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1、1。1 菱形的性质与判定一、选择题（本题包括12 个小题。每小题只有1 个选项符合题意)1。 如图 , 在菱形ABCD中，AB=4，B=60，AEBC，AFCD, 垂足分别为E，F，连接EF，则的AEF的面积是（）A。 4 B。 3 C。 2 D。2。 如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EGAD交CD于点G, 过点F作FHAB交BC于点H,EG与FH交于点O当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12 时，AE的值为（）A. 6 。5 B. 6 C. 5。5 D。 53. 如图，BD是菱形ABCD的对角线 ,CEAB交于点E，交BD于点F，
2、且点E是AB中点 , 则tanBFE的值是（）A. B. 2 C。 D. 4. 如图 , 在菱形中 , 对角线AC、BD交于点O,E为AD边中点，菱形ABCD的周长为 28，则OE的长等于 ( )A。 3.5 B. 4 C。 7 D。 145。 如图，在菱形ABCD中，AB=6，ABD=30，则菱形ABCD的面积是（）A。 18 B。 18 C. 36 D。 366. 如图，O是坐标原点 , 菱形OABC的顶点A的坐标为 ( 3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y = （x0）的图象经过顶点B, 则k的值为（）A. -12 B。 -27 C. 32 D。 367. 菱形具有而平行四边形不具有
3、的性质是（）A. 两组对边分别平行 B. 两组对角分别相等C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直8. 某校的校园内有一个由两个相同的正六边形( 边长为 2。5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）A。 20m B。 25m C. 30m D. 35m9. 如图，在菱形ABCD中，ADC=72，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则CPB的度数是（）A. 108 B. 72 C。 90 D。 10010。 菱形的两条对角线长分别为6 和 8，则菱形的面积是（)
4、A. 10 B。 20 C. 24 D。 4811。 在菱形ABCD中, 下列结论错误的是（）A。BO=DOB. DAC=BAC C。ACBD D。AO=DO12。 如图，在菱形ABCD中,P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是（）A. 30 B. 24 C。 18 D. 6二、填空题（本题包括4 个小题）13. 如图，AD是ABC的高，DEAC，DFAB，则ABC满足条件 _时，四边形AEDF是菱形14。 如图, 在ABC中，已知E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DEAC,DFAB，要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是_就
5、可以证明这个多边形是菱形15. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, 且OA=OC，OB=OD请你添加一个适当的条件： _，使四边形ABCD成为菱形16。 如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 _三、解答题（本题包括4 个小题）17。 如图, 已知在ABC中, ACB=90，CE是中线，ACD与ACE关于直线AC对称(1) 求证：四边形ADCE是菱形；（2) 求证：BC=ED18。 如图, ABC与CDE都是等边三角形 , 点E、F分别为AC、
6、BC的中点（1）求证 : 四边形EFCD是菱形 ;(2) 如果AB=8, 求D、F两点间的距离19. 如图，四边形ABCD中，ABCD,AC平分BAD，CEAD交AB于E（1）求证 : 四边形AECD是菱形；(2 ）若点E是AB的中点，试判断ABC的形状，并说明理由20。 如图，由两个等宽的矩形叠合而得到四边形ABCD试判断四边形ABCD的形状并证明答案一、选择题1. 【答案】 B【解析】四边形ABCD 是菱形, BC=CD ，B=D=60 ，AE BC ，AF CD ，BC AE=CD AF ，BAE= DAF=30 , AE=AF ，B=60 ， BAD=120 ，EAF=120 30 -
