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1、湖南省湘潭市县乌石中学高三数学文联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转后，终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】先建立角和旋转之后得所到的角之间的联系，再根据诱导公式和二倍角公式进行计算可得。【详解】设旋转之后的角为，由题得，又因为，所以得，故选B。【点睛】本题考查任意角的三角函数和三角函数的性质，是基础题。2. 某几何体三视图如下图所示，则该几何体的体积是A. B. C. D. 参考答案：A3. 哥德巴赫在1742
2、年6月7日给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“1+1” 1966年，我国数学家陈景润证明了“1+2”，获得了该研究的世界最优成果若从大于10且不超过30的所有质数中，随机选取两个不同的数，则这两数之和超过30的概率是（ ）A. B. C. D. 参考答案：C【分析】利用列举法结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】大于10且不超过30的所有质数有：，共6个，从中任取2个，所有可能情况为，共种.其中两数之和超过30的有：，共11种.所以所求的概率为.故选：C【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.4. 在体积为
3、的球的表面上有A，B，C三点，AB=1，BC=，A，C两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为 （ ）A B C D1参考答案：C5. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像( )A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位参考答案：B6. 已知两个不相等的非零向量，两组向量均由，和，均由2个和2个排列而成，记S=?+?+?+?，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题中正确的个数为（）S有3个不同的值；若，则Smin与|无关；若，则Smin与|无关；若|=2|，Smin=4，则与的夹角为A0B1C2D3参考答案：D【考点】命题的真假判
4、断与应用【分析】由题意得到所有的S值判断，利用作差法求得S的最小值结合向量垂直、平行及数量积运算判断，则答案可求【解答】解：由题意可知，S=?+?+?+? 有三个值，分别为、正确；=，=，若，则Smin=0与|无关，正确；若，则Smin=，与|有关，错误；若|=2|，Smin=4，则cos=，与的夹角为，故正确命题中正确的个数为3个故选：D【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查平面向量的数量积运算，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题7. 已知数列an的通项公式，若使此数列的前n项和Sn最大，则n的值为（ ）A12 B13 C.12 或13 D14 参考答案：C由得 ，所以 的值为 或
5、时，数列的前 项和 最大，选C.8. 设集合，则（ ） A B C D参考答案：、A略9. 已知复数,则复数在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D第四象限参考答案：A10. 是等差数列的前n项和，且，则k的值是A2 B11 C4 D12参考答案：答案：C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 两直线与平行，则它们之间的距离为 .参考答案：12. 以下命题：若则； 在方向上的投影为；若中,则；若非零向量、满足，则.其中所有真命题的标号是 .参考答案：13. 已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，点，且，则双曲线的离心率为 参考答案：设F（c，0），
6、又A（，0），由，得：（，b）（c，b）0，所以，有：，即，化为，可得离心率e。14. 如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 参考答案：将矩形放入平面直角坐标系，如图因为,为的中点,所以，,设,则,所以，所以。所以,所以.15. 已知定义域为R的函数f（x），对任意的xR，均有f（x+1）=f（x1），且x（1，1时，有f（x）=，则方程f（f（x）=3在区间3，3上的所有实根之和为 参考答案：3【考点】抽象函数及其应用；根的存在性及根的个数判断【分析】计算f（x）的周期，做出f（x）的函数图象，根据函数图象判断f（x）=3，从而得出x的值【解答】解：f（x+1）=f（x1），f
7、（x+2）=f（x），f（x）是以2为周期的函数做出f（x）的函数图象如图所示：f（f（x）=3，f（x）=1+2k，kZ1f（x）3，f（x）=3，x3，3，x=1或x=1或x=3f（f（x）=3在3，3内的所有跟之和为（1）+1+3=3故答案为：316. 已知面积和三边满足：，则面积的最大值为_参考答案：17. 已知向量，且，则的坐标是 参考答案：或略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分14分）设数列an的前n项和为Sn，满足，nN,且a1，a2+5，a3成等差数列（1） 求a1的值；（2） 求数列an的通项公式（3） 证明：对
8、一切正整数n，有.参考答案：本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.19. （本小题满分13分）已知椭圆C1：y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，2，求直线AB的方程参考答案：解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为1(a2)，其离心率为，故，则a4，故椭圆C2的方程为1.(2)解法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代
9、入y21中，得(14k2)x24，所以x，将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x，又由2得x4x，即，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx.解法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，由2得x，y，将x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx.20. 函数（）求的极值（）在上恒成立，求值的集合参考答案：（）当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，为极小值点，无极大值 （）令，只需若，时，在
10、上单调递减，不恒成立若，得，即时，时，在上单调递增时，不恒成立即时，时，时，在上单调递减，在上单调递增，为的最小值，故综上所述，值的集合为21. 如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E（）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；（）若OA=CE，求ACB的大小参考答案：【考点】圆的切线的判定定理的证明 【专题】直线与圆【分析】（）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得OED=90，可得DE是O的切线；（）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度【解答】解：（）连接AE，由已知得AEBC，ACAB，在RTABC中，由已知可得DE=DC，D
11、EC=DCE，连接OE，则OBE=OEB，又ACB+ABC=90，DEC+OEB=90，OED=90，DE是O的切线；（）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CE?BE，x2=，即x4+x212=0，解方程可得x=ACB=60【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题22. 如图,在底面是矩形的四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,PA=AB=1,BC=2.()求证：平面PCD平面PAD；()若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值.参考答案：解析：（I）提示:先证CD平面PAD; （）提示:取PC的中点为M,AB的中点为N,选结EM、MN、PN,先证ANME是平行四边形,得MNAE,PMN或其补角为所求角,连AC可求得,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.
