应力和应变分析强度理论

《应力和应变分析强度理论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《应力和应变分析强度理论（117页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、Chapter7 Analysis of Stress and Strain Failure Criteria(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 7-1 应力状态概述应力状态概述一、应力状态的概念一、应力状态的概念一、应力状态的概念一、应力状态的概念 请看下面几段动画请看下面几段动画请看下面几段动画请看下面几段动画 1. 1. 1. 1.低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验 2. 2. 2. 2.低碳钢和铸

2、铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 低碳钢低碳钢低碳钢低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？ 铸铁铸铁铸铁铸铁 低碳钢和铸铁的拉伸低碳钢和铸铁的拉伸低碳钢和铸铁的拉伸低碳钢和铸铁的拉伸(Analysis of stress-state and strain-state)(Anal

3、ysis of stress-state and strain-state)为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转时沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？螺旋面断开？螺旋面断开？ 低碳钢和铸铁的扭转低碳钢和铸铁的扭转低碳钢和铸铁的扭转低碳钢和铸铁的扭转 低碳钢低碳钢低碳钢低碳钢 铸铁铸铁铸铁铸铁(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) （1 1）拉中有剪拉中有剪拉中有剪拉中有剪, ,剪中有拉剪中有拉剪中有拉剪中有拉; ;

4、（2 2）不仅横截面上存在应力不仅横截面上存在应力不仅横截面上存在应力不仅横截面上存在应力, ,斜截面上也存在应力斜截面上也存在应力斜截面上也存在应力斜截面上也存在应力; ; （3 3）同一面上不同点的应力各不相同同一面上不同点的应力各不相同同一面上不同点的应力各不相同同一面上不同点的应力各不相同; ; （4 4） 同一点不同方向面上的应力也是各不相同同一点不同方向面上的应力也是各不相同同一点不同方向面上的应力也是各不相同同一点不同方向面上的应力也是各不相同. . 3. 3. 3. 3.重要结论重要结论重要结论重要结论哪一点？哪一点？哪一点？哪一点？哪个方向面？哪个方向面？哪个方向面？哪个方向

5、面？应应 力力哪一个面上？哪一个面上？哪一个面上？哪一个面上？哪一点？哪一点？哪一点？哪一点？ 4. 4. 4. 4.一点的应力状态一点的应力状态一点的应力状态一点的应力状态过一点不同方向面上应力的情况过一点不同方向面上应力的情况过一点不同方向面上应力的情况过一点不同方向面上应力的情况, ,称之为称之为称之为称之为这一点的应力状这一点的应力状这一点的应力状这一点的应力状态态态态, , 亦指该点的应力全貌亦指该点的应力全貌亦指该点的应力全貌亦指该点的应力全貌. .(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-stat

6、e and strain-state)二、应力状态的研究方法二、应力状态的研究方法二、应力状态的研究方法二、应力状态的研究方法 1. 1. 单元体单元体单元体单元体 （2 2）任意一对平行平面上的应力相等）任意一对平行平面上的应力相等）任意一对平行平面上的应力相等）任意一对平行平面上的应力相等 2. 2. 单元体特征单元体特征单元体特征单元体特征 3 3. . . .主单元体主单元体主单元体主单元体 各侧面上切应力均为零的单元体各侧面上切应力均为零的单元体各侧面上切应力均为零的单元体各侧面上切应力均为零的单元体 （1 1）单元体的尺寸无限小）单元体的尺寸无限小）单元体的尺寸无限小）单元体的尺寸

7、无限小, ,每个面上应力均匀分布每个面上应力均匀分布每个面上应力均匀分布每个面上应力均匀分布 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 4 4. . . .主平面主平面主平面主平面 切应力为零的截面切应力为零的截面切应力为零的截面切应力为零的截面 5 5. . . .主应力主应力主应力主应力 主平面上的正应力主平面上的正应力主平面上的正应力主平面上的正应力 说明说明说明说明: :一点处必定存在这样的一个单元体一点处必定

8、存在这样的一个单元体一点处必定存在这样的一个单元体一点处必定存在这样的一个单元体, , 三个相互垂直的面三个相互垂直的面三个相互垂直的面三个相互垂直的面均为主平面均为主平面均为主平面均为主平面, , 三个互相垂直的主应力分别记为三个互相垂直的主应力分别记为三个互相垂直的主应力分别记为三个互相垂直的主应力分别记为 1 1 , , 2 2 , , 3 3 且规定按且规定按且规定按且规定按代数代数代数代数值大小的顺序来排列值大小的顺序来排列值大小的顺序来排列值大小的顺序来排列, , 即即即即 1 1 2 2 3 3(Analysis of stress-state and strain-state)

9、(Analysis of stress-state and strain-state) 三、应力状态的分类三、应力状态的分类三、应力状态的分类三、应力状态的分类 1. 1.空间应力状态空间应力状态空间应力状态空间应力状态 三个主应力三个主应力三个主应力三个主应力 1 1 , , 2 2 , , 3 3 均不等于零均不等于零均不等于零均不等于零2. 2.平面应力状态平面应力状态平面应力状态平面应力状态 三个主应力三个主应力三个主应力三个主应力 1 1 , , 2 2 , , 3 3 中有两个不等于零中有两个不等于零中有两个不等于零中有两个不等于零3. 3.单向应力状态单向应力状态单向应力状态单向

10、应力状态 三个主应力三个主应力三个主应力三个主应力 1 1 , , 2 2 , , 3 3 中只有一个不等于零中只有一个不等于零中只有一个不等于零中只有一个不等于零 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)例题例题例题例题 1 1 画出如图所示梁画出如图所示梁画出如图所示梁画出如图所示梁S S截面的应力状态单元体截面的应力状态单元体截面的应力状态单元体截面的应力状态单元体

11、. . 5 54 43 32 21 1Fl/2l/2Fl/2l/2S平面平面平面平面(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)S S平面平面平面平面25 54 43 32 21 15 54 43 32 21 11 x x1 1 x x1 1 x x2 2 x x2 2 2 2 2 23 3 3 3 3(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-stat

12、e)al lS SF例题例题例题例题 2 2 画出如图所示梁危画出如图所示梁危画出如图所示梁危画出如图所示梁危险截面危险点的应力状态单险截面危险点的应力状态单险截面危险点的应力状态单险截面危险点的应力状态单元体元体元体元体 x xzy4 43 32 21 1zy4 43 32 21 1FSMMz zT T(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)1 12 2yxzzy4 43 32 21 1FSMMz zT Tx xzy4 43 32 21 13 3(Analysi

13、s of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)例例例例题题题题3 3 分析薄壁分析薄壁分析薄壁分析薄壁圆圆圆圆筒受内筒受内筒受内筒受内压时压时压时压时的的的的应应应应力状力状力状力状态态态态pDyz 薄壁圆筒的横截面面积薄壁圆筒的横截面面积薄壁圆筒的横截面面积薄壁圆筒的横截面面积pD D n nn n（1 1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F Fmmmmn nn n(Analysis of

14、stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)直径平面直径平面直径平面直径平面（2 2）假想用一直径平面将圆筒截分为二）假想用一直径平面将圆筒截分为二）假想用一直径平面将圆筒截分为二）假想用一直径平面将圆筒截分为二, ,并取下半环为研究对象并取下半环为研究对象并取下半环为研究对象并取下半环为研究对象p yFNFNd (Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)平面应力状

15、态的普遍形式如图所示平面应力状态的普遍形式如图所示平面应力状态的普遍形式如图所示平面应力状态的普遍形式如图所示 . .单元体上有单元体上有单元体上有单元体上有 x x , , xyxy 和和和和 y y , , yxyx7-2 平面应力状态分析平面应力状态分析- -解析法解析法x x xyz y y xyxy yxyx x x y y xyxy yxyx角标的意义；应力正负号的规定。角标的意义；应力正负号的规定。角标的意义；应力正负号的规定。角标的意义；应力正负号的规定。切应力切应力切应力切应力对单元体内任一点取矩对单元体内任一点取矩对单元体内任一点取矩对单元体内任一点取矩, ,顺时针转顺时针

16、转顺时针转顺时针转 为正为正为正为正(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力1.1.1.1.截面法截面法截面法截面法 假想地沿斜截面假想地沿斜截面假想地沿斜截面假想地沿斜截面 e e- -f f 将单元体截开将单元体截开将单元体截开将单元体截开, ,留下左边部分的单体元留下左边部分的单体元留下左边部分的单体元留下左边部分的单体元 eaf eaf 作为研究对象作为研究对象作为研究对象作为研究对象

17、xya x x x x yxyx xyxye ef f n nef fa x x xyxy yxyx y y n n (Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)xya x x x x yxyx xyxye ef f n n （1 1 1 1）由）由）由）由x x轴转到外法线轴转到外法线轴转到外法线轴转到外法线n n, , , ,逆时针转向时逆时针转向时逆时针转向时逆时针转向时 为正为正为正为正 （2 2 2 2）正应力）正应力）正应力）正应力仍规定仍规定仍规定仍规定

18、拉应力拉应力拉应力拉应力 为正为正为正为正 （3 3 3 3）切应力）切应力）切应力）切应力对单元体内任一点取矩对单元体内任一点取矩对单元体内任一点取矩对单元体内任一点取矩, ,顺时针转顺时针转顺时针转顺时针转 为正为正为正为正2.2.2.2.符号的确定符号的确定符号的确定符号的确定ef fa x x xyxy yxyx y y n n t t(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 设斜截面的面积为设斜截面的面积为设斜截面的面积为设斜截面的面积为d dA A ,

