第13讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值【套路秘籍】一．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．二．函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．三．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．【套路修炼】考向一 单调区间【例1】求下列函数的单调区间：（1）； （2）. （3）)f(x)＝.【答案】见解析【解析】（1）由题意得.令，解得或.当时，函数为增函数；当时，函数也为增函数.令，解得.当时，函数为减函数.故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）函数的定义域为..令，解得；令，解得.故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.(3)要使函数f(x)＝有意义，必须2x－x2≥0，即0≤x≤2.∴函数的定义域为[0,2]．f′(x)＝()′＝(2x－x2)－·(2x－x2)′＝ .令f′(x)＞0，则＞0.即∴0＜x＜1.∴函数的单调递增区间为(0,1)．令f′(x)＜0，则＜0，即∴1＜x＜2.∴函数的单调递减区间为(1,2)．【套路总结】用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0（2）用导数求函数的单调区间①求函数的定义域②求导③解不等式＞0得解集④求,得函数的单调递增（减）区间。
一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区间是减函数当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接【举一反三】1．函数y＝4x2＋的单调增区间为________．【答案】 【解析】 由y＝4x2＋，得y′＝8x－(x≠0)，令y′>0，即8x－>0，解得x>，∴函数y＝4x2＋的单调增区间为.2．函数f(x)＝x·ex－ex＋1的单调增区间是________．【答案】 (e－1，＋∞)【解析】 由f(x)＝x·ex－ex＋1，得f′(x)＝(x＋1－e)·ex，令f′(x)>0，解得x>e－1，所以函数f(x)的单调增区间是(e－1，＋∞)．3．已知函数f(x)＝xln x，则f(x)的单调减区间是________．【答案】 【解析】 因为函数f(x)＝xln x的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝ln x＋1(x>0)，当f′(x)<0时，解得00，则其在区间(－π，π)上的解集为∪，即f(x)的单调增区间为和.考向二 极值【例2】求函数f(x)＝－2的极值．【答案】见解析【解析】函数的定义域为R.f′(x)＝＝－.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘极小值↗极大值↘由表可以看出：当x＝－1时，函数有极小值，且f(－1)＝－2＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且f(1)＝－2＝－1.【套路总结】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．（2）求函数极值的方法：①确定函数的定义域．②求导函数．③求方程的根．④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．【举一反三】1．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．【答案】见解析【解析】函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域 为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增↗10单调递减↘－22单调递增↗因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－22.考向三 最值【例3】求下列各函数的最值：(1)f(x)＝x3－4x＋4，x∈[0,3]．(2)f(x)＝sin 2x－x(x∈[－，])．【答案】见解析【解析】(1)因f(x)＝x3－4x＋4，则f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)．令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,2)2(2,3)f′(x)－0＋f(x)↘－↗所以当x＝2时，f(x)＝x3－4x＋4有极小值，并且极小值为f(2)＝－.又由于f(0)＝4，f(3)＝1，因此，函数f(x)＝x3－4x＋4在[0,3]上的最大值是4，最小值是－.(2)f′(x)＝2cos 2x－1.令f′(x)＝2cos 2x－1＝0，解得x1＝，x2＝－.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x－(－，－)－(－，)(，)f′(x)－0＋0－f(x)↘↗↘－由上表可知f(x)的最大值是，最小值是－.【套路总结】一．求函数f (x)在[a，b]上最值的方法（1）若函数f (x)在[a，b]上单调递增或递减，则f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．（2）若函数f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a，b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.【举一反三】1．求下列函数的最值：(1)f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，x∈[－3,1]；(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．【答案】见解析【解析】(1)∵f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝.∵f(－2)＝13，f()＝，f(－3)＝8，f(1)＝4，∴函数f(x)在区间[－3,1]上的最大值为13，最小值为.(2)∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)，∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0，即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.考向四 利用导数判断图像【例4】已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是 【答案】B【解析】由的图象及导数的几何意义可知，当时，；当时，；当时，，故B符合.【举一反三】3.已知f(x)=14x2+sinπ2+x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(x)的图象是( )【答案】A【解析】∵f(x)=14x2+sinπ2+x=14x2+cos x,∴f'(x)=12x-sin x,它是一个奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,D.又[f'(x)]'=12-cos x,当-π312,∴[f'(x)]'<0,故函数y=f'(x)在区间-π3,π3内单调递减,排除C.故选A.【套路运用】1．函数f(x)＝x3－4x＋4的极大值为________．【答案】 【解析】 f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(－2)＝.2.函数y＝xex的最小值是________．【答案】 －【解析】 因为y＝xex，所以y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.当x>－1时，y′>0；当x<－1时，y′<0，所以当x＝－1时，函数取得最小值，且ymin＝－.3．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为________．【答案】 【解析】 f′(x)＝x－＝且x>0.令f′(x)>0，得x>1.令f′(x)<0，得00；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．5.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 。
【答案】(2,+∞)【解析】函数f(x)=(x-3)ex的导数为f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f'(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.6.若x=1是函数f(x)=ax+ln x 的极值点,则 A.f(x)有极大值-1 B.f(x)有极小值-1 C.f(x)有极大值0 D.f(x)有极小值0【答案】A【解析。