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1、第 1 页 共 13 页导数题型分类一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、 差、基本导数公式， 利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析题型一：导数的定义及计算1假设函数axxfy在处的导数为A，求ttaftaft54lim0。解：ttaftaft54lim0 = Attaftaft45lim022333xyxx求在点处的导数。3假设函数( )f x满足，321( )(1),3fxxfxx则(1)f的值0 4设曲线axye在点(0,1)处的切线与直线210 xy垂直，则 a5利用导数求和：Sn=1+2x+3x2+.+nxn-1,
2、(x不等于 0且不等于1= 题型二：利用导数研究函数的极值、最值。132( )32f xxx在区间1,1上的最大值是 2 2已知函数2)()(2xcxxxfy在处有极大值，则常数c 6 ；3函数331xxy有极小值 1 ,极大值 3 4已知函数f (x) 的导函数( )fx的图象如右图所示，那么函数f (x) 的图象最有可能的是( ) 32( )(6)1f xxaxax有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是A.-1 a2 B.a-3 或 a6 C.-3a6 D.a-1 或 a2 题型三：利用导数几何意义及求切线方程1曲线34yxx在点1, 3处的切线方程是2yx2假设曲线xxxf4)(在 P
3、点处的切线平行于直线03yx，则 P点的坐标为1，0y x O 1 2 -2 A y x O 1 2 -2 B y x O 1 2 -2 C y x O 1 2 -2 D y x O 1 2 -1 ( )fx第 2 页 共 13 页3假设曲线4yx的一条切线l与直线480 xy垂直，则l的方程为430 xy4求以下直线的方程： 注意解的个数1曲线123xxy在 P(-1,1)处的切线；2曲线2xy过点 P(3,5) 的切线；解： 1123|yk231) 1 ,1(1x/2/23上，在曲线点xxyxxyP所以切线方程为0211yxxy即，2 显然点 P 3， 5 不在曲线上， 所以可设切点为),
4、(00yxA， 则200 xy又函数的导数为xy2/，所 以 过),(00yxA点 的切 线的 斜率为0/2|0 xykxx， 又切 线过),(00yxA、 P(3,5)点 ， 所以 有352000 xyx，由联立方程组得，255110000yxyx或，即切点为1， 1时，切线斜率为; 2201xk；当切点为5，25时，切线斜率为10202xk；所以所求的切线有两条，方程分别为251012)5(1025) 1(21xyxyxyxy或即，或6设 P 为曲线 C：yx22x3 上的点，且曲线C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为0，4，则点 P 横坐标的取值范围为() A 1，12 B1,0 C0
5、,1 D12，1 7.以下函数中，在0，+上为增函数的是A.y=sinx B.xyxeC. 3yxxD.y=ln(1+x) x 8. 设f(x),g(x)是R上 的 可 导 函 数 ，( ),( )fxgx分 别 为f(x),g(x)的 导 数 ， 且( ) ( )( )( )0fx g xf x g x，则当 axf(b)g(x) B.f(x)g(x)f(b)g(b) C.f(x)g(a)f(a)g(x) D.f(x)g(x)f(b)g(a) 10. 此题 12 分已知函数( )1xfxeax，求 f(x)的单调增区间题型四：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1.已知函数2( )2f xx
6、axa在区间 ， 1上有最小值， 则函数( )( )f xg xx在区间 1，+上一定第 3 页 共 13 页2已知函数32( )3f xaxbxx在1x处取得极值，求过点A(0，16) 作曲线y=f(x)的切线，求该切线的方程. 3已知函数( )lnf xxx 1求 f(x) 的最小值 2假设对所有x1 都有 f(x)ax-1, 求 a 的取值范围 . 4 已知函数21( )ln,2fxxxa其中 a 为大于零的常数. 1当 a=1 时，求函数f(x) 的单调区间和极值2当1,2x时，不等式( )2f x恒成立，求a 的取值范围 .5已知函数)1(, 1()(,)(23fPxfycbxaxx
7、xf上的点过曲线的切线方程为y=3x+1 假设函数2)(xxf在处有极值，求)(xf的表达式；在的条件下，求函数)(xfy在 3，1 上的最大值；假设函数)(xfy在区间 2，1 上单调递增，求实数b的取值范围解： 1由.23)(,)(223baxxxfcbxaxxxf求导数得过)1(, 1()(fPxfy上点的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(xbacbayxffy即而过.13)1(, 1)(xyfPxfy的切线方程为上故3023323cabacaba即124, 0)2(,2)(bafxxfy故时有极值在由得 a=2 ，b=4，c=5 .542)(23xxxxf2).2)
8、(23(443)(2xxxxxf第 4 页 共 13 页当;0)(,322; 0)(,23xfxxfx时当时13)2()(.0)(,132fxfxfx极大时当又)(,4)1 (xff在 3，1 上最大值是13。3y=f(x)在 2，1 上单调递增，又,23)(2baxxxf由知 2a+b=0。依题意)(xf在 2，1 上恒有)(xf0，即.032bbxx当6,03)1()(,16minbbbfxfbx时；当bbbfxfbx,0212)2()(,26min时；当.60,01212)(,1622minbbbxfb则时综上所述，参数b 的取值范围是), 06已知三次函数32( )f xxaxbxc在