19、 , a a- -e e的面积为的面积为的面积为的面积为d dA Acoscos , , a a- -f f 的面积为的面积为的面积为的面积为d dA Asinsin ef fa x x xyxy yxyx y y n n ef fa d dA Ad dA Asinsin d dA Acoscos 3.3.3.3.任意斜截面上的应力任意斜截面上的应力任意斜截面上的应力任意斜截面上的应力 对研究对象列对研究对象列对研究对象列对研究对象列 n n和和和和 t t 方向的方向的方向的方向的平衡方程得平衡方程得平衡方程得平衡方程得t t(Analysis of stress-state and str

20、ain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)化简以上两个平衡方程最后得化简以上两个平衡方程最后得化简以上两个平衡方程最后得化简以上两个平衡方程最后得不难看出不难看出不难看出不难看出即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)二、最大正应力及方位二、最

21、大正应力及方位二、最大正应力及方位二、最大正应力及方位1.1.1.1.最大正应力的方位最大正应力的方位最大正应力的方位最大正应力的方位令令令令 0 0 0 0 和和和和 0 0 0 0+90+90+90+90确定两个互相垂直的平面确定两个互相垂直的平面确定两个互相垂直的平面确定两个互相垂直的平面, , , ,一个是最大正应力一个是最大正应力一个是最大正应力一个是最大正应力所在的平面所在的平面所在的平面所在的平面, , , ,另一个是最小正应力所在的平面另一个是最小正应力所在的平面另一个是最小正应力所在的平面另一个是最小正应力所在的平面. . . .(Analysis of stress-sta

22、te and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)2.2.2.2.最大正应力最大正应力最大正应力最大正应力 将将将将 0 0 0 0和和和和 0 0+90+90代入公式代入公式代入公式代入公式 得到得到得到得到 maxmax和和和和 minmin ( ( ( (主应力）主应力）主应力）主应力） 下面还必须进一步判断最大下面还必须进一步判断最大下面还必须进一步判断最大下面还必须进一步判断最大sigmasigma的方位：的方位：的方位：的方位：(Analysis of stress-state and strain-sta

23、te)(Analysis of stress-state and strain-state) 当当 x y 时时, 绝对值较小的那个角度是最大绝对值较小的那个角度是最大应力的平面。应力的平面。 具体规则如下：具体规则如下：具体规则如下：具体规则如下：(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)二、最大切应力及方位二、最大切应力及方位二、最大切应力及方位二、最大切应力及方位1.1.1.1.最大切应力的方位最大切应力的方位最大切应力的方位最大切应力的方位 令令令令 1 1

24、 1 1 和和和和 1 1 1 1+ + + +9090确定两个互相垂直的平面确定两个互相垂直的平面确定两个互相垂直的平面确定两个互相垂直的平面, , , ,一个是最大切应力一个是最大切应力一个是最大切应力一个是最大切应力所在的平面所在的平面所在的平面所在的平面, , , ,另一个是最小切应力所在的平面另一个是最小切应力所在的平面另一个是最小切应力所在的平面另一个是最小切应力所在的平面. . . .(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)2.2.2.2.最大切应力

25、最大切应力最大切应力最大切应力 将将将将 1 1 1 1和和和和 1 1+90+90代入公式代入公式代入公式代入公式 得到得到得到得到 maxmax和和和和 minmin 比较比较比较比较和和和和可见可见可见可见(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)例题例题例题例题4 4 4 4 简支梁如图所示简支梁如图所示简支梁如图所示简支梁如图所示. . . .已知已知已知已知 mm- -mm 截面上截面上截面上截面上A A点的弯曲正应力和点的弯曲正应力和点的弯曲正应力和点

26、的弯曲正应力和切应力分别为切应力分别为切应力分别为切应力分别为 =-70 =-70 =-70 =-70MPaMPa, , , , =50=50=50=50MPa.MPa.确定确定确定确定A A点的主应力及主平面点的主应力及主平面点的主应力及主平面点的主应力及主平面的方位的方位的方位的方位. . . .A mmmmal A 解：解：解：解： 把从把从把从把从A A点处截取的单元体放大如图点处截取的单元体放大如图点处截取的单元体放大如图点处截取的单元体放大如图(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state a

27、nd strain-state)因为因为因为因为 x x y y ，所以，所以，所以，所以 0 0 0 0= = 27.527.5与与与与 minmin对应对应对应对应xA A 0 0 0 0 1 1 3 3 1 1 3 3(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) x x y y xyxy例题例题例题例题5 5 图示单元体图示单元体图示单元体图示单元体, , , ,已知已知已知已知 x x =-40=-40=-40=-40MPaMPa, , , , y y =60

28、=60=60=60MPaMPa, , , , xyxy=-=-=-=-50MPa50MPa. . . .试求试求试求试求e e- -f f截面上的应力情截面上的应力情截面上的应力情截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位况及主应力和主单元体的方位况及主应力和主单元体的方位况及主应力和主单元体的方位. . . .n3030ef解解解解: : : :（1 1 1 1）求求求求 e e- -f f 截面上的应力截面上的应力截面上的应力截面上的应力(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strai

29、n-state)（2 2 2 2） 求主应力和主单元体的方位求主应力和主单元体的方位求主应力和主单元体的方位求主应力和主单元体的方位因为因为因为因为 x x 0 0例题例题例题例题6 6 求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位. . xyxy所以所以所以所以 0 0 0 0=-=-=-=-45454545与与与与 maxmax 对应对应对应对应45 （2 2）求主应力）求主应力）求主应力）求主应力 1 1 = = , , 2 2 = 0 , = 0 , 3 3 = - =

30、- 1 3 3(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 7-3 平面应力状态分析平面应力状态分析- -图解法图解法一、莫尔圆一、莫尔圆一、莫尔圆一、莫尔圆 将斜截面应力计算公式改写为将斜截面应力计算公式改写为将斜截面应力计算公式改写为将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方把上面两式等号两边平方把上面两式等号两边平方把上面两式等号两边平方, ,然后相加便可消去然后相加便可消去然后相加便可消去然后相加便可消去 , ,得得得得(Analysis of stre

31、ss-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 因为因为因为因为 x x , , y y , , xy xy 皆为已知量皆为已知量皆为已知量皆为已知量, ,所以上式是一个以所以上式是一个以所以上式是一个以所以上式是一个以 , , 为变量的为变量的为变量的为变量的圆周方程圆周方程圆周方程圆周方程. .当斜截面随方位角当斜截面随方位角当斜截面随方位角当斜截面随方位角 变化时变化时变化时变化时, ,其上的应力其上的应力其上的应力其上的应力 , , 在在在在 - - 直角坐标系内的轨迹是一个圆直角坐标系内的轨迹

32、是一个圆直角坐标系内的轨迹是一个圆直角坐标系内的轨迹是一个圆. . 1. 1.圆心的坐标圆心的坐标圆心的坐标圆心的坐标 2. 2.圆的半径圆的半径圆的半径圆的半径 此圆习惯上称为此圆习惯上称为此圆习惯上称为此圆习惯上称为应力圆应力圆应力圆应力圆（ plane stress circle plane stress circle）, ,或称为或称为或称为或称为莫尔莫尔莫尔莫尔圆圆圆圆（Mohrs circleMohrs circle）(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-sta

33、te) （1 1）建）建）建）建 - - 坐标系坐标系坐标系坐标系, ,选定比例尺选定比例尺选定比例尺选定比例尺 二、应力圆作法二、应力圆作法二、应力圆作法二、应力圆作法1.1.1.1.步骤步骤步骤步骤xy x x x x yxyx xyxy y y y y(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)D xyO （2 2）量取）量取）量取）量取OA= OA= x xADAD = = xyxy得得得得D D点，作法线为点，作法线为点，作法线为点，作法线为x x的面的应力

34、。的面的应力。的面的应力。的面的应力。xy x x x x yxyx xyxy xAOB= OB= y y （3 3）量取）量取）量取）量取BD= BD= yxyx得得得得DD点点点点作法线为作法线为作法线为作法线为y y的面的应力的面的应力的面的应力的面的应力 yB B yxD （4 4）连接）连接）连接）连接 DDDD两点的直线与两点的直线与两点的直线与两点的直线与 轴相交于轴相交于轴相交于轴相交于C C 点点点点 （5 5）以）以）以）以C C为圆心为圆心为圆心为圆心, , CDCD 为半径作圆为半径作圆为半径作圆为半径作圆, ,该圆就是相应于该单元体的该圆就是相应于该单元体的该圆就是相

35、应于该单元体的该圆就是相应于该单元体的应力圆应力圆应力圆应力圆C C(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) （1 1）该圆的圆心）该圆的圆心）该圆的圆心）该圆的圆心C C点到点到点到点到 坐坐坐坐标原点的标原点的标原点的标原点的 距离为距离为距离为距离为 （2 2）该圆半径为）该圆半径为）该圆半径为）该圆半径为D xyO xA yB B yxDC C2.2.2.2.证明证明证明证明(Analysis of stress-state and strain-stat

36、e)(Analysis of stress-state and strain-state)三、应力圆的应用三、应力圆的应用三、应力圆的应用三、应力圆的应用 1.1.1.1.求单元体上任一求单元体上任一求单元体上任一求单元体上任一截面上的应力截面上的应力截面上的应力截面上的应力 从应力圆的半径从应力圆的半径从应力圆的半径从应力圆的半径 CD CD 按方位角按方位角按方位角按方位角 的转向转动的转向转动的转向转动的转向转动2 2 得到半径得到半径得到半径得到半径CE.CE.圆周上圆周上圆周上圆周上 E E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力点的坐标就依次为斜截面上的正应力点的坐标就依次为斜截面上的正

37、应力点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力和切应力和切应力和切应力 . .D xyO xA yB B yxDC C2 2 0 0FE E2 2 xya x x x x yxyx xyxye ef f n n(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 证明：证明：证明：证明：(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) （1 1）点面之间

38、的对应关系）点面之间的对应关系）点面之间的对应关系）点面之间的对应关系: :单元体某一面上的应力单元体某一面上的应力单元体某一面上的应力单元体某一面上的应力, ,必对应于必对应于必对应于必对应于应力圆上某一点的坐标应力圆上某一点的坐标应力圆上某一点的坐标应力圆上某一点的坐标. .说说说说 明明明明AB （2 2）夹角关系）夹角关系）夹角关系）夹角关系: :圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍上对应两截面夹角的两倍上对应两截面夹角的两倍上对应两截面夹角的两倍.

