线 C交交 于于 点点A(x1,y1)，B(x2,y2)， x+my+4=0 y2=8x所以所以=64m2-4320，即，即m22,则则y1+y2=-8m，y1y2=32，且，且若存在点若存在点D满足条件，可设满足条件，可设D（,t），），因因为为ABD是是以以AB为为斜斜边边的的直直角角三三角角形形，所以所以由由得：得：y2+8my+32=0，即即 +(y1-t)(y2-t)=0,因为因为y1t，y2t，所以，所以(y1+t)(y2+t)+64=0所以所以t2-8mt+96=0,所以所以=64m2-4960，所以，所以m26,当当
14、m或或m-时时，存存在在点点D使使得得ABD是以是以AB为斜边的直角三角形为斜边的直角三角形,又又m22，所所以以当当- m- 或或m 时，满足条件的点时，满足条件的点D不存在不存在. ，本本题题主主要要考考查查求求曲曲线线方方程程，直直线线与与圆圆锥锥曲曲线线的的位位置置关关系系，垂垂直直问问题题，以以及及推推理理能能力力和和运运算算能能力力，探探究究能能力力和和向向量量法法，以以及及“设设而而不不求求”，对对于于(1)根根据据题题目目给给定定条条件件直直接接可可求求得得；对对于于(2)先先假假设设存存在在，用用“设设而而不不求求”研研究究直直线线与与圆圆锥锥曲曲线线的的位位置置关关系系，关
15、关键键是是构构造造一一元元二二次次方方程程，应应用用根根与系数的关系解题与系数的关系解题.已已知知定定点点A(a,0)(a0)，B为为x轴轴负负半半轴轴上上的的动动点点，以以AB为为边边作作菱菱形形ABCD，使使其其两两对对角角线线的的交交点点恰恰好好落在落在y轴上轴上.()求动点求动点D的轨迹的轨迹E的方程；的方程；()过点过点A作直线作直线l与轨迹与轨迹E交于交于P、Q两点，两点，设点设点R(-a,0)，当，当l绕点绕点A转动时，证明转动时，证明PRQ是是否可以为钝角？请给出结论，并加以证明否可以为钝角？请给出结论，并加以证明.()设设D(x,y).因因为为A（a,0），由由ABCD为为菱
16、菱形形，且且AC、BD的的交交点点在在y轴轴上上，所所以以B、C两两点点的的坐坐标标分分别别为为(-x,0)、(-a,y).由由ACBD，得得 =(2x,y)(2a,-y)=4ax-y2=0，即，即y2=4ax.因为因为ABCD为菱形，所以为菱形，所以x0，故轨迹故轨迹E的方程为的方程为y2=4ax(x0).()PRQ不可能为钝角，即不可能为钝角，即PRQ90.证明如下：证明如下：当当PQx轴轴时时，P、Q点点的的坐坐标标为为(a,2a)，又又R(-a,0)，此时，此时PRQ=90，结论成立；，结论成立；当当PQ与与x轴轴不不垂垂直直时时，设设直直线线PQ的的方方程程为为y=k(x-a)， y
17、2=4ax y=k(x-a)，得得k2x2-(2ak2+4a)x+k2a2=0.由由设设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则则x1+x2= =(x1+a)(x2+a)+y1y2=(x1+a)(x2+a)+k2(x1-a)(x2-a)=(1+k2)x1x2+(a-ak2)(x1+x2)+a2+a2k2=(1+k2)a2+(a-ak2)(2a+)+a2+a2k2=即为锐角即为锐角.综上综上知知PRQ90成立成立.(2009山山东东卷卷)设设mR,在在平平面面直直角角坐坐标标 系系 中中 ,已已 知知 向向 量量 a=(mx,y+1),向向 量量 b=(x,y-1),ab,动点动点M(x,y)的轨
