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1、2015 年全国卷I 文科逐题述评1.已知集合|32,Ax xnnN，6,8,10,12,14B，则集合AB中元素的个数为（A）5 （B）4 （ C）3 （D）2 解析：2,5,8,11,14,A，AB=8,14，选（ D）. 点评：集合A 是等差数列，求交集只需简单的验证，开卷大吉，有利于考生稳定情绪. 2.已知点(0,1)A，(3,2)B，向量( 4,3)AC，则向量BC= （A）( 7,4)（B）(7, 4)（C）( 1,4)（D）(1,4)解析：(3,1)AB，( 7,4)BCACAB，选（ A）. 点评： 本题考查向量的坐标运算，还可以先求出( 4, 2)C，相对较简单 .没有像前几
2、年通过向量的平行（垂直）、模、夹角“为难”考生，算是送分到家的题. 3.已知复数z满足(1)i1iz，则z= （A）2i（B）2i（C）2i（D）2i解析：由(1)i1iz得1 i1iz，即2iz，选（ B）. 点评：本题跳出往年考查复数除法的传统直白模式，套用方程思想， 由考生运用1ii，不难求出z.形式简洁（连“i是虚数单位”等说明性文字都未出现），如果考生在平时的备考中，能熟练使用模的性质2|zz z，则可迅速准确得出结论，为其他题赢得时间. 4.如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3 个数为一组勾股数.从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这3 个数构
3、成一组勾股数的概率为（A）310（B）15（C）110（D）120解析：从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数有10 种取法：(1,2,3),(1,2,4),(3,4,5)，其中能构成一组勾股数的只有（3,4,5） ，所求概率为110，选（ C）. 点评：本题考查古典概型，难度适中（既要验算222abc，还要注意abc的限制） ， “勾股数”突出了古代数学成就，融入了中国元素. 5.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：28yx的焦点重合，,A B是C的准线与E的两个交点，则|AB= （A）3 （B）9 （ C）6 （D）12 解析：28yx的焦点为(2,0)
4、， 准线为2x， 则2c，12e可得4a，2 3b，AB是椭圆的通径（过焦点垂直于长轴的弦），22|6bABa，故选（ C）. 点评：本题在对椭圆简单性质考查过程中融合了抛物线的定义、性质，运算量比较大，思维含量高，考查比较综合，如果能放到第10 题的位置会更合理. 副产品：椭圆的通径（过焦点垂直于长轴的弦）、双曲线的通径（过焦点垂直于实轴的弦）和抛物线的通径（过焦点垂直于对称轴的弦）的长分别是22ba、22ba、2 p. 6.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角， 下周八尺， 高五尺 .问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米 （如图，米堆为
5、一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（A）14 斛（ B）22 斛（C）36 斛（D）66 斛解析：284R，圆锥底面半径16R，米堆体积21320123VR h，堆放的米约有221.62V，选（ B）. 点评： 本题难度适中，取材于古代数学著述，一方面考查了简单几何体的体积，另一方面体现了数学估算等应用，更是弘扬和发掘了数学史和古代数学文化. 7.已知na是公差为1的等差数列，nS为na的前n项和 . 若844SS，则10a错误！未找到引用源。（A）172（B
6、）10（C）192（D）12解析：公差1d，5678123441616aaaaaaaadS，84416SSS，所以4216S，48S，112a，10192a，选（ C）. 点评：本题考查运用等差数列基础知识1(1)2nn nSnad分析和解决问题的能力. 8.函数( )f x=cos()x的部分图象如图所示，则( )f x的单调递减区间为（A）13(,),44kkkZ（B）13(2,2),44kkkZ（C）13(,),44kkkZ（D）13(2,2),44kkkZ解析：由五点作图知，1+4253+42，解得=，=4，所以( )cos()4f xx，令22,4kxkkZ，解得124kx324k，
7、kZ，故单调减区间为（124k，324k） ，kZ，故选（ D）. 点评：本题虽然考查余弦型函数的图象和性质，但可归结为正弦型函数的图象和性质，且一反常态图象的周期是2k，不是2k，解答既可由图象先求解析式，再根据解析式求解函数的单调递减区间，又可先求周期，借助图象的对称性得出34x是其中一条对称轴，数形结合直接写出图象的单调递减区间.既能考查学生对余弦函数图象和性质的真正理解，又能考查学生的观察能力、推理能力、运算求解的能力以及数形结合的思想.推陈出新的结果是得分不高 . 9.执行右面的程序框图，如果输入的0.01t，则输出的n（A）5 （B）7 （C）6 （D）8 解析：0.01t保持不变
8、，初始值11,0,0.52snm，执行第1次，0.5,0.25,1smn，st，执行循环体；执行第2次，0.25,0.125,2smn，st，执行循环体；执行第3次，0.125,0.0625,3smn，st，执行循环体；执行第4次，0.0625,0.03125,4smn，st，执行循环体；执行第5次，0.03125,0.015625,4smn，st，执行循环体；执行第6次，0.015625,0.0078125,5smn，st，执行循环体；执行第7次，0.0078125,0.00390625,6smn，st，跳出循环体，输出7n，故选（ B） . 点评：本题通过含循环结构的程序框图，考查学生的读
