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1、.长春市普通高中2019届高三质量监测(一)数学试题卷(理科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数A. B. C. D. 2.已知集合,则满足条件的集合的个数为A. B. C. D. 3.函数的最大值为,A. B. C. D.4.下列函数中是偶函数,且在区间上是减函数的是A. B. C. D. 5.已知平面向量、,满足,若,则向量、的夹角为A. B. C. D. 6.已知等差数列中,为其前项的和,则A. B. C. D. 7.在正方体中,直线与平面所成角的正弦值为A. B. C.D. 8.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到、三个班级中
2、,要求每个班级至少分到一人,则甲被分到班的分法种数为,A. B. C. D. 9.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准,现选择15名志愿者,对其身高和臂展进行测量(单位:厘米),左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图,右图为身高与臂展所对应的散点图,并求得其回归方程为,以下结论中不正确的为1901851801751701651601551501451 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15身高臂展A. 15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B. 15名志愿者身高和臂展成正相关关系,C. 可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米,D. 身高相差10厘米的两人
3、臂展都相差11.6厘米,10.我国古代数学著作九章算术有如下问题:“今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一头五升(注:一斗为十升).问,米几何?”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的(单位:升),则输入的值为,A. B. C. D. 是否开始输入输出结束11.已知双曲线的两个顶点分别为、,点为双曲线上除、外任意一点,且点与点、连线的斜率分别为、,若,则双曲线的渐进线方程为,A. B. C. D. 12.已知函数是定义在上的函数,且满足,其中为的导数,设,则、的大小关系是A. B. C. D. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.14.若椭圆的
4、方程为,则其离心率为.15.各项均为正数的等比数列的前项和为,已知,,则.16.已知所有棱长都相等的三棱锥的各个顶点同在一个半径为的球面上,则该三棱锥的表面积为.三、解答题:共70份,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答,第2223选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分17.(本小题满分12分) 在中,内角、的对边分别为、,已知.(1)求角;(2)若,求的最小值.18.(本小题满分12分) 在四棱锥中,平面平面,,四边形是边长为的菱形,,是的中点.(1)求证:平面;(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.19.(本小题满分12分) 平
5、面直角坐标系中,为坐标原点,已知抛物线的方程为.(1)过抛物线的焦点且与轴垂直的直线交曲线于、两点,经过曲线上任意一点作轴的垂线,垂足为.求证:;(2)过点的直线与抛物线交于、两点且,.求抛物线的方程.20.(本小题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据
6、,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量(单位:瓶)为多少时?的数学期望达到最大值?21.(本小题满分12分) 已知函数.(1)当且时,试判断函数的单调性;(2)若且,求证:函数在上的最小值小于;(3)若在单调函数,求的最小值.(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程选讲 已知直线的参数方程为(为参数,),以原点为极点,
7、轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.(1)求圆的直角坐标方程;(2)若直线与圆相交于、两点,且,求的值.23.(本小题满分10分)选修4-5 不等式选讲已知,.(1)求证:;(2)求证:.长春市普通高中2019届高三质量监测(一)数学(理科)试题参考答案及评分标准一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.C【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】C.故选C. 2.D【命题意图】本题考查集合运算. 【试题解析】D有.故选D. 3.A【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】A由题意可知函数最大值为. 故选A.4.B【命题意图】本题主要考查函数的性质.【
8、试题解析】B由函数是偶函数,排除C,在上是减函数,排除A,D.故选B.5.C【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】C由题意知.故选C.6.C【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识. 【试题解析】C.故选C7.D【命题意图】本题考查线面成角.【试题解析】D由题意知成角为.故选D. 8.B【命题意图】本题主要考查计数原理的相关知识. 【试题解析】B由题意可分两类,第一类,甲与另一人一同分到A,有6种;第二类,甲单独在A,有6种,共12种.故选B. 9.D【命题意图】本题主要考查统计相关知识. 【试题解析】D由统计学常识可知,D选项正确.故选D. 10.D【命题意图】本题主要考查中
9、华传统文化. 【试题解析】D由题可知.故选D. 11.C【命题意图】本题考查双曲线的相关知识. 【试题解析】C由题意可知,从而渐近线方程为.故选C. 12.A【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用. 【试题解析】A令,所以在定义域内单调递增,从而,得,即. 故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.【命题意图】本题考查对数运算.【试题解析】由题意可知值为.14. 【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.【试题解析】. 15.【命题意图】本题考查等比数列的相关知识.【试题解析】由题意可得,得. 16. 【命题意图】本题考查球的相关知识. 【试题解析】由题意可知其.三
10、、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的基本方法. 【试题解析】解:(1)由可得,所以.(2)由(1)及得,所以,当且仅当时取等号,所以的最小值为.18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体,考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解:(1)连接,由,是的中点,得,由平面平面,可得平面,又由于四边形是边长为2的菱形,所以,从而平面.(2)以为原点,为轴,建立空间直角坐标系,有,令平面的法向量为,由,可得一个,同理可得平面的一个法向量为,所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.19.(本小题满分12分)【
11、命题意图】本小题考查抛物线的相关知识.【试题解析】答案:(1)设,从而. (2)由条件可知,联立直线和抛物线,有,有,设,由有,有,由韦达定理可求得,所以抛物线. 20.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望.【试题解析】(1)由题意知,所有可能取值为200,300,500,由表格数据知,.因此的分布列为0.20.40.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑.当时,若最高气温不低于25,则;若最高气温位于区间,则;若最高气温低于20,则;因此.当时,若最高气温不低于20,则;若最高气温低于20,则;因此.所以n=300时
12、,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识,以导数为工具研究函数的方法,考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解:(1)由题可得,设,则,所以当时,在上单调递增,当时,在上单调递减,所以,因为,所以,即,所以函数在上单调递増.(4分)(2)由(1)知在上单调递増,因为,所以,所以存在,使得,即,即,所以函数在上单调递减,在上单调递増,所以当时,.令,则恒成立,所以函数在上单调递减,所以,所以,即当时,故函数在上的最小值小于. (8分)(3),由为上的单调函数,可知一定为单调增函数因此,令,当时,;当时,在上为增函数时,与矛盾 当时,当时,,令,则当时,的最小值为. (12分)22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【试题解析】 (1)圆C的直角坐标方程为.(2)将直线的参数方程代入到圆C的直角坐标方程中,有,由得,所以或. 23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到基本不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】(1). (2),故. 7 / 7