18、迹为的轨迹为E.()求求轨轨迹迹E的的方方程程,并并说说明明该该方方程程所所表表示示曲线的形状曲线的形状;()已已知知m=,证证明明:存存在在圆圆心心在在原原点点的的圆圆,使使得得该该圆圆的的任任意意一一条条切切线线与与轨轨迹迹E恒恒有有两两个个交交点点A,B,且且OAOB(O为为坐坐标标原原点点),并求该圆的方程并求该圆的方程;()已已 知知 m=,设设 直直 线线 l与与 圆圆C:x2+y2=R2 (1R0且且m1时时,该方程表示椭圆该方程表示椭圆;当当m0,即即4k2-t2+10,即即t24k2+1,且且x1+x2=x1x2=所以所以y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+
19、kt(x1+x2)+t2要使要使OAOB,需使需使x1x2+y1y2=0,即即所所以以5t2-4k2-4=0,即即5t2=4k2+4且且t24k2+1,即即4k2+420k2+5,恒成立恒成立.又又因因为为直直线线y=kx+t为为圆圆心心在在原原点点的的圆圆的的一一条切线条切线,所以圆的半径为所以圆的半径为故所求圆的方程为故所求圆的方程为x2+y2=.当切线的斜率不存在时当切线的斜率不存在时,切线的方程为切线的方程为它它与与交交于于点点（）或（），也满足或（），也满足OAOB.综综上上,存存在在圆圆心心在在原原点点的的圆圆x2+y2=，使使得得该该圆圆的的任任意意一一条条切切线线与与椭椭圆圆E
20、恒恒有有两两个个交交点点A,B,且且()当当m=时时,轨迹轨迹E的方程为的方程为显显然然，直直线线l的的斜斜率率存存在在，故故设设直直线线l的的方方程为程为y=k1x+t1.因为直线因为直线l与圆与圆C:x2+y2=R2(1R2)相切于相切于故由故由()知即知即y=k1x+t1+y2=1A1,由由,得得x2+4(k1x+t1)2=4,即即又又因因为为直直线线l与与轨轨迹迹E只只有有一一个个公公共共点点B1,故上述方程有唯一解故上述方程有唯一解.则则即即设点设点B1（x3,y3）.所以所以,由由得得因为点因为点B1在椭圆上在椭圆上,所以所以所以所以在在 直直 角角 三三 角角 形形 OA1B1中
21、中 ,|A1B1|2=|OB1|2-|OA1|2=因因为为当当且且仅仅当当R=2时时取取等等号号,所所以以|A1B1|25-4=1.即即当当R=（1,2）时时,|A1B1|取取得得最最大大值值,最大值为最大值为1. 本本题题主主要要考考查查了了直直线线与与圆圆的的方方程程和和位位置置关关系系,以以及及直直线线与与椭椭圆圆的的位位置置关关系系,可可以以通通过过解解方方程程组组法法研研究究有有没没有有交交点问题点问题,有几个交点的问题有几个交点的问题.1.已已知知曲曲线线求求方方程程的的常常用用方方法法有有：定定义义法法，直直接接法法，代代入入法法等等，解解题题的的一一般般步步骤骤是是：建建系系；
22、设设点点；列列式式；代代入入；化化简简；证证明明.以以上上方方法法称称为为直直接接法法，适适合合于于求求知知道道动动点点符符合合的的几几何何条条件件，但但不不知知道道轨轨迹迹形形状状的的曲曲线线方方程程；如如果果能能够够判判断断出出动动点点的的轨轨迹迹形形状状，又又知知道道曲曲线线方方程程的的形形状状，则则可可用用待待定定系系数数法法求求出出曲曲线线的的方方程程；如如果果所所求求曲曲线线上上的的点点是是已已知知曲曲线线上上的的点点的的相相关关动动点点，那那么么它它的的方方程程可可通通过过相相关关动动点点之之间间的的关关系系，代代入入到到已已知知曲曲线线的的方方程程中中求求得得，此此法法称为间接