39、 .两者的转向一致两者的转向一致两者的转向一致两者的转向一致. .2 2 O OC CB BA(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)2.2.2.2.求主应力数值和主平面位置求主应力数值和主平面位置求主应力数值和主平面位置求主应力数值和主平面位置（1 1 1 1）主应力数值）主应力数值）主应力数值）主应力数值 A A1 1 和和和和 B B1 1 两点为与主平面两点为与主平面两点为与主平面两点为与主平面对应的点对应的点对应的点对应的点, ,其横坐标其横坐标其横坐标

40、其横坐标 为主应力为主应力为主应力为主应力 1 1, , 2 2 1 1 2D xyO xA yB B yxDC C2 2 0 0FE E2 2 B1A1(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)2 2 0 0D xyO xA yB B yxDC C 1 1 2A1B1（2 2）主平面方位）主平面方位）主平面方位）主平面方位 由由由由 CDCD顺时针转顺时针转顺时针转顺时针转 2 2 0 0 到到到到CACA1 1 所以单元体上从所以单元体上从所以单元体上从所以单元

41、体上从 x x 轴顺时轴顺时轴顺时轴顺时针转针转针转针转 0 0 （负值）即负值）即负值）即负值）即到到到到 1 1对应的对应的对应的对应的主平面的外法线主平面的外法线主平面的外法线主平面的外法线 0 0 确定后确定后确定后确定后, , 1 1 对应的对应的对应的对应的主平面方位即确定主平面方位即确定主平面方位即确定主平面方位即确定(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)3.3.3.3.求最大切应力求最大切应力求最大切应力求最大切应力 G G1 1和和和和G G2

42、 2两点的纵坐标分别两点的纵坐标分别两点的纵坐标分别两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力代表最大和最小切应力代表最大和最小切应力代表最大和最小切应力 2 2 0 0D xyO xA yB B yxDC C 1 1 2A1B1G1G2 因为因为因为因为最大、最小切应力等于应力圆的半径最大、最小切应力等于应力圆的半径最大、最小切应力等于应力圆的半径最大、最小切应力等于应力圆的半径(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) O O例题例题例题例题7 7 从水坝体内某点处取

43、出的单元体如图所示从水坝体内某点处取出的单元体如图所示从水坝体内某点处取出的单元体如图所示从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, , x x = -1MPa , = -1MPa , y y = - 0.4MPa , = - 0.4MPa , xyxy= - 0.2MPa , = - 0.2MPa , yxyx = 0.2MPa , = 0.2MPa , （1 1）绘出相应的应力圆）绘出相应的应力圆）绘出相应的应力圆）绘出相应的应力圆 （2 2）确定此单元体在）确定此单元体在）确定此单元体在）确定此单元体在 =30 =30和和和和 =-40 =-40两斜面上的应力两斜面上的应力两斜面上的应力两斜

44、面上的应力. . x x y y xyxy解解解解: : （1 1） 画应力圆画应力圆画应力圆画应力圆 量取量取量取量取OAOA= = x x= - 1 , = - 1 , ADAD = = xyxy= - 0.2,= - 0.2,定出定出定出定出 D D点点点点; ;ACB OB OB = = y y= - 0.4= - 0.4和，和，和，和， BDBD = = yxyx= 0.2 , = 0.2 , 定出定出定出定出 D D 点点点点. . (-1,-0.2)DD(-0.4,0.2) 以以以以DDDD 为直径绘出的圆即为应力圆为直径绘出的圆即为应力圆为直径绘出的圆即为应力圆为直径绘出的圆即

45、为应力圆. .(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 将半径将半径将半径将半径 CDCD 逆时针转动逆时针转动逆时针转动逆时针转动 2 2 = 60 = 60到半径到半径到半径到半径 CE, ECE, E 点的坐标就代点的坐标就代点的坐标就代点的坐标就代表表表表 = 30 = 30斜截面上的应力。斜截面上的应力。斜截面上的应力。斜截面上的应力。（2 2）确定）确定）确定）确定 = 30= 30斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的应力E E6060

46、（3 3）确定）确定）确定）确定 = - 40 = - 40斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的应力 将半径将半径将半径将半径 CD CD顺时针转顺时针转顺时针转顺时针转 2 2 = 80 = 80到半径到半径到半径到半径 CF, FCF, F 点的坐标就代表点的坐标就代表点的坐标就代表点的坐标就代表 = - 40 = - 40斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的应力. .F F8080ADC BO OD 3030 4040 4040 3030 3030= - 0.36MPa= - 0.36MPa 3030= = - 0.68MPa- 0.68MPa 4040=

47、 - 0.26MPa= - 0.26MPa -40-40= = - 0.95MPa- 0.95MPa(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)例题例题例题例题8 8 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示, ,梁的横截面梁的横截面梁的横截面梁的横截面尺寸示于图中尺寸示于图中尺寸示于图中尺寸示于图中. .试绘出截面试绘出截面试绘出截面试绘出截面C C上上上

48、上a , ba , b两点处的应力圆两点处的应力圆两点处的应力圆两点处的应力圆, ,并用应力圆求并用应力圆求并用应力圆求并用应力圆求出这两点处的主应力出这两点处的主应力出这两点处的主应力出这两点处的主应力. .12015152709za ab b250kN1.6m2mABC(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)+200kN50kN+80kNm解解解解: : : :（1 1）首先计算支反力）首先计算支反力）首先计算支反力）首先计算支反力, , 并作出并作出并作出并

49、作出 梁的剪力图和弯矩图梁的剪力图和弯矩图梁的剪力图和弯矩图梁的剪力图和弯矩图 M Mmax max = = MMC C = 80 kNm= 80 kNm F FSmax Smax = =F FC C左左左左 = 200 kN= 200 kN250KN1.6m2mABC(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)12015152709za ab b（2 2）横截面）横截面）横截面）横截面 C C上上上上a a 点的应力为点的应力为点的应力为点的应力为 a a点的单元体

50、如图所示点的单元体如图所示点的单元体如图所示点的单元体如图所示a x x x x xyxy yxyx(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 由由由由 x x , , xyxy 定出定出定出定出D D 点点点点由由由由 y y , , yxyx 定出定出定出定出DD点点点点 以以以以DDDD为直径作应力圆为直径作应力圆为直径作应力圆为直径作应力圆O O C（3 3）作应力圆）作应力圆）作应力圆）作应力圆 x x = =122.5MPa122.5MPa, , xyx

51、y = =64.6MPa64.6MPa y y= =0, 0, xyxy =-=-64.6MPa64.6MPaAB(122.5 , 64.6)D(0 , - 64.6)DDA1 1 1 3 3A2 A A1 1, ,A A2 2 两点的横坐标分别代两点的横坐标分别代两点的横坐标分别代两点的横坐标分别代表表表表 a a 点的两个主应力点的两个主应力点的两个主应力点的两个主应力 1 1 和和和和 3 3 A A1 1 点对应于单元体上点对应于单元体上点对应于单元体上点对应于单元体上 1 1所所所所在的主平面在的主平面在的主平面在的主平面(Analysis of stress-state and s

52、train-state)(Analysis of stress-state and strain-state) a x x x x xyxy yxyx 0 0 1 1 3 312015152709za ab b（4 4）横截面）横截面）横截面）横截面 C C上上上上b b点的应力点的应力点的应力点的应力 b b点的单元体如图所示点的单元体如图所示点的单元体如图所示点的单元体如图所示b x x x x(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) b b 点的三个主应力为

53、点的三个主应力为点的三个主应力为点的三个主应力为 1 1所在的主平面就是所在的主平面就是所在的主平面就是所在的主平面就是 x x 平面平面平面平面, , 即梁即梁即梁即梁的横截面的横截面的横截面的横截面C Cb x x x x(136.5 , 0)D(0 , 0)DD 1 1(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 已知已知已知已知受力物体内某一点处三个主受力物体内某一点处三个主受力物体内某一点处三个主受力物体内某一点处三个主应力应力应力应力 1 1, , 2 2

54、, , 3 3 利用应力圆确定该点的最大正应利用应力圆确定该点的最大正应利用应力圆确定该点的最大正应利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力力和最大切应力力和最大切应力力和最大切应力. . . .一、一、一、一、 空间应力状态下的最大正应力和最大切应力空间应力状态下的最大正应力和最大切应力空间应力状态下的最大正应力和最大切应力空间应力状态下的最大正应力和最大切应力7-4 三向应力状态分析三向应力状态分析 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and

55、 strain-state) 1 3 首先研究与其中一个主平首先研究与其中一个主平首先研究与其中一个主平首先研究与其中一个主平面面面面 （例如主应力（例如主应力（例如主应力（例如主应力 3 3 所在的平所在的平所在的平所在的平面）垂直的斜截面上的应力面）垂直的斜截面上的应力面）垂直的斜截面上的应力面）垂直的斜截面上的应力 1 2 2 用截面法用截面法用截面法用截面法, ,沿求应力的沿求应力的沿求应力的沿求应力的截面将单元体截为两部分截面将单元体截为两部分截面将单元体截为两部分截面将单元体截为两部分, ,取左下部分为研究对象取左下部分为研究对象取左下部分为研究对象取左下部分为研究对象 2 1(A