9、图能力及运算求解能力.但题中的执行次数有点多，数据有些复杂， 其实大可执行3 或 4 次，数据再简单一些， 效果会更好！10.已知函数1222,1,( )log (1),1,xxf xxx且( )3f a，则(6)fa（A）74（B）54（C）34（D）14解析：由于12221x，只能2log (1)3a，解得7a，则1 17(67)( 1)224ff，故选（ A）. 点评：本题通过分段函数考查指数与对数的运算与性质，既能分1a或1a分类讨论反解a的值，又能从指数函数的性质入手确定只能2log (1)3a求a.难度合适，如果题目和第5 题互换位置，或许得分应该更好一些. 11.圆柱被一个平面截
10、去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为1620，则r（A）1（B）4（C）2（D）8 解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都r，圆柱的高为2r，其表面积为2222142225416202rrrrrrrr， 解得2r，故选（ C）. 点评：本题考查空间几何体的三视图、圆柱和球的表面积，通过三视图到直观图的转化考查学生的空间想象能力与化归思想的应用，通过圆柱和球的表面积计算考查学生的运算求解能力. 本题与 2013 年全国卷 （理 8，文 11）非常相似 .但由 2013年的三个视图变
11、成了2015 年的两个视图，极好的考查了学生的观察能力和空间想象能力.（2013 年全国卷（理8，文 11） ）某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（A）168（B）88（C）16 16（D）81612.设函数( )yf x的图象与函数2xay的图象关于直线yx对称，且( 2)( 4)1ff，则a（A）1（B）1（C）2（ D）4解析： 函数( )yf x的图象上的任意一点( , )x y关于直线yx对称的点(,)yx在函数2x ay的图象上，即2yax，2log()y ax，则2( )log ()f xax，从而( 2)( 4)231ffa，解得2a，故选（ C）. 点评： 本题以
12、抽象函数问题为背景，通过点关于直线对称（解析几何中的重点）与函数图象的关系，考查了指数式与对数式的互化，对于学生的发散思维能力要求较高.本题作为选择题压轴题， 试题难度降低的一步到位，远比前几年函数小综合题让诸多考生无从下手只能瞎蒙要好得多，这可以作为今后理科可以借鉴的命题趋势（简单题只要命制合理，一样具备其区分度与甄别功能，低于0.25 的通过率的题形同废题）. 13.在数列na中112,2,nnnaaaS为na的前 n 项和，若126nS，则n. 解析：等比数列中12,2aq，则2(12 )12612nnS，由264n，得6n. 点评： 本题主要考查了等比数列的判定与前n 项和公式， 考点
13、较为单一， 数列在全卷中只涉及两道题目（第7 题考点仅涉及等差数列，数列部分的比重略低）.本题也给后进生留下“活路”，列举数列各项，很容易能算出n=6. 14.已知函数31fxaxx的图象在点1,1f的处的切线过点2,7，则a. 解析：2( )31fxax，(1)31fa，又(1)2fa，切点为（ 1，2a） ，切线过（ 2,7） ，则273112aa，解得a1. 点评：本题主要考查利用导数的几何意义求函数中的参数，题型常规，利于考生拿分. 15.若 x,y 满足约束条件20,210,220,xyxyxy则 z=3x+y 的最大值为. 解析：可行域是以(1,1), (0,2),( 1,0)AB
14、C为顶点的三角形区域（含边界，如图中阴影部分所示），作出直线0l：30 xy，平移直线0l，当直线l：z=3x+y 过点 A 时， z取最大值，由2=021=0 xyxy解得 A（1,1） ，z=3x+y 的最大值为 4. 点评：本题主要考查线性规划的知识，目标式属于截距类型，按部就班可得答案.此题也会有考生求解出三角形区域的顶点，代入目标式得出答案. 16.已知F是双曲线C：2218yx的右焦点，P是C的左支上一点，(0,66)A.当APF周长最小时，该三角形的面积为. 解析：设F是双曲线C的左焦点，则| |2PFPF，APF周长为| | 2PAPFAFPAPFAF| 232AFAF， 当且
15、仅当点,P FA共线时取得最小值，点P在线段F A上，线段F A：2 666yx（30 x） ，代入2218yx整理可得2914 0 xx，解得2,7xx（舍去），则( 2,2 6)P到直线:2 66 6FA yx的距离为8 611 8 6,|151265225dSdAF. 点评： 本题考查双曲线的定义、性质及化曲为直求最值原则的理解（也可利用间接法计算11APFAF FPF FSSS）.本题很好的考查了学生对等价转化（化归与转化）思想、数形结合思想的驾驭程度. 17.（本小题满分12 分）已知, ,a b c分别为ABC内角,A B C的对边，2sin2sinsinBAC.（）若ab，求co
16、sB；（）设 B=90 ，且2a，求ABC的面积 . 解： （）由题设及正弦定理可得22bac，又ab，可得2 ,2bc ac，由余弦定理可得2221cos24acbBac.（）由 （）知22bac， 又 B=90 即222bac， 故222acac， 得2ac，所以ABC的面积为1.点评： 本题考查运用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用，属于常规的解三角形问题 .命题人按照“数列与三角轮流坐庄”的“规则”出牌，也让考生情绪稳定. 18.（本小题满分12 分）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.（I）证明：平面AEC平面BED；（II）若120ABC，AEEC，三棱锥EACD的体积为36，求该三棱锥的侧面积. 解：（） 因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE，AC平面BED. 又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.（）在ABCD中，设ABx， 由120ABC得3,.22xAGGCx GBGD因为AEEC，在Rt AEC中，可得3.2EGx由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得2.2BEx311663
