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1、.向量法求空间角ABCDPQ1本小题满分10分在如图所示的多面体中,四边形为正方形,四边形是直角梯形,平面,1求证：平面；2求平面与平面所成的锐二面角的大小2满分13分如图所示,正四棱锥PABCD中,O为底面正方形的中心,侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为DBACOEP1求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；2若E是PB的中点,求异面直线PD与AE所成角的正切值；3问在棱AD上是否存在一点F,使EF侧面PBC,若存在,试确定点F的位置；若不存在,说明理由3本小题只理科做,满分14分如图,已知平面,是正三角形,且是的中点.1求证:平面;2求证:平面平面;3求平面与平面所成锐二面角的
2、大小.4本小题满分12分如图,在四棱锥中,底面,且底面为正方形,分别为的中点1求证:平面;2求平面和平面的夹角.5如图,在直三棱柱中,平面 侧面且.求证：； 若直线AC与平面所成的角为,求锐二面角的大小.6如图,四边形是正方形,平面, 分别为,的中点1求证：平面；2求平面与平面所成锐二面角的大小.9 / 11.参考答案11详见解析；2解析试题分析：1根据题中所给图形的特征,不难想到建立空间直角坐标,由已知,两两垂直,可以为原点,、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系表示出图中各点的坐标：设,则,则可表示出,根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明,由,故,即可证明；2首先求出两个平面的法向
3、量,其中由于平面,所以可取平面的一个法向量为；设平面的一个法向量为,则,故即取,则,故,转化为两个法向量的夹角,设与的夹角为,则即可求出平面与平面所成的锐二面角的大小.试题解析：1由已知,两两垂直,可以为原点,、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系 设,则,故,因为,故,即, 又所以,平面 2因为平面,所以可取平面的一个法向量 为, 点的坐标为,则, 设平面的一个法向量为,则,故即取,则,故设与的夹角为,则所以,平面与平面所成的锐二面角的大小为考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线与平面的位置关系21; 2; 3F是AD的4等分点,靠近A点的位置.解析试题分析：1取AD中点
4、M,连接MO,PM,由正四棱锥的性质知PMO为所求二面角PADO的平面角,PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角tanPAO,设ABa,则AOa,POa,MO=, tanPMO,PMO60; 2依题意连结AE,OE,则OEPD ,故OEA为异面直线PD与AE所成的角,由正四棱锥的性质易证OA平面POB,故为直角三角形,OEPDa tanAEO；3延长MO交BC于N,取PN中点G,连BG,EG,MG,易得BC平面PMN,故平面PMN平面PBC,而PMN为正三角形,易证MG平面PBC,取MA的中点F,连EF,则四边形MFEG为平行四边形,从而MG/FE,EF平面PBC,F是AD的4等分点,靠近A点
5、的位置.MDBACOEP试题解析：1取AD中点M,连接MO,PM,依条件可知ADMO,ADPO,则PMO为所求二面角PADO的平面角 2分PO面ABCD,PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角tanPAO设ABa,AOa,POAOtanPOAa,tanPMOPMO60 4分MDBACOEP2连接AE,OE, OEPD,OEA为异面直线PD与AE所成的角 6分AOBD,AOPO,AO平面PBD又OE平面PBD,AOOEOEPDa,tanAEO 8分3延长MO交BC于N,取PN中点G,连BG,EG,MGMDBACO EP N G F BCMN,BCPN,BC平面PMN平面PMN平面PBC 10分又
6、PMPN,PMN60,PMN为正三角形MGPN又平面PMN平面PBCPN,MG平面PBC 12分F是AD的4等分点,靠近A点的位置 13分考点：立体几何的综合问题31见解析；2见解析；3.解析试题分析：1取CE中点P,连接FP、BP,根据中位线定理可知FP|DE,且且FP=,而AB|DE,且AB=则ABPF为平行四边形,则AF|BP,AF平面BCE,BP平面BCE,满足线面平行的判定定理,从而证得结论；2根据AB平面ACD,DE|AB,则DE平面ACD,又AF平面ACD,根据线面垂直的性质可知,满足线面垂直的判定定理,证得AF平面CDE,又BP|AF,则BP平面CDE,BP平面BCE,根据面面
7、垂直的判定定理可证得结论；3由2,以F为坐标原点,FA,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Fxyz设AC=2,根据线面垂直求出平面BCE的法向量n,而m=0,0,1为平面ACD的法向量,设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为,根据可求出所求试题解析：1解:取CE中点P,连结FP、BP,F为CD的中点,FP|DE,且FP=又AB|DE,且AB=AB|FP,且AB=FP,ABPF为平行四边形,AF|BP 又平面BCE,BP平面BCE,AF|平面BCE 2ACD为正三角形,.AB平面ACD,DE|AB,DE平面ACD,又AF平面ACD,DEAF.又AFCD,CDDE=D,AF平