56、nalysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 主应力主应力主应力主应力 3 3 所在的两平面上是一所在的两平面上是一所在的两平面上是一所在的两平面上是一对自相平衡的力对自相平衡的力对自相平衡的力对自相平衡的力, ,因而该斜面上的应因而该斜面上的应因而该斜面上的应因而该斜面上的应力力力力 , , 与与与与 3 3 无关无关无关无关, , 只由主应力只由主应力只由主应力只由主应力 1 1 , , 2 2 决定决定决定决定 与与与与 3 3 垂直的斜截面上的应力可垂直的斜截面上

57、的应力可垂直的斜截面上的应力可垂直的斜截面上的应力可由由由由 1 1 , , 2 2 作出的应力圆上的点来表作出的应力圆上的点来表作出的应力圆上的点来表作出的应力圆上的点来表示示示示 1 2 3 3 2 1(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 该应力圆上的点对应于该应力圆上的点对应于该应力圆上的点对应于该应力圆上的点对应于与与与与 3 3 垂直的所有斜截面上垂直的所有斜截面上垂直的所有斜截面上垂直的所有斜截面上的应力的应力的应力的应力 A 1 O 2B 与主应

58、力与主应力与主应力与主应力 2 2 所在主平所在主平所在主平所在主平面垂直的斜截面上的应力面垂直的斜截面上的应力面垂直的斜截面上的应力面垂直的斜截面上的应力 , , 可用由可用由可用由可用由 1 1 , , 3 3作出的应力圆作出的应力圆作出的应力圆作出的应力圆上的点来表示上的点来表示上的点来表示上的点来表示C 3 与主应力与主应力与主应力与主应力 所在主平所在主平所在主平所在主平面垂直的斜截面上的应力面垂直的斜截面上的应力面垂直的斜截面上的应力面垂直的斜截面上的应力 , , 可用由可用由可用由可用由 2 2 , , 3 3作出的应作出的应作出的应作出的应力圆上的点来表示力圆上的点来表示力圆上

59、的点来表示力圆上的点来表示(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 该截面上应力该截面上应力该截面上应力该截面上应力 和和和和 对应的对应的对应的对应的D D点必位于上述三个应力圆所点必位于上述三个应力圆所点必位于上述三个应力圆所点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内围成的阴影内围成的阴影内围成的阴影内 abc abc 截面表示与三个主平截面表示与三个主平截面表示与三个主平截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面面斜交的任意斜截面面斜交的任意斜截面面斜交的任意斜截面a

60、ab bc c 1 2 1 2 3(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) A 1 O 2BC 3结论结论结论结论 三个应力圆圆周上的三个应力圆圆周上的三个应力圆圆周上的三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部点及由它们围成的阴影部点及由它们围成的阴影部点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空分上的点的坐标代表了空分上的点的坐标代表了空分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上间应力状态下所有截面上间应力状态下所有截面上间应力状态下所有截面上的应力的应力的应

61、力的应力 该点处的最大正应力该点处的最大正应力该点处的最大正应力该点处的最大正应力（指代数值）应等于最大（指代数值）应等于最大（指代数值）应等于最大（指代数值）应等于最大应力圆上应力圆上应力圆上应力圆上A A点的横坐标点的横坐标点的横坐标点的横坐标 1 1(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) A 1 O 2BC 3 最大切应力则等于最最大切应力则等于最最大切应力则等于最最大切应力则等于最大的应力圆的半径大的应力圆的半径大的应力圆的半径大的应力圆的半径 最大切应

62、力所在的最大切应力所在的最大切应力所在的最大切应力所在的截面与截面与截面与截面与 2 2 所在的主平面所在的主平面所在的主平面所在的主平面垂直垂直垂直垂直, ,并与并与并与并与 1 1和和和和 3 3所在的所在的所在的所在的主平面成主平面成主平面成主平面成4545角角角角. .(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)例题例题例题例题9 9 单元体的应力如图所示单元体的应力如图所示单元体的应力如图所示单元体的应力如图所示, ,作应力圆作应力圆作应力圆作应力圆, ,

63、并求出主应力和最大并求出主应力和最大并求出主应力和最大并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位切应力值及其作用面方位切应力值及其作用面方位切应力值及其作用面方位. .解解解解: : 该单元体有一个已知主应力该单元体有一个已知主应力该单元体有一个已知主应力该单元体有一个已知主应力 因此与该主平面正交的各截因此与该主平面正交的各截因此与该主平面正交的各截因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力面上的应力与主应力面上的应力与主应力面上的应力与主应力 z z 无关无关无关无关, , 依据依据依据依据 x x截面和截面和截面和截面和y y 截面上的应力画出应力截面上的应力画出应力截面上的应力画出应力截

64、面上的应力画出应力圆圆圆圆. . 求另外两个求另外两个求另外两个求另外两个主应力主应力主应力主应力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 由由由由 x x , , xyxy 定出定出定出定出 D D 点点点点由由由由 y y , , yxyx 定出定出定出定出 DD 点点点点 以以以以 DDDD为直径作应力圆为直径作应力圆为直径作应力圆为直径作应力圆 A A1 1, ,A A2 2 两点的横坐标分别代两点的横坐标分别

65、代两点的横坐标分别代两点的横坐标分别代表另外两个主应力表另外两个主应力表另外两个主应力表另外两个主应力 1 1 和和和和 3 3 A1A2DD O D DC 1 3 1 1 = =46MPa46MPa 3 3 = =-26MPa-26MPa 该单元体的三个主应力该单元体的三个主应力该单元体的三个主应力该单元体的三个主应力 1 1 = =46MPa46MPa 2 2 = =20MPa20MPa 3 3 = =-26MPa-26MPa 根据上述主应力，作出三个应根据上述主应力，作出三个应根据上述主应力，作出三个应根据上述主应力，作出三个应力圆力圆力圆力圆(Analysis of stress-st

66、ate and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 7-5 平面应变状态分析平面应变状态分析(Analysis of plane strain-state) 平面应力状态下，已知一点的应变分量平面应力状态下，已知一点的应变分量平面应力状态下，已知一点的应变分量平面应力状态下，已知一点的应变分量 x x , , y y , , x xy y ，欲求，欲求，欲求，欲求 方方方方向上的线应变向上的线应变向上的线应变向上的线应变 和切应变和切应变和切应变和切应变 , , , ,可根据弹性小变形的几何条件可根据弹性小变形的几何

67、条件可根据弹性小变形的几何条件可根据弹性小变形的几何条件, , , ,分别分别分别分别找出微单元体（长方形）由于已知应变分量找出微单元体（长方形）由于已知应变分量找出微单元体（长方形）由于已知应变分量找出微单元体（长方形）由于已知应变分量 x x , , y y , , xyxy在此方向在此方向在此方向在此方向上引起的线应变及切应变上引起的线应变及切应变上引起的线应变及切应变上引起的线应变及切应变, , , ,再利用叠加原理再利用叠加原理再利用叠加原理再利用叠加原理. . . . 一、任意方向的应变一、任意方向的应变一、任意方向的应变一、任意方向的应变( ( ( (The strain of

68、any direction)The strain of any direction) 在所研究的在所研究的在所研究的在所研究的O O点处点处点处点处, , O Oxy xy 坐标系内的坐标系内的坐标系内的坐标系内的线应变线应变线应变线应变 x x , , y y , , xyxy 为已知为已知为已知为已知. .求该点沿任意方求该点沿任意方求该点沿任意方求该点沿任意方向的线应变向的线应变向的线应变向的线应变 . .yx xO(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)

69、将将将将O Oxyxy 坐标绕坐标绕坐标绕坐标绕O O点旋转一个点旋转一个点旋转一个点旋转一个 角，得到一个新角，得到一个新角，得到一个新角，得到一个新 OxOx y y坐标系坐标系坐标系坐标系. .xyO yx并规定并规定并规定并规定 角以逆时针转动时为角以逆时针转动时为角以逆时针转动时为角以逆时针转动时为正值，反之为负值正值，反之为负值正值，反之为负值正值，反之为负值. . 为为为为 O O 点沿点沿点沿点沿 xx方向的线变方向的线变方向的线变方向的线变 为为为为直角直角直角直角 x x OyOy 的改变量的改变量的改变量的改变量, ,即切应变即切应变即切应变即切应变. . 假设假设假设假

70、设: :（1 1）O O点处沿任意方向的微点处沿任意方向的微点处沿任意方向的微点处沿任意方向的微段内段内段内段内, , 应变是均匀的应变是均匀的应变是均匀的应变是均匀的; ;（2 2）变形在线弹性范围内都是微小的）变形在线弹性范围内都是微小的）变形在线弹性范围内都是微小的）变形在线弹性范围内都是微小的, , 叠加原理成立叠加原理成立叠加原理成立叠加原理成立. . 分别计算分别计算分别计算分别计算 x x , , y y , , xyxy单独存在时的线应变单独存在时的线应变单独存在时的线应变单独存在时的线应变 和切应变和切应变和切应变和切应变 , ,然然然然后叠加得这些应变分量同时存在时的后叠加

71、得这些应变分量同时存在时的后叠加得这些应变分量同时存在时的后叠加得这些应变分量同时存在时的 和和和和 . .(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)1.1.1.1.推导线应变推导线应变推导线应变推导线应变 (Derive the (Derive the linear strain)linear strain) 从从从从O O点沿点沿点沿点沿 x x 方向取出一微段方向取出一微段方向取出一微段方向取出一微段 OPOP = = d dx x , , 并以它作为矩形并以

72、它作为矩形并以它作为矩形并以它作为矩形 OAPBOAPB 的对角线的对角线的对角线的对角线. . 该矩形的两边长分别为该矩形的两边长分别为该矩形的两边长分别为该矩形的两边长分别为 d dx x 和和和和 d dy yxyO yxP PABdxdydx(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)（1 1）只有正值）只有正值）只有正值）只有正值 x x 存在存在存在存在ABdxdyxyOyxP P 假设假设假设假设OBOB边不动边不动边不动边不动, ,矩形矩形矩形矩形OA

