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1、教学目的：不定积分换元法教学重点：凑微分法教学难点：第二类换元法第二讲 换元法主视图换元法凑微分法第二类换元法一次式的有理根式二次式的二次根式凑微分公式问题解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令换元换元以后再还原求导数验证结果凑微分法证明 证由复合函数求导法则有 可见)(xFj是)()(xxfjj的一个原函数，故公式(1)成立 公式（）说明：当积分不便计算时，可考虑将g(x)化为的形式，那么 =duufxdxfdxxxfdxxg)()()()()()(jjjj(2) 对u积分求出)(uf的原函数)(uF，再以)(xuj=代回即得所求积分，这种方法称为凑微分法 例1 求解（一）解（二）解（三
2、）例题例2 求解一般地例题例3 求解例题例4 求解例题例5 求解例题例6 求解例题例7 求解例题例8 求解例题例9：求解：原式例题例10：求解：原式解：原式=例11:例题例12 求解例题例13 求解说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例题例14 求解例题例15: 求解（一）例题解（二）类似地可推出例题思考：以下几种形式的积分，如何用凑微分法求积思考解例16 设 求 .令例题例17 求解换元积分法技巧性强，需要多作练习，不断归纳，积累经验，才能灵活运用例题通过以上例题，可以归纳出如下一般凑微分形式：凑微分公式 +=+)()(1)(baxdbaxfadxbaxf)0( a； +=
3、+)()(21)(222baxdbaxfaxdxbaxf；)0( a =xxxxdeefdxeef)()(； =xdxfxdxxfln)(ln)(ln； -=xdxfxdxxfcos)(cossin)(cos； ；凑微分公式回主视图问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令再用“凑微分”难易第二类换元法证：只要证右端的导数等于左端的被积函数定理2由复合函数与反函数的导数，有第二类换元法第二类积分换元公式注：1）保证代换x=(t)的单调连续（有反函数）；代换 x=(t)，一起换。 利用第二类换元法求不定积分的关键 在于选择适当的变量代换第二类换元法常用于求无理函数的积分. 注意 被积积函数含有根
4、式解: 注:一般地说，当被积函数含有形如:的根号时，可作代换有理根式积分解: 设 ，于是 该例可利用凑微分法求解，而且更简洁：例题 被积积函数含有或例18 : 求解: 被积函数含有 ,为此可令 化去根式 此时于是二次根式由于 ，故故 tax也可用图解法(右图)直接得到: 例题例19 求解 令例题例20: 求解 令例题例18 求解 令例题说明(3) : 以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令说明 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(2)例19 求（三角代换很繁琐）令解例题例20 求解 令例题说明(3)当分母的阶较高时, 可采用倒代换例21 求令解例题例22 求解令（分母的阶较高）例题 倒代换:例题 本节得到的一些积分结果常作公式使用 扩充积分公式 习题 421 填空：习题3 设 ，求 4 求下列不定积分：(1) (2) (3) (4) (8) (7) (6) (5) (9) (10) 习题5 写出计算下列积分时所需之变换：(1) (2) (4) (3) 6 求下列不定积分：(4) (3) (2) (1) 习题回主视图
