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1、湖南省永州市荷池中学高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件参考答案：【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断A2 【答案解析】B 解析：log2alog2b，0ab，“ab”是“log2alog2b”的必要不充分条件，故选：B【思路点拨】根据对数的基本运算和充分条件和必要条件的定义即可得到结论2. 已知数列中，猜想的值为A B. C. D. 参考答案：B3. 已知平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=(2，4)
2、，=(1，3)，则= A8 B6 C6 D8参考答案：D4. 已知是实数，关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围为（ ）A(2,+) B(2,2) C.(2,6) D(,2) 参考答案：A5. 已知F为抛物线的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若,则线段AB的中点M到直线的距离为（A）2（B）4（C）8（D）16参考答案：B本题考查抛物线的定义.如图,抛物线的焦点为,准线为,即.分别过作准线的垂线,垂足为,则有.过的中点作准线的垂线,垂足为,则为直角梯形中位线,则,即到准线的距离为4.故选B.6. 已知A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：B7. 已知等比数列an的各项都是正数
3、，且，成等差数列，（ ）A6B7C8D9 参考答案：D成等差数列，即，解得（1舍去），故选D.8. 已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，的最大值是（ ）A6 B0 C. 2 D参考答案：A由作出可行域，如图，由图可得，由，得，化目标函数为，当过A点时，z最大，.9. 已知F1，F2分别是双曲线C：的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则等于A B C D参考答案：C10. （2016郑州一测）已知函数，则在上的零点的个数为（ ）A1B2C3D4参考答案：C画出和的图象便知两图象有3个交点，在上有3个零点二、 填空题:本大题共7小题,每小
4、题4分,共28分11. 定义在上的偶函数，对任意的均有成立，当时，则直线与函数的图像交点中最近两点的距离等于 参考答案：112. 在等差数列中，若此数列的前10项和，前18项和，则数列的前18项和_ 参考答案：13. 定义在（0，）的函数f（x）=8sinxtanx的最大值为参考答案：【考点】三角函数的最值【分析】利用导函数研究其单调性，求其最大值【解答】解：函数f（x）=8sinxtanx，那么：f（x）=8cosx=，令f（x）=0，得：cosx=x（0，），x=当x（0，）时，f（x）0，函数f（x）在区间（0，）上是单调增函数当x（，）时，f（x）0，函数f（x）在区间（，）上是单调减
5、函数当x=时，函数f（x）取得最大值为故答案为：【点评】本题考查了利用导函数研究其单调性，求其最大值的问题属于基础题14. 在区间上任意取两个实数，则函数在区间上有且仅有一个零点的概率为_ 参考答案：15. 下列命题正确的是 .点为函数的一个对称中心；ks5u “”的充要条件是“或（）”参考答案：略16. 设，若，则的最小值为 参考答案：17. 已知平面向量满足，则的最小值是参考答案：4【考点】平面向量数量积的运算；向量的模【分析】不妨设=（1，0），=（m，n），=（p，q），根据向量的数量积的运算得到n=，再根据向量的模的和基本不等式即可求出答案【解答】解：不妨设=（1，0），=（m，n）
6、，=（p，q）则m=1，p=2， =2+nq=1，则nq=1，n=，=（1，），=（2，q），2=+2+2+2?=1+1+4+q2+2+2+4=14+q214+2=16，4，当且仅当q2=1，即q=1时“=”成立故答案为：4三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）（本小题满分12分）已知数列和满足： ,其中为实数，为正整数（）对任意实数，证明数列不是等比数列；（）对于给定的实数，试求数列的前项和；（）设，是否存在实数，使得对任意正整数，都有成立? 若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由参考答案：（）证明：假设存在一个实数，使是
7、等比数列，则有,即矛盾所以不是等比数列 4分（）因为又，所以当，此时 当时， ， 此时，数列是以为首项，为公比的等比数列 8分 19. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为.(1)求曲线C的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；(2)若直线l与曲线C的交点分别为M，N，求.参考答案：（1）曲线C方程为，表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为y轴的抛物线；（2）10.【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的转化，将曲线的方程化为直角坐标方程；（2）把直线的参数方程为，化为一般方程，然后与联立，利用弦长公式，
8、得到.【详解】解 (1)因为，所以，即，所以曲线表示焦点坐标为，对称轴为轴的抛物线(2)设点，点直线过抛物线的焦点，则直线参数方程为化为一般方程为，代入曲线的直角坐标方程，得，所以所以【点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，直线的参数方程化一般方程，弦长公式等，属于简单题.20. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，为的中点（1）求证：BM平面ADEF；（2）求证：平面BDE平面BEC参考答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析证明：（1）取中点，连结、， 在中，、分别为、的中点，且由已知，所以，且，四边形为平行四边形，又平面，且平面，平面（2）为正方形，又平面平面，且平面
9、平面，又平面，平面，在直角梯形中，可得在中，平面，又平面，平面平面21. （本小题满分13分）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）设函数在点处的切线为，直线轴相交于点Q.若点Q的纵坐标恒小于1，求实数的取值范围.参考答案：22. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 某医药研究所开发一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间满足，其对应曲线（如图所示）过点.（1）试求药量峰值（的最大值）与达峰时间（取最大值时对应的值）；（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01小时）参考答案：将代入函数可得：，当时，当时，当时，有最大值为在上单调增，在上单调减，最大值为在和各有一解当时，解得：当时，解得：当时，为有效时间区间有效的持续时间为：小时略