73、PBOAPB 变形后成为变形后成为变形后成为变形后成为OAOA P P B B x xd dx x D的伸长量的伸长量的伸长量的伸长量为为为为 O O点沿点沿点沿点沿 x x 方向的线应变方向的线应变方向的线应变方向的线应变 1 1 为为为为 AP(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)（2 2）只有正值）只有正值）只有正值）只有正值 y y存在存在存在存在ABdxdyxyOyxP P 假设假设假设假设 OAOA 边不动边不动边不动边不动 矩形矩形矩形矩形 OAP

74、BOAPB 变形后为变形后为变形后为变形后为 OAPOAP B B 的伸长量为的伸长量为的伸长量为的伸长量为 D O O点沿点沿点沿点沿 x x 方向的线应变方向的线应变方向的线应变方向的线应变 2 2 为为为为 y yd dy yPB (Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)（3 3）只有正值切应变）只有正值切应变）只有正值切应变）只有正值切应变 xyxy存在存在存在存在ABdxdyxyOyxP P 使直角减小的使直角减小的使直角减小的使直角减小的 为正为正为正

75、为正 假设假设假设假设 OAOA 边不动边不动边不动边不动 矩形矩形矩形矩形 OAPBOAPB 变形后为变形后为变形后为变形后为 OAPOAPB B P PB B xyxyd dy y xyxy 的伸长为的伸长为的伸长为的伸长为 D D O O 点沿点沿点沿点沿 xx方向的线应变为方向的线应变为方向的线应变为方向的线应变为(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 根据叠加原理根据叠加原理根据叠加原理根据叠加原理, , x x , , y y 和和和和 xyxy 同

76、时存在时同时存在时同时存在时同时存在时, ,O O点沿点沿点沿点沿 x x 方向的线应方向的线应方向的线应方向的线应变为变为变为变为2.2.2.2.切应变切应变切应变切应变 （Shearing stressShearing stress） 以上两式利用三角函数化简得到以上两式利用三角函数化简得到以上两式利用三角函数化简得到以上两式利用三角函数化简得到(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)二、主应变数值及其方位二、主应变数值及其方位二、主应变数值及其方位二、主应变

77、数值及其方位 (The principal strains and its (The principal strains and its direction) direction) (Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)一、各向同性材料的广义胡克定律一、各向同性材料的广义胡克定律一、各向同性材料的广义胡克定律一、各向同性材料的广义胡克定律 （1 1） 正应力正应力正应力正应力: :拉应力为正拉应力为正拉应力为正拉应力为正, , 压应力为负压应力为负压应力为负压应

78、力为负; ;1.1.1.1.符号规定符号规定符号规定符号规定 （2 2） 切应力切应力切应力切应力: :对单元体内任一点取矩对单元体内任一点取矩对单元体内任一点取矩对单元体内任一点取矩, ,若产生的矩为顺时针若产生的矩为顺时针若产生的矩为顺时针若产生的矩为顺时针, ,则则则则 为正为正为正为正; ;反之为负反之为负反之为负反之为负; ; （3 3） 线应变线应变线应变线应变: :以伸长为正以伸长为正以伸长为正以伸长为正, , 缩短为负缩短为负缩短为负缩短为负; ; （4 4） 切应变切应变切应变切应变: :使直角减者为正使直角减者为正使直角减者为正使直角减者为正, , 增大增大增大增大者为负者

79、为负者为负者为负. .x x x 7-6 广义胡广义胡克定律克定律yz y y xyxy yxyx z(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) y y y y x x 方向的线应变方向的线应变方向的线应变方向的线应变 用叠加原理用叠加原理用叠加原理用叠加原理, ,分别计算出分别计算出分别计算出分别计算出 x x, , y y, , z z 分别单独存在时分别单独存在时分别单独存在时分别单独存在时, , x, x,y y, ,z z方向方向方向方向的线应变的线应变的

80、线应变的线应变 x x , , y y, , z z, , , ,然后代数相加然后代数相加然后代数相加然后代数相加. . . .2.2.2.2.各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律单独存在时单独存在时单独存在时单独存在时单独存在时单独存在时单独存在时单独存在时 单独存在时单独存在时单独存在时单独存在时xy yz z z z x x x x(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 在在在在 x x

81、, , y y , , z z同时存在时同时存在时同时存在时同时存在时, , x x 方向的线应变方向的线应变方向的线应变方向的线应变 x x为为为为 同理同理同理同理, ,在在在在 x x , , y y , , z z同时存在时同时存在时同时存在时同时存在时, , y , zy , z 方向的线应变为方向的线应变为方向的线应变为方向的线应变为 在在在在 xyxy, ,yzyz, ,zx zx 三个面内的切应变为三个面内的切应变为三个面内的切应变为三个面内的切应变为(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-s

82、tate and strain-state)上式称为上式称为上式称为上式称为广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律 沿沿沿沿x,y,zx,y,z轴的线应变轴的线应变轴的线应变轴的线应变 在在在在xy,yz,zxxy,yz,zx面上的角应变面上的角应变面上的角应变面上的角应变(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 对于对于对于对于平面应力状态平面应力状态平面应力状态平面应力状态 （假设假设假设假设 z z = 0,= 0,= 0,= 0, xzxz= 0

83、,= 0,= 0,= 0, yzyz= 0= 0= 0= 0）xyz xy x y yx x y xy yx(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)3.3.3.3.主应力主应力主应力主应力- - - -主应变的关系主应变的关系主应变的关系主应变的关系 二向应力状态下二向应力状态下二向应力状态下二向应力状态下 设设设设 3 3 = 0= 0 已知已知已知已知 1 1 1 1, , , , 2 2 2 2, , , , 3 3 3 3; ; 1 1 1 1, , 2

84、2 2 2, , 3 3 3 3为主应变为主应变为主应变为主应变(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)二、各向同性材料的体积应变二、各向同性材料的体积应变二、各向同性材料的体积应变二、各向同性材料的体积应变 1 2 3dxdxdydydzdz 构件每单位体积的体积变化构件每单位体积的体积变化构件每单位体积的体积变化构件每单位体积的体积变化, , 称为体积应变用称为体积应变用称为体积应变用称为体积应变用q q q q表示表示表示表示. . 各向同性材料在三向应力状

85、态下的体应变各向同性材料在三向应力状态下的体应变各向同性材料在三向应力状态下的体应变各向同性材料在三向应力状态下的体应变 如图所示的单元体如图所示的单元体如图所示的单元体如图所示的单元体, ,三个边长为三个边长为三个边长为三个边长为 d dx x , d, dy y , d, dz z 变形后的边长分别为变形后的边长分别为变形后的边长分别为变形后的边长分别为 变形后单元体的体积为变形后单元体的体积为变形后单元体的体积为变形后单元体的体积为d dx x(1+(1+ , ,d dy y(1+(1+ 2 2 , ,d dz z(1+(1+ 3 3 V V1 1= =d dx x(1+(1+ d dy

86、 y(1+(1+ 2 2 d dz z(1+(1+ 3 3 (Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 体积应变体积应变体积应变体积应变 为为为为(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)1.1.1.1.纯剪切应力状态下的体积应变纯剪切应力状态下的体积应变纯剪切应力状态下的体积应变纯剪切应力状态下的体积应变 即在小变形下即在小变形下即在小

87、变形下即在小变形下, ,切应力不引起各向同性材料的体积改变切应力不引起各向同性材料的体积改变切应力不引起各向同性材料的体积改变切应力不引起各向同性材料的体积改变. .2.2.2.2.三向等值应力单元体的体积应变三向等值应力单元体的体积应变三向等值应力单元体的体积应变三向等值应力单元体的体积应变 三个主应力为三个主应力为三个主应力为三个主应力为 单元体的体积应变单元体的体积应变单元体的体积应变单元体的体积应变 m m m(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 这两

88、个单元体的体积应变相同这两个单元体的体积应变相同这两个单元体的体积应变相同这两个单元体的体积应变相同 m m m 1 2 3dxdydz 单元体的三个主应变为单元体的三个主应变为单元体的三个主应变为单元体的三个主应变为(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 如果变形前单元体的三个棱边成某种比例如果变形前单元体的三个棱边成某种比例如果变形前单元体的三个棱边成某种比例如果变形前单元体的三个棱边成某种比例, ,由于三个棱边应变由于三个棱边应变由于三个棱边应变由于三个棱

89、边应变相同相同相同相同, ,则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例. . 所以在三向等所以在三向等所以在三向等所以在三向等值应力值应力值应力值应力 mm的作用下的作用下的作用下的作用下, ,单元体变形后的单元体变形后的单元体变形后的单元体变形后的形状和形状和形状和形状和变形前变形前变形前变形前的的的的相相相相似似似似, ,称这样称这样称这样称这样的的的的单元体单元体单元体单元体是形状不变的是形状不变的是形状不变的是形状不变的. . 在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线

90、应在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变变变变 x x , , y y , , z z 有关有关有关有关, ,仿照上述推导有仿照上述推导有仿照上述推导有仿照上述推导有 在任意形式的应力状态下在任意形式的应力状态下在任意形式的应力状态下在任意形式的应力状态下, , 各向同性材料内一点处的体积应各向同性材料内一点处的体积应各向同性材料内一点处的体积应各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之

91、和成正比变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比, , 而与切应力无关而与切应力无关而与切应力无关而与切应力无关. .(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)例题例题例题例题1 10 0 边长边长边长边长 a a = 0.1m = 0.1m 的铜立方块的铜立方块的铜立方块的铜立方块, ,无间隙地放入体积较大无间隙地放入体积较大无间隙地放入体积较大无间隙地放入体积较大, ,变形变形变形变形可略去

