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1、湖南省永州市荷池中学高三数学理测试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. “”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件参考答案:【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断A2 【答案解析】B 解析:log2alog2b,0ab,“ab”是“log2alog2b”的必要不充分条件,故选:B【思路点拨】根据对数的基本运算和充分条件和必要条件的定义即可得到结论2. 已知数列中,猜想的值为A B. C. D. 参考答案:B3. 已知平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若=(2,4)
2、,=(1,3),则= A8 B6 C6 D8参考答案:D4. 已知是实数,关于的方程有4个不同的实数根,则的取值范围为( )A(2,+) B(2,2) C.(2,6) D(,2) 参考答案:A5. 已知F为抛物线的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若,则线段AB的中点M到直线的距离为(A)2(B)4(C)8(D)16参考答案:B本题考查抛物线的定义.如图,抛物线的焦点为,准线为,即.分别过作准线的垂线,垂足为,则有.过的中点作准线的垂线,垂足为,则为直角梯形中位线,则,即到准线的距离为4.故选B.6. 已知A.0 B.1 C.2 D.3参考答案:B7. 已知等比数列an的各项都是正数
3、,且,成等差数列,( )A6B7C8D9 参考答案:D成等差数列,即,解得(1舍去),故选D.8. 已知为区域内的任意一点,当该区域的面积为4时,的最大值是( )A6 B0 C. 2 D参考答案:A由作出可行域,如图,由图可得,由,得,化目标函数为,当过A点时,z最大,.9. 已知F1,F2分别是双曲线C:的左右焦点,以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P,若双曲线的离心率为5,则等于A B C D参考答案:C10. (2016郑州一测)已知函数,则在上的零点的个数为( )A1B2C3D4参考答案:C画出和的图象便知两图象有3个交点,在上有3个零点二、 填空题:本大题共7小题,每小
4、题4分,共28分11. 定义在上的偶函数,对任意的均有成立,当时,则直线与函数的图像交点中最近两点的距离等于 参考答案:112. 在等差数列中,若此数列的前10项和,前18项和,则数列的前18项和_ 参考答案:13. 定义在(0,)的函数f(x)=8sinxtanx的最大值为参考答案:【考点】三角函数的最值【分析】利用导函数研究其单调性,求其最大值【解答】解:函数f(x)=8sinxtanx,那么:f(x)=8cosx=,令f(x)=0,得:cosx=x(0,),x=当x(0,)时,f(x)0,函数f(x)在区间(0,)上是单调增函数当x(,)时,f(x)0,函数f(x)在区间(,)上是单调减
5、函数当x=时,函数f(x)取得最大值为故答案为:【点评】本题考查了利用导函数研究其单调性,求其最大值的问题属于基础题14. 在区间上任意取两个实数,则函数在区间上有且仅有一个零点的概率为_ 参考答案:15. 下列命题正确的是 .点为函数的一个对称中心;ks5u “”的充要条件是“或()”参考答案:略16. 设,若,则的最小值为 参考答案:17. 已知平面向量满足,则的最小值是参考答案:4【考点】平面向量数量积的运算;向量的模【分析】不妨设=(1,0),=(m,n),=(p,q),根据向量的数量积的运算得到n=,再根据向量的模的和基本不等式即可求出答案【解答】解:不妨设=(1,0),=(m,n)
6、,=(p,q)则m=1,p=2, =2+nq=1,则nq=1,n=,=(1,),=(2,q),2=+2+2+2?=1+1+4+q2+2+2+4=14+q214+2=16,4,当且仅当q2=1,即q=1时“=”成立故答案为:4三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分12分)(本小题满分12分)已知数列和满足: ,其中为实数,为正整数()对任意实数,证明数列不是等比数列;()对于给定的实数,试求数列的前项和;()设,是否存在实数,使得对任意正整数,都有成立? 若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由参考答案:()证明:假设存在一个实数,使是
7、等比数列,则有,即矛盾所以不是等比数列 4分()因为又,所以当,此时 当时, , 此时,数列是以为首项,为公比的等比数列 8分 19. 在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为.(1)求曲线C的直角坐标方程,并指出该曲线是什么曲线;(2)若直线l与曲线C的交点分别为M,N,求.参考答案:(1)曲线C方程为,表示焦点坐标为(0,2),对称轴为y轴的抛物线;(2)10.【分析】(1)根据极坐标与直角坐标的转化,将曲线的方程化为直角坐标方程;(2)把直线的参数方程为,化为一般方程,然后与联立,利用弦长公式,
8、得到.【详解】解 (1)因为,所以,即,所以曲线表示焦点坐标为,对称轴为轴的抛物线(2)设点,点直线过抛物线的焦点,则直线参数方程为化为一般方程为,代入曲线的直角坐标方程,得,所以所以【点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程,直线的参数方程化一般方程,弦长公式等,属于简单题.20. 如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,为的中点(1)求证:BM平面ADEF;(2)求证:平面BDE平面BEC参考答案:(1)证明见解析;(2)证明见解析证明:(1)取中点,连结、, 在中,、分别为、的中点,且由已知,所以,且,四边形为平行四边形,又平面,且平面,平面(2)为正方形,又平面平面,且平面
9、平面,又平面,平面,在直角梯形中,可得在中,平面,又平面,平面平面21. (本小题满分13分)已知函数.(1)当时,求的单调区间;(2)设函数在点处的切线为,直线轴相交于点Q.若点Q的纵坐标恒小于1,求实数的取值范围.参考答案:22. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分. 某医药研究所开发一种新药,在实验药效时发现:如果成人按规定剂量服用,那么服药后每毫升血液中的含药量(微克)与时间(小时)之间满足,其对应曲线(如图所示)过点.(1)试求药量峰值(的最大值)与达峰时间(取最大值时对应的值);(2)如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效,那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间?(精确到0.01小时)参考答案:将代入函数可得:,当时,当时,当时,有最大值为在上单调增,在上单调减,最大值为在和各有一解当时,解得:当时,解得:当时,为有效时间区间有效的持续时间为:小时略