23、法（代入法）称为间接法（代入法）.2.解解析析几几何何与与向向量量的的交交汇汇要要紧紧紧紧抓抓住住点点的的坐坐标标，利利用用平平面面向向量量的的坐坐标标表表示示法法，将将问问题题中中的的向向量量关关系系转转化化为为代代数数关关系系，再再根根据据解解析几何中已有的知识与方法求解析几何中已有的知识与方法求解.3.圆圆锥锥曲曲线线是是高高考考的的重重点点考考查查内内容容，在在高高考考中中除除中中档档题题或或压压轴轴题题综综合合考考查查它它们们与与其其他他知知识识的的交交汇汇之之外外，三三种种曲曲线线间间的的交交汇汇在在高高考中也常常出现考中也常常出现.4.过过定定点点问问题题，定定值值问问题题，存存
24、在在性性问问题题（探探究究性性问问题题）等等在在综综合合问问题题中中经经常常出出现现，解解题题时时要要注注意意应应用用转转化化思思想想，数数形形结结合合等等数数学学思思想想与与方方法法，明明确确解解题题思思路路，简简化化计计算算过过程，常用程，常用“设而不求设而不求”“整体代换整体代换”等解题方法等解题方法.1.（ 2009四四 川川 卷卷 ） 已已 知知 直直 线线 l1:4x-3y+6=0和和直直线线l2:x=-1，抛抛物物线线y2=4x上上一一动动点点P到到直直线线l1和和直直线线l2的的距距离离之之和和的的最最小小值值是（是（ ）C. D.A解解法法1：直直线线l2：x=-1为为抛抛物
25、物线线y2=4x的的准准线线，由由抛抛物物线线的的定定义义知知，P到到l2的的距距离离等等于于P到到抛抛物物线线的的焦焦点点F（1,0）的的距距离离，故故本本题题化化为为在在抛抛物物线线y2=4x上上找找一一个个点点P使使得得P到到点点F（1,0）和和直直线线l2的的距距离离之之和和最最小小，最最小小值值为为F（1,0）到直线）到直线l1:4x-3y+6=0的距离，即的距离，即 故选择故选择A.解法解法2：如下图，由题意可知如下图，由题意可知本本小小题题考考查查抛抛物物线线的的定定义义、点点到到直线的距离，综合题直线的距离，综合题.2.（2009宁宁夏夏/海海南南卷卷）已已知知椭椭圆圆C的的中
26、中心心为为直直角角坐坐标标系系xOy的的原原点点，焦焦点点在在x轴轴上上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和和1.()求椭圆求椭圆C的方程；的方程；()若若P为为椭椭圆圆C上上的的动动点点，M为为过过点点P且且垂垂直直于于x轴轴的的直直线线上上的的点点， ，求求点点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. ()设设椭椭圆圆长长半半轴轴长长及及半半焦焦距距分分别别为为a，c， a-c=1 a+c=7所以椭圆所以椭圆C的标准方程为的标准方程为由已知得由已知得,解得解得a=4c=3.()设设M(x,y)，其中，其中x-4,4.由已知由
27、已知 及点及点P在椭圆在椭圆C上可得上可得整整理理得得（162-9）x2+162y2=112，其其中中x-4,4.()=时时,化简得化简得9y2=112,所以点所以点M的轨迹方程为的轨迹方程为y=（-4x4），轨迹是两条平行于），轨迹是两条平行于x轴的线段轴的线段.()时，方程变形为时，方程变形为其中其中x-4,4.当当0时时，点点M的的轨轨迹迹为为中中心心在在原原点点、实轴在实轴在y轴上的双曲线满足轴上的双曲线满足-4x4的部分的部分;当当1时时，点点M的的轨轨迹迹为为中中心心在在原原点点、长轴在长轴在x轴上的椭圆满足轴上的椭圆满足-4x4的部分；的部分；当当1时时，点点M的的轨轨迹迹为为中中心心在在原原点点、长长轴轴在在x轴上的椭圆轴上的椭圆.本本小小题题主主要要考考查查抛抛物物线线的的定定义义和和几几何何性性质质等等平平面面解解析析几几何何的的基基础础知知识识，考考查查综合运用数学知识进行推理运算的能力综合运用数学知识进行推理运算的能力.