92、不计的钢凹槽中可略去不计的钢凹槽中可略去不计的钢凹槽中可略去不计的钢凹槽中, ,如图所示如图所示如图所示如图所示. . 已知铜的弹性模量已知铜的弹性模量已知铜的弹性模量已知铜的弹性模量E E=100GP=100GPa, a,泊松比泊松比泊松比泊松比 =0.34,=0.34,当受到当受到当受到当受到F F=300=300kNkN的均布压力作用时的均布压力作用时的均布压力作用时的均布压力作用时, ,求该铜块的主应求该铜块的主应求该铜块的主应求该铜块的主应力力力力, ,体积应变以及最大切应力体积应变以及最大切应力体积应变以及最大切应力体积应变以及最大切应力. .解解解解: :铜块横截面上的压应力铜块

93、横截面上的压应力铜块横截面上的压应力铜块横截面上的压应力aaaFzyx z x y 铜块受力如图所示铜块受力如图所示铜块受力如图所示铜块受力如图所示 变形条件为变形条件为变形条件为变形条件为(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 解得解得解得解得 铜块的主应力为铜块的主应力为铜块的主应力为铜块的主应力为 最大切应力最大切应力最大切应力最大切应力 体积应变为体积应变为体积应变为体积应变为(Analysis of stress-state and strain-st

94、ate)(Analysis of stress-state and strain-state)例题例题例题例题11 11 一直径一直径一直径一直径 d d =20mm=20mm的实心圆轴的实心圆轴的实心圆轴的实心圆轴, ,在轴的的两端加扭矩在轴的的两端加扭矩在轴的的两端加扭矩在轴的的两端加扭矩MMe e=126N=126Nm. m. 在轴的表面上某一点在轴的表面上某一点在轴的表面上某一点在轴的表面上某一点A A处用变形仪测出与轴线成处用变形仪测出与轴线成处用变形仪测出与轴线成处用变形仪测出与轴线成-45-45方向的应变方向的应变方向的应变方向的应变 =5.0 =5.0 1010-4 -4 ,

95、,试求此圆轴材料的剪切弹性模量试求此圆轴材料的剪切弹性模量试求此圆轴材料的剪切弹性模量试求此圆轴材料的剪切弹性模量G G. .MeMeA45x(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)解解解解: :围绕围绕围绕围绕A A点取一单元体点取一单元体点取一单元体点取一单元体A A 1 3 -45-45A A(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-stat

96、e)bhzb=50mmh=100mm例题例题例题例题13 13 已知矩形外伸梁受力已知矩形外伸梁受力已知矩形外伸梁受力已知矩形外伸梁受力F F1 1, ,F F2 2作用作用作用作用. . 弹性模量弹性模量弹性模量弹性模量E E=200GPa,=200GPa,泊泊泊泊松比松比松比松比 = 0.3, = 0.3, F F1 1=100KN,=100KN,F F2 2=100KN.=100KN. 求求求求: :（1 1）A A点处的主应变点处的主应变点处的主应变点处的主应变 1 1, , 2 2 , , 3 3（2 2）A A点处的线应变点处的线应变点处的线应变点处的线应变 x x , , y y

97、 , , z zaAF1F2F2l(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)解解解解: : 梁为拉伸与弯曲的组合变形梁为拉伸与弯曲的组合变形梁为拉伸与弯曲的组合变形梁为拉伸与弯曲的组合变形. . A A点有拉伸引起的正应力和弯曲点有拉伸引起的正应力和弯曲点有拉伸引起的正应力和弯曲点有拉伸引起的正应力和弯曲引起的切应力引起的切应力引起的切应力引起的切应力. .（拉伸）（拉伸）（拉伸）（拉伸） （负）（负）（负）（负）A x = 20 x x = 30= 30 （1 1

98、）A A点处的主应变点处的主应变点处的主应变点处的主应变 1 1， 2 2 ， 3 3(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) （2 2）A A点处的线应变点处的线应变点处的线应变点处的线应变 x x , , y y , , z z(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 7-7 复杂应力状态的应变能密度复杂应力状态的应变能密度一、应

99、变能密度的定义一、应变能密度的定义一、应变能密度的定义一、应变能密度的定义二、应变能密度的计算公式二、应变能密度的计算公式二、应变能密度的计算公式二、应变能密度的计算公式 1.1.1.1.单向应力状态下单向应力状态下单向应力状态下单向应力状态下, , , ,物体内所积蓄的应变能密度为物体内所积蓄的应变能密度为物体内所积蓄的应变能密度为物体内所积蓄的应变能密度为 物体在单位体积内所积蓄的应变能物体在单位体积内所积蓄的应变能物体在单位体积内所积蓄的应变能物体在单位体积内所积蓄的应变能. .(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of

100、 stress-state and strain-state) 将广义胡克定律代入上式将广义胡克定律代入上式将广义胡克定律代入上式将广义胡克定律代入上式, , 经整理得经整理得经整理得经整理得 用用用用v vd d d d 表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度, , , ,称为称为称为称为畸变能密度畸变能密度畸变能密度畸变能密度 用用用用v vV V 表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度表示单元体体积改变相应的那部分应变

101、能密度表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度, ,称为称为称为称为体积体积体积体积改变能密度改变能密度改变能密度改变能密度2.2.2.2.三个主应力同时存在时三个主应力同时存在时三个主应力同时存在时三个主应力同时存在时, , , ,单元体的应变能密度为单元体的应变能密度为单元体的应变能密度为单元体的应变能密度为应变能密度应变能密度应变能密度应变能密度v v 等于两部分之和等于两部分之和等于两部分之和等于两部分之和(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)(a) 1

102、 2 3(b) m m m=( 1+ 2+ 3)/3代之以代之以代之以代之以 mm 图（图（图（图（a a）所示单元体的三个主应力不相等）所示单元体的三个主应力不相等）所示单元体的三个主应力不相等）所示单元体的三个主应力不相等, ,因而因而因而因而, ,变形后既发生变形后既发生变形后既发生变形后既发生体积改变也发生形状改变体积改变也发生形状改变体积改变也发生形状改变体积改变也发生形状改变. . 图（图（图（图（b b）所示单元体的三个主应力相等）所示单元体的三个主应力相等）所示单元体的三个主应力相等）所示单元体的三个主应力相等, ,因而因而因而因而, ,变形后的形状与变形后的形状与变形后的形状

103、与变形后的形状与原来的形状相似原来的形状相似原来的形状相似原来的形状相似, ,即只发生体积改变而无形状改变即只发生体积改变而无形状改变即只发生体积改变而无形状改变即只发生体积改变而无形状改变. .(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)图图图图 b b 所示单元体的体积改变比能密度所示单元体的体积改变比能密度所示单元体的体积改变比能密度所示单元体的体积改变比能密度(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysi

104、s of stress-state and strain-state)a a单元体的比能为单元体的比能为单元体的比能为单元体的比能为a a所示单元体的体积改变比能所示单元体的体积改变比能所示单元体的体积改变比能所示单元体的体积改变比能 空间应力状态下单元体的空间应力状态下单元体的空间应力状态下单元体的空间应力状态下单元体的 畸变能密度畸变能密度畸变能密度畸变能密度(a) 1 2 3(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)一、一、一、一、强度理论的概念强度理论的概念

105、强度理论的概念强度理论的概念1.1.1.1.引言引言引言引言7-8 强度理论强度理论轴向拉压轴向拉压轴向拉压轴向拉压弯曲弯曲弯曲弯曲剪切剪切剪切剪切扭转扭转扭转扭转弯曲弯曲弯曲弯曲 切应力强度条件切应力强度条件切应力强度条件切应力强度条件 正应力强度条件正应力强度条件正应力强度条件正应力强度条件 (Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) （2 2）材料的许用应力）材料的许用应力）材料的许用应力）材料的许用应力, ,是通过拉（压）试验或纯是通过拉（压）试验或纯是通过

106、拉（压）试验或纯是通过拉（压）试验或纯剪剪剪剪试验测定试验测定试验测定试验测定试试试试件在破坏时其横截面上的极限应力件在破坏时其横截面上的极限应力件在破坏时其横截面上的极限应力件在破坏时其横截面上的极限应力, ,以此极限应力作为强度指标以此极限应力作为强度指标以此极限应力作为强度指标以此极限应力作为强度指标, ,除以适当的安全因数而得除以适当的安全因数而得除以适当的安全因数而得除以适当的安全因数而得, ,即根据相应的即根据相应的即根据相应的即根据相应的试验结果建立的强度条件试验结果建立的强度条件试验结果建立的强度条件试验结果建立的强度条件. . 上述强度条件具有如下特点上述强度条件具有如下特点

107、上述强度条件具有如下特点上述强度条件具有如下特点（1 1）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态; ;2.2.2.2.强度理论的概念强度理论的概念强度理论的概念强度理论的概念 是关于是关于是关于是关于“构件发生强度失效起因构件发生强度失效起因构件发生强度失效起因构件发生强度失效起因”的假说的假说的假说的假说. .(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-sta

108、te) 基本观点基本观点基本观点基本观点 构件受外力作用而发生破坏时构件受外力作用而发生破坏时构件受外力作用而发生破坏时构件受外力作用而发生破坏时, ,不论破坏的表面现象如何复杂不论破坏的表面现象如何复杂不论破坏的表面现象如何复杂不论破坏的表面现象如何复杂, ,其破坏形式总不外乎几种类型其破坏形式总不外乎几种类型其破坏形式总不外乎几种类型其破坏形式总不外乎几种类型, ,而同一类型的破坏则可能是某一个而同一类型的破坏则可能是某一个而同一类型的破坏则可能是某一个而同一类型的破坏则可能是某一个共同因素所引起的共同因素所引起的共同因素所引起的共同因素所引起的. . 根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些

