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1、一、自变量趋于有限一、自变量趋于有限(yuxin)值时函数的极限值时函数的极限1. 时函数极限的定义机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共23页第一页，共24页。定义定义(dngy)1.设函数设函数在点的某去心邻域(ln y)内有定义 ,当时, 有则称常数(chngsh) A 为函数当时的极限,或即当时, 有若记作几何解释:极限存在函数局部有界(P36定理2)这表明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共23页第二页，共24页。注意(zh y)：第3页/共23页第三页，共24页。例例1.证明证明(zhngmng)证:故对任意(rny)的当时 , 因此(ync)总有
2、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共23页第四页，共24页。例例2.证明证明(zhngmng)证:欲使取则当时 , 必有因此(ync)只要(zhyo)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共23页第五页，共24页。例例3.证明证明(zhngmng)证:故取当时 , 必有因此(ync)机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第6页/共23页第六页，共24页。例例4.证明证明(zhngmng):当当证:欲使且而可用因此(ync)只要(zhyo)时故取则当时,保证 .必有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共23页第七页，共24页。2.2.单侧极限(jxin):(jx
3、in):例如(lr),(lr),机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第8页/共23页第八页，共24页。左极限左极限(jxin)与右极限与右极限(jxin)左极限(jxin) :当时, 有右极限(jxin) :当时, 有定理 1.( P38 题8 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共23页第九页，共24页。例例5.设函数设函数(hnsh)讨论(toln) 时的极限(jxin)是否存在 . 解: 利用定理 1 .因为显然所以不存在 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共23页第十页，共24页。2 2、函数极限、函数极限(jxin)(jxin)的性质的性质2.2.
4、函数(hnsh)(hnsh)极限的局部有界性1.1.唯一性第11页/共23页第十一页，共24页。3.保号性定理保号性定理(dngl)定理(dngl)4 . 若且 A 0 ,证: 已知即当时, 有当 A 0 时, 取正数(zhngsh)则在对应的邻域上( 0)则存在( A 0 )(P37定理3)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共23页第十二页，共24页。若取则在对应(duyng)的邻域上 若则存在(cnzi)使当时, 有推论推论(tuln):(P37 推论)分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共23页第十三页，共24页。定理定理(dngl)5.若在若在的某去心邻域(ln y)内, 且 则证: 用反证法.则由定理(dngl) 4,的某去心邻域 ,使在该邻域内与已知所以假设不真, (同样可证的情形)思考: 若定理 2 中的条件改为是否必有不能! 存在如 假设 A 0 时,。思考: 若定理 2 中的条件改为。假设 A 0 ,。4. 函数极限与数列极限的关系。对上述 ,。“ ”。“ ”。说明: 此定理常用(chn yn)于判断函数极限不存在 .。法2 找两个趋于。证: 取两个趋于 0 的数列。由定理 1 知。定义2 . 设函数。直线 y = A 为曲线。第22页/共23页第二十四页，共24页。