9、1x和1x时取极值，且( 2)4f(1) 求函数( )yf x的表达式；(2) 求函数( )yf x的单调区间和极值；(3) 假设函数( )()4(0)g xf xmm m在区间3, mn上的值域为 4,16，试求m、n应满足的条件解： (1) 2( )32fxxaxb，由题意得，1,1是2320 xaxb的两个根，解得，0,3ab再由( 2)4f可得2c3( )32f xxx(2) 2( )333(1)(1)fxxxx，当1x时，( )0fx；当1x时，( )0fx；当11x时，( )0fx；当1x时，( )0fx；当1x时，( )0fx函数( )f x在区间(, 1上是增函数；在区间 1,
10、 上是减函数；在区间1,)上是增函数第 5 页 共 13 页函数( )f x的极大值是( 1)0f，极小值是(1)4f(3) 函数( )g x的图象是由( )f x的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到的，所以，函数( )f x在区间 3,nm上的值域为 44 ,164mm0m 而( 3)20f，4420m，即4m于是，函数( )f x在区间 3,4n上的值域为 20, 0令( )0f x得1x或2x由( )f x的单调性知，142n，即36n综上所述，m、n应满足的条件是：4m，且36n7已知函数( )lnf xxax，1( ), (R).ag xax设函数( )( )( )h xf
11、 xg x ，求函数( )h x 的单调区间；( ) 假设在1,e上存在一点0 x，使得0()f x0()g x成立，求a的取值范围7设函数( )()()f xx xaxb1假设( )f x的图象与直线580 xy相切， 切点横坐标为，且( )f x在1x处取极值，求实数,a b的值；2当 b=1 时，试证明：不管a 取何实数，函数( )f x总有两个不同的极值点解： 12( )32().fxxab xab由题意(2)5,(1)0ff，代入上式，解之得：a=1，b=12当 b=1 时，( )0fx令得方程232(1)0.xaxa因,0)1(42aa故方程有两个不同实根21,xx不妨设21xx，
12、由)(3)(21xxxxxf可判断)(xf的符号如下：当时，1xx)(xf；当时，21xxx)(xf；当时，2xx)(xf因此1x是极大值点，2x是极小值点 ，当 b=1 时，不管a 取何实数，函数( )f x总有两个不同的极值点。第 6 页 共 13 页题型五：利用导数研究函数的图象1如右图：是fx的导函数，)(/xf的图象如右图所示，则fx的图象只可能是 D A B C D2函数的图像为14313xxy( A ) 3方程内根的个数为在)2 ,0(076223xx ( B ) A、0 B、1 C、2 D、3 题型六：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1设函数.10 ,3231)(22
13、3abxaaxxxf 1求函数)(xf的单调区间、极值. 2假设当2, 1aax时，恒有axf| )(|，试确定a 的取值范围 . 解： 122( )43fxxaxa=(3 )()xaxa，令( )0fx得12,3xa xa列表如下：x - ， a a a，3a3a 3a，+( )fx- 0 + 0 - ( )f x极小极大( )f x在 a，3a上单调递增，在- ， a和 3a，+上单调递减x y o 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 x y o 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 x y y 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 6 6 6 6 y x -4 -2 o 4 2
14、2 4 第 7 页 共 13 页xa时，34( )3fxba极小，3xa时，( )fxb极小222( )43fxxaxa01a，对称轴21xaa，( )fx在 a+1 ，a+2 上单调递减22(1)4 (1)321Maxfaa aaa，22min(2)4 (2)344faa aaa依题|( ) |fxa|Maxfa，min|fa即|21|,|44 |aaaa解得415a，又01aa 的取值范围是4,1)52已知函数f x x3 ax2 bxc 在 x23与 x 1 时都取得极值1求 a、b 的值与函数 f x的单调区间2假设对x 1，2 ，不等式f x c2 恒成立，求c 的取值范围。解： 1
15、f x x3ax2 bxc， f x 3x22axb 由 f 23124ab093 ，f 1 3 2ab0 得 a12，b 2 f x 3x2x 2 3x2 x1 ，函数 f x的单调区间如下表：x ，232323，11 1，f x 0 0 f x极大值极小值所以函数f x的递增区间是，23与 1， ，递减区间是23，12f x x312x22xc，x 1，2 ，当 x23时， f x2227c 为极大值，而f 2 2 c，则 f 2 2c 为最大值。要使 f x c2x 1， 2 恒成立，只需c2 f 2 2c，解得 c 1 或 c 2 题型七：利用导数研究方程的根1已知平面向量a=(3,
16、1). b=(21,23). 1假设存在不同时为零的实数k 和 t ，使x=a+(t2 3)b，y=-ka+tb，xy，第 8 页 共 13 页试求函数关系式k=f(t) ；(2) 据 (1) 的结论，讨论关于t 的方程 f(t)k=0 的解的情况 . 解： (1) xy，x y=0 即a+(t2-3) b (-ka+tb)=0. 整理后得 -k2a+t-k(t2-3) a b+ (t2-3) 2b=0 a b=0，2a=4，2b=1，上式化为 -4k+t(t2-3)=0，即 k=41t(t2-3) (2) 讨论方程41t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= 41t(t2-3)与直线 y=k 的交点个数. 于是 f (t)= 43(t2-1)= 43(t+1)(t-1). 令 f (t)=0,解得 t1=-1,t2=1.当 t 变化时， f (t) 、f(t)的变化情况如下表：t (- ,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+ )f (t) + 0 - 0 + F(t) 极大值极小值当 t= 1 时， f(t)有极大值， f(t)极大值 =21. 当 t=1 时，