109、现象与形式根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式 , ,进行分进行分进行分进行分析析析析, ,提出破坏原因的假说提出破坏原因的假说提出破坏原因的假说提出破坏原因的假说. .在这些假说的基础上在这些假说的基础上在这些假说的基础上在这些假说的基础上, ,可利用材料在单向可利用材料在单向可利用材料在单向可利用材料在单向应力状态时的应力状态时的应力状态时的应力状态时的试验结果试验结果试验结果试验结果 , , 来建立材料在来建立材料在来建立材料在来建立材料在复杂应力状态下的强度条复杂应力状态下的强度条复杂

110、应力状态下的强度条复杂应力状态下的强度条件件件件. .(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) （1 1）脆性断裂）脆性断裂）脆性断裂）脆性断裂 : :无明显的变形下突然断裂无明显的变形下突然断裂无明显的变形下突然断裂无明显的变形下突然断裂. .二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷）二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷）二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷）二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷）1.1.1.1.屈服失效屈服失效屈服失效屈服失效2. 2. 材料出现显

111、著的塑性变形而丧失其正常的工作能力材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力. .2. 2. 2. 2. 断裂失效断裂失效断裂失效断裂失效 （2 2）韧性断裂）韧性断裂）韧性断裂）韧性断裂 : :产生大量塑性变形后断裂产生大量塑性变形后断裂产生大量塑性变形后断裂产生大量塑性变形后断裂. .(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)引起破坏引起破坏引起破坏引起破坏的某一共同的某一

112、共同的某一共同的某一共同因素因素因素因素形状改变形状改变形状改变形状改变比能比能比能比能最大切应力最大切应力最大切应力最大切应力最大线应变最大线应变最大线应变最大线应变最大正应力最大正应力最大正应力最大正应力(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 根据根据根据根据: :当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最

113、大拉应力所在截面发生脆断破坏沿最大拉应力所在截面发生脆断破坏沿最大拉应力所在截面发生脆断破坏沿最大拉应力所在截面发生脆断破坏. . 1. 1. 1. 1. 最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论） 基本假说基本假说基本假说基本假说: :最大拉应力最大拉应力最大拉应力最大拉应力 1 1 是引起材料脆断破坏的因素是引起材料脆断破坏的因素是引起材料脆断破坏的因素是引起材料脆断破坏的因素. . 脆断破坏的条件脆断破坏的条件脆断破坏的条件脆断破坏的条件: : 1 1 = = b b三、四个强度理论三、四个强度理论三、四个强度

114、理论三、四个强度理论 强度条件强度条件强度条件强度条件: : 1 1 (Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)2 2. . . .最大伸长线应变理论（第二强度理论）最大伸长线应变理论（第二强度理论）最大伸长线应变理论（第二强度理论）最大伸长线应变理论（第二强度理论） 根据根据根据根据: :当作用在构件上的外力过大时当作用在构件上的外力过大时当作用在构件上的外力过大时当作用在构件上的外力过大时, ,其危险点处的材料就会其危险点处的材料就会其危险点处的材料就会其危险点

115、处的材料就会沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生破坏沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生破坏沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生破坏沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生破坏. . 基本假说基本假说基本假说基本假说: :最大伸长线应变最大伸长线应变最大伸长线应变最大伸长线应变 1 1 是引起材料脆断破坏的因素是引起材料脆断破坏的因素是引起材料脆断破坏的因素是引起材料脆断破坏的因素. . 脆断破坏的条件脆断破坏的条件脆断破坏的条件脆断破坏的条件: : 最大伸长线应变最大伸长线应变最大伸长线应变最大伸长线应变: : 强度条件强度条件强度条件强度条件: :(Analysis of stress-sta

116、te and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 3. 3. 3. 3.最大切应力理论最大切应力理论最大切应力理论最大切应力理论 （第三强度理论）（第三强度理论）（第三强度理论）（第三强度理论） 基本假说基本假说基本假说基本假说: : 最大切应力最大切应力最大切应力最大切应力 max max 是引起材料屈服的因素是引起材料屈服的因素是引起材料屈服的因素是引起材料屈服的因素. . 根据根据根据根据: :当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会当作用在构件上的外力过

117、大时，其危险点处的材料就会当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效沿最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效沿最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效沿最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效. . 屈服条件屈服条件屈服条件屈服条件 在复杂应力状态下一点处的最大切应力为在复杂应力状态下一点处的最大切应力为在复杂应力状态下一点处的最大切应力为在复杂应力状态下一点处的最大切应力为 强度条件强度条件强度条件强度条件(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and stra

118、in-state)4.4.4.4.畸变能密度理论（第四强度理论）畸变能密度理论（第四强度理论）畸变能密度理论（第四强度理论）畸变能密度理论（第四强度理论） 基本假说基本假说基本假说基本假说: :畸变能密度畸变能密度畸变能密度畸变能密度v vd d是引起材料屈服的因素是引起材料屈服的因素是引起材料屈服的因素是引起材料屈服的因素. . 单向拉伸下单向拉伸下单向拉伸下单向拉伸下, , 1 1= = s s, , 2 2= = 3 3= =0 0, ,材料的极限值材料的极限值材料的极限值材料的极限值 强度条件强度条件强度条件强度条件: : 屈服准则屈服准则屈服准则屈服准则: :(Analysis of

119、 stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)四、相当应力四、相当应力四、相当应力四、相当应力 把各种强度理论的强度条件写成统一形式把各种强度理论的强度条件写成统一形式把各种强度理论的强度条件写成统一形式把各种强度理论的强度条件写成统一形式 r r 称为复杂应力状态的称为复杂应力状态的称为复杂应力状态的称为复杂应力状态的相当应力相当应力相当应力相当应力. .(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state

120、and strain-state) 莫尔认为莫尔认为莫尔认为莫尔认为: : : :最大切应力是使最大切应力是使最大切应力是使最大切应力是使物体破坏的主要因素物体破坏的主要因素物体破坏的主要因素物体破坏的主要因素, , , ,但滑移面但滑移面但滑移面但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔上的摩擦力也不可忽略（莫尔上的摩擦力也不可忽略（莫尔上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律）摩擦定律）摩擦定律）摩擦定律）. . . .综合最大切应力及综合最大切应力及综合最大切应力及综合最大切应力及最大正应力的因素最大正应力的因素最大正应力的因素最大正应力的因素, , , ,莫尔得出了莫尔得出了莫尔得出了莫尔得出了他自

121、己的强度理论他自己的强度理论他自己的强度理论他自己的强度理论. . . . 7-9 莫尔强度理论莫尔强度理论一、一、一、一、引言引言引言引言(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)二、莫尔强度理论二、莫尔强度理论二、莫尔强度理论二、莫尔强度理论 公式推导公式推导公式推导公式推导MMO2OO1O3FNT TL L c c t t 1 1 MM L L T T 代入代入代入代入强度条件强度条件强度条件强度条件 任意一点的应力圆若与包络线任意一点的应力圆若与包络线任意一

122、点的应力圆若与包络线任意一点的应力圆若与包络线相切相切相切相切, ,则材料即将屈服或剪断则材料即将屈服或剪断则材料即将屈服或剪断则材料即将屈服或剪断. .(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 1. 1. 1. 1.适用范围适用范围适用范围适用范围 （2 2）塑性材料选用第三或第四强度理论）塑性材料选用第三或第四强度理论）塑性材料选用第三或第四强度理论）塑性材料选用第三或第四强度理论; ; （3 3）在二向和三向等拉应力时）在二向和三向等拉应力时）在二向和三向等

123、拉应力时）在二向和三向等拉应力时, ,无论是塑性还是脆性都发生无论是塑性还是脆性都发生无论是塑性还是脆性都发生无论是塑性还是脆性都发生脆性破坏脆性破坏脆性破坏脆性破坏, ,故选用第一或第二强度理论故选用第一或第二强度理论故选用第一或第二强度理论故选用第一或第二强度理论; ;三、三、三、三、 各种各种各种各种强度理论的强度理论的强度理论的强度理论的适用范围适用范围适用范围适用范围及其应用及其应用及其应用及其应用 （1 1）一般脆性材料选用第一或第二强度理论）一般脆性材料选用第一或第二强度理论）一般脆性材料选用第一或第二强度理论）一般脆性材料选用第一或第二强度理论; ; （4 4）在二向和三向等压

124、应力状态时）在二向和三向等压应力状态时）在二向和三向等压应力状态时）在二向和三向等压应力状态时, ,无论是塑性还是脆性材无论是塑性还是脆性材无论是塑性还是脆性材无论是塑性还是脆性材料都发生塑性破坏料都发生塑性破坏料都发生塑性破坏料都发生塑性破坏, ,故选用第三或第四强度理论故选用第三或第四强度理论故选用第三或第四强度理论故选用第三或第四强度理论. .(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)2.2.2.2.强度计算的步骤强度计算的步骤强度计算的步骤强度计算的步骤 （

125、1 1 1 1）外力分析）外力分析）外力分析）外力分析: :确定所需的外力值确定所需的外力值确定所需的外力值确定所需的外力值; ; （2 2 2 2）内力分析）内力分析）内力分析）内力分析: :画内力图画内力图画内力图画内力图, , , ,确定可能的危险截面确定可能的危险截面确定可能的危险截面确定可能的危险截面; ; （3 3 3 3）应力分析）应力分析）应力分析）应力分析: :画危险截面应力分布图画危险截面应力分布图画危险截面应力分布图画危险截面应力分布图, ,确定危险点并画出单确定危险点并画出单确定危险点并画出单确定危险点并画出单元体元体元体元体, ,求主应力求主应力求主应力求主应力; ;