8、面CDE 又BP|AF,BP平面CDE.又BP平面BCE,平面BCE平面CDE 3法一、由2,以F为坐标原点,FA,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴如图,建立空间直角坐标系Fxyz.设AC=2,则C0,1,0,设为平面BCE的法向量, ,令n=1,则显然,为平面ACD的法向量.设面BCE与面ACD所成锐二面角为则.即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为法二、延长EB、DA,设EB、DA交于一点O,连结CO.则面面.由AB是的中位线,则.在中, .,又. 面而CE面ECD, 在中,即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为.考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂
9、直的判定4证明见解析解析试题分析：1利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.2证明线面平行,需证线线平行,只需要证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；3把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;4空间向量将空间位置关系转化为向量运算,应用的核心是要充分认识形体特征,建立恰当的坐标系,实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标,准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：1如图,以为原点,以为方向向量建立空间直角坐标系则. 设平面的法向量为即令则. 又平面平面2底面是
10、正方形,又平面又,平面向量是平面的一个法向量,又由1知平面的法向量. 二面角的平面角为. 考点：1证明直线与平面平行；2利用空间向量解决二面角问题.5详见解析;.解析试题分析：取 的中点D,连接AD,由已知条件推导出AD平面,从而,由线面垂直得由此能证明方法一：连接CD,由已知条件得即为直线与平面所成的角,即为二面角的一个平面角,由此能求出二面角的大小解法二向量法：由1知且,所以以点为原点,以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,设,则, ,求出平面的一个法向量,设直线与平面所成的角为,则得,解得,即,求出平面的一个法向量为,设锐二面角的大小为,则,且, 即可求出锐二面角的大小.试题解析：解1证
11、明：如图,取的中点,连接,因,则由平面侧面,且平面侧面, 得,又平面, 所以. 因为三棱柱是直三棱柱,则,所以. 又,从而侧面 ,又侧面,故. -6分解法一：连接,由1可知,则是在内的射影即为直线与所成的角,则 在等腰直角中,且点是中点,且,过点A作于点,连,由1知,则,且即为二面角的一个平面角且直角中：,又,且二面角为锐二面角 ,即二面角的大小为 -12分解法二向量法：由1知且,所以以点为原点,以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示,且设,则, 设平面的一个法向量,由, 得： 令 ,得 ,则设直线与所成的角为,则得,解得,即又设平面的一个法向量为,同理可得,设锐二面角的大小为,则,且
12、,得 锐二面角的大小为.考点：1.用空间向量求平面间的夹角；2.空间中直线与直线之间的位置关系61证明见解析；2解析试题分析：1利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.2证明证线线垂直,只需要证明直线的方向向量垂直；3把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;4空间向量将空间位置关系转化为向量运算,应用的核心是要充分认识形体特征,建立恰当的坐标系,实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标,准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：1证明：,分别为,的中点,.又平
13、面,平面,平面.2解:平面,平面平面,.四边形是正方形,.以为原点,分别以直线为轴, 轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,设, ,., 分别为,的中点,解法一设为平面的一个法向量,则,即,令,得.设为平面的一个法向量,则,即,令,得.所以=.所以平面与平面所成锐二面角的大小为或解法二,是平面一个法向量.,是平面平面一个法向量.平面与平面所成锐二面角的大小为或.解法三延长到使得连,四边形是平行四边形,四边形是正方形,分别为,的中点,平面,平面, 平面.平面平面平面故平面与平面所成锐二面角与二面角相等.平面平面平面是二面角的平面角. 平面与平面所成锐二面角的大小为或.考点：1、直线与平面平行的判定；2、平面与平面所成的角.