126、 （4 4 4 4）强度分析）强度分析）强度分析）强度分析: :选择适当的强度理论选择适当的强度理论选择适当的强度理论选择适当的强度理论, , , ,计算相当应力计算相当应力计算相当应力计算相当应力, , , ,然后进行然后进行然后进行然后进行强度计算强度计算强度计算强度计算. . . .3.3.3.3.应用举例应用举例应用举例应用举例(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)例例例例题题题题15 15 一蒸汽一蒸汽一蒸汽一蒸汽锅锅锅锅炉承受最大炉承受最大炉承受最大

127、炉承受最大压压压压强强强强为为为为p p, ,圆圆圆圆筒部分的内径筒部分的内径筒部分的内径筒部分的内径为为为为D D, ,厚度厚度厚度厚度为为为为 , ,且且且且 远远远远小于小于小于小于D D. .试试试试用第四用第四用第四用第四强强强强度理度理度理度理论论论论校核校核校核校核圆圆圆圆筒部分内壁的筒部分内壁的筒部分内壁的筒部分内壁的强强强强度度度度. .已已已已知知知知 p p=3.6MPa=3.6MPa,=,=,=,=10mm,10mm,D D=1m,=1m, =160MPa.=160MPa.p p（a）Dyz （b）(Analysis of stress-state and strain

128、-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 内壁的内壁的内壁的内壁的强强强强度校核度校核度校核度校核 所以所以所以所以圆圆圆圆筒内壁的筒内壁的筒内壁的筒内壁的强强强强度合适度合适度合适度合适. . . . 用第四用第四用第四用第四强强强强度理度理度理度理论论论论校核校核校核校核圆圆圆圆筒内壁的筒内壁的筒内壁的筒内壁的强强强强度度度度 (Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)例题例题例题例题16 16 根据强

129、度理论根据强度理论根据强度理论根据强度理论, , 可以从材料在单轴拉伸时的可以从材料在单轴拉伸时的可以从材料在单轴拉伸时的可以从材料在单轴拉伸时的 可推知低可推知低可推知低可推知低碳钢类塑性材料在纯剪切应力状态下的碳钢类塑性材料在纯剪切应力状态下的碳钢类塑性材料在纯剪切应力状态下的碳钢类塑性材料在纯剪切应力状态下的 . .解解解解: :纯剪切应力状态下纯剪切应力状态下纯剪切应力状态下纯剪切应力状态下 1 1 = = , , 2 2 = 0 , = 0 , 3 3 = = 按第三强度理论得强度条件为：按第三强度理论得强度条件为：按第三强度理论得强度条件为：按第三强度理论得强度条件为： 另一方面另

130、一方面另一方面另一方面, ,剪切的强度条件是剪切的强度条件是剪切的强度条件是剪切的强度条件是: :所以所以所以所以 = 0.5 = 0.5 (Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 为材料在单向拉伸时的许用拉应力为材料在单向拉伸时的许用拉应力为材料在单向拉伸时的许用拉应力为材料在单向拉伸时的许用拉应力. . 材料在纯剪切应力状态下的许用切应力为材料在纯剪切应力状态下的许用切应力为材料在纯剪切应力状态下的许用切应力为材料在纯剪切应力状态下的许用切应力为 . . 按第

131、四强度理论得强度条件为：按第四强度理论得强度条件为：按第四强度理论得强度条件为：按第四强度理论得强度条件为： 按第三强度理论得到：按第三强度理论得到：按第三强度理论得到：按第三强度理论得到： 按第四强度理论得到：按第四强度理论得到：按第四强度理论得到：按第四强度理论得到： = 0.5 = 0.5 0.6 0.6 (Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)例题例题例题例题17 17 对于图示各单元体对于图示各单元体对于图示各单元体对于图示各单元体, ,试分别按第三强度

132、理论及第四强度理试分别按第三强度理论及第四强度理试分别按第三强度理论及第四强度理试分别按第三强度理论及第四强度理论求相当应力论求相当应力论求相当应力论求相当应力. . （b） 140 MPa140 MPa 110 MPa110 MPa（c）70 MPa140 MPa80 MPa（d）50MPa70MPa70MPa30MPa30MPa40MPa40MPa120 MPa120 MPa（a）120 MPa120 MPa(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)解解解解：（

133、：（：（：（1 1）单元体（单元体（单元体（单元体（a a） （2 2）单元体（单元体（单元体（单元体（b b）120 MPa120 MPa（a）120 MPa120 MPa 140 MPa140 MPa 110 MPa110 MPa(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)（3 3）单元体（单元体（单元体（单元体（c c）（4 4）单元体（单元体（单元体（单元体（d d）140 MPa80 MPa（c）70 MPa（d）50MPa70MPa70MPa30MPa30

134、MPa40MPa40MPa(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)F解解解解: :危险点危险点危险点危险点A A的应力状态如图的应力状态如图的应力状态如图的应力状态如图例题例题例题例题18 18 直径为直径为直径为直径为d d=0.1m=0.1m的圆杆受力如图的圆杆受力如图的圆杆受力如图的圆杆受力如图, , MMe e=7kN=7kN m, m, F F=50kN, =50kN, 材材材材料为料为料为料为铸铁铸铁铸铁铸铁, , =40MPa, =40MPa, 试试

135、试试用第一强度理论校核用第一强度理论校核用第一强度理论校核用第一强度理论校核杆的杆的杆的杆的强度强度强度强度. .故安全故安全故安全故安全. . . .FMMe eMMe eA AA A (Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)例题例题例题例题19 19 薄壁圆筒受最大内压时薄壁圆筒受最大内压时薄壁圆筒受最大内压时薄壁圆筒受最大内压时, ,测得测得测得测得 x x=1.88=1.88 1010-4-4, , y y=7.37=7.37 1010- -4 4, ,已

136、知钢的已知钢的已知钢的已知钢的E E=210GPa,=210GPa, =170MPa,=170MPa,泊松比泊松比泊松比泊松比 =0.3,=0.3,试用第三强度理试用第三强度理试用第三强度理试用第三强度理论论论论校核校核校核校核其其其其强度强度强度强度. .解解解解: :由广义胡由广义胡由广义胡由广义胡克定律克定律克定律克定律xyAA x x y y(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 所以所以所以所以, ,此容器不满足第三强度理论此容器不满足第三强度理论此容

137、器不满足第三强度理论此容器不满足第三强度理论, ,不安全不安全不安全不安全. . 主应力主应力主应力主应力 相当应力相当应力相当应力相当应力(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)例题例题例题例题20 20 两端简支的工字钢梁承受载荷如图所示两端简支的工字钢梁承受载荷如图所示两端简支的工字钢梁承受载荷如图所示两端简支的工字钢梁承受载荷如图所示. .已知其材料已知其材料已知其材料已知其材料Q235 Q235 钢的许用应力为钢的许用应力为钢的许用应力为钢的许用应力为

138、= 170MPa, = 170MPa, = 100MPa. = 100MPa.试按强度条件选试按强度条件选试按强度条件选试按强度条件选择工字钢的型号择工字钢的型号择工字钢的型号择工字钢的型号. .0.42200kN200kN200kN200kNCDAB0.421.662.50(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)解：作钢梁的内力图解：作钢梁的内力图解：作钢梁的内力图解：作钢梁的内力图. .F FS SC C左左左左 = = F FSmax Smax = 200k

139、N= 200kNMMC C = = MMmax max = 84kNm= 84kNm C C , , D D 为危险截面为危险截面为危险截面为危险截面 （1 1）按正应力强度条件选择）按正应力强度条件选择）按正应力强度条件选择）按正应力强度条件选择截面截面截面截面 取取取取 C C 截面计算截面计算截面计算截面计算0.42200kN200kN200kN200kNCDAB0.421.662.50 选用选用选用选用 28a 28a 工字钢工字钢工字钢工字钢, ,其截面的其截面的其截面的其截面的WWz z=508cm=508cm3 3. .200kN200kNF FS S 图图图图200kN200k

140、N+ +- -+ +M M 图图图图84kN84kN mm(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)（2 2）按切应力强度条件进行校核）按切应力强度条件进行校核）按切应力强度条件进行校核）按切应力强度条件进行校核 对于对于对于对于 28a 28a 工字钢的截面，查表得工字钢的截面，查表得工字钢的截面，查表得工字钢的截面，查表得 最大切应力为最大切应力为最大切应力为最大切应力为 选用选用选用选用 28a 28a 工字典工字典工字典工字典钢能满足切应力的强度要求钢能满足

141、切应力的强度要求钢能满足切应力的强度要求钢能满足切应力的强度要求. .122 13.7126.32808.5 126.3(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) 取取取取 A A 点分析点分析点分析点分析 （3 3） 腹板与翼缘交界处的的强度校核腹板与翼缘交界处的的强度校核腹板与翼缘交界处的的强度校核腹板与翼缘交界处的的强度校核（+ +）122 13.7126.32808.5 126.3A A A A点点点点的应力状态如图所示的应力状态如图所示的应力状态如图所示的

142、应力状态如图所示A A A A A A(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state) A A点的三个主应力为点的三个主应力为点的三个主应力为点的三个主应力为 由于材料是由于材料是由于材料是由于材料是 Q235 Q235 钢钢钢钢, ,所以在平面应力状态下所以在平面应力状态下所以在平面应力状态下所以在平面应力状态下, ,应按第四强度理应按第四强度理应按第四强度理应按第四强度理论来进行强度校核论来进行强度校核论来进行强度校核论来进行强度校核. .应另选较大的工字钢应另选较大的工字钢应另选较大的工字钢应另选较大的工字钢. . 若选用若选用若选用若选用28b28b号工字钢号工字钢号工字钢号工字钢, ,算得算得算得算得 r4 r4 = 173.2MPa,= 173.2MPa,比比比比 大大大大1.88%1.88%可选可选可选可选用用用用28b28b号工字钢号工字钢号工字钢号工字钢.