7、 30=60, AEF 是等边三角形 , AE=EF ，AEF=60 ，AB=4 ，AE=AB sin60 =EF=AE=AM=AE ? sin60 =3，AEF 的面积是 :EF? AM=3=。故选 :B.2. 【答案】 C【解析】根据题意可得四边形AEOF 和四边形 CGOH 为菱形 , 且 OH=EB ，设 AE=x，则 BE=8 x，根据菱形的周长之差为12, 可得两个菱形的边长之差为3, 即 x（ 8x）=3, 解得： x=55考点：菱形的性质3。 【答案】 D【解析】根据菱形的性质, 在菱形 ABCD 中， AB=BC ，E为 AB的中点，因此可知BE=，又由CE AB ，可知 B
8、CA 为直角三角形， BCE=30 , EBC=60 ，再由菱形的对角线平分每一组对角 , 可得EBF=EBC=30 , 因此可求 BFE=60 ，进而可得tanBFE=故选 D考点：菱形的性质，解直角三角形4. 【答案】 A【解析】根据菱形的四条边都相等求出AB ，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD ，然后判断出 OE是ABD的中位线 , 再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可菱形ABCD 的周长为 28，AB=28 4=7， OB=OD ，E 为 AD边中点， OE 是ABD的中位线， OE=AB= 7=3.5故选A点评：本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行
9、于第三边并且等于第三边的一半, 熟记性质与定理是解题的关键5. 【答案】 B【解析】过点A作 AE BC于 E，如图，在菱形ABCD中，AB=6,ABD=30 ，BAE=30 ，AE BC ，AE=，菱形 ABCD 的面积是=，故选 B考点 : 菱形的性质6. 【答案】 C【解析】 A( 3,4 ）, OA=5，四边形OABC 是菱形， AO=CB=OC=AB=5,则点B的横坐标为 35=8，故 B的坐标为： ( 8，4) ，将点 B的坐标代入得， 4=，解得： k=32故选 C7。 【答案】 D【解析】 A、不正确，两组对边分别平行；B、不正确 , 两组对角分别相等, 两者均有此性质正确;C
10、、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质故选D 8。 【答案】 C【解析】如图，花坛是由两个相同的正六边形围成，FGM= GMN=120，GM=GF=EF, BMG=BGM=60， BMG是等边三角形， BG=GM=2.5(m），同理可证：AF=EF=2 。5(m）AB=BG+GF+AF=2.53=7。 5（m ），扩建后菱形区域的周长为7.5 4=30（m ）, 故选 C考点：菱形的性质9。 【答案】 B【解析】如图 , 连接 AP ，在菱形ABCD 中，ADC=72 ， BD为菱形 ABCD 的对角线，ADP= CDP=ADC=36 。AD
11、 的垂直平分线交对角线BD于点 P，垂足为E,PA=PD. DAP= ADP=36 。 APB=DAP+ ADP=72 . 又菱形ABCD 是关于对角线BD对称的, CPB= APB=72 . 故选B。点睛：连接AP ，利用线段垂直平分线的性质和菱形的性质求得APB的度数是解本题的基础,而利用通常容易忽略的“菱形是关于对称轴所在直线对称的”，由轴对称的性质得到CPB= APB 才是解决本题的关键.10。【答案】 C【解析】由菱形的两条对角线的长分别是6 和 8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案菱形的两条对角线的长分别是6 和 8, 这个菱形的面积是：68=24故选C考点：菱形的性
12、质11. 【答案】 D【解析】根据菱形的性质：“菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角”可知: 选项 A、B、C的结论都是正确的，只有选项D的结论不一定成立. 故选 D.12。 【答案】 B【解析】 P，Q分别是 AD,AC的中点， PQ 是ADC的中位线， DC=2PQ=6. 又在菱形ABCD 中,AB=BC=AD=CD，C菱形 ABCD=6+6+6+6=24.故选 B.二、填空题（共5 题）13. 【答案】 AB=AC 或B=C【解析】 DE AC ，DF AB,四边形AEDF是平行四边形 . 所以当四边形AEDF中有一组邻边相等时，它就是菱形了。由此在ABC 中可添加条件：（
13、1）AB=AC或（2)B=C.（ 1) 当添加条件“ AB=AC 时 ,AD是ABC的高，AB=AC, 点D是 BC边的中点，又 DE AC ，DF AB ，点E、F 分别是AB 、AC的中点, AE= AB，AF= AC ，AE=AF ，平行四边形AEDF是菱形 .(2) 当添加条件“B=C时 ,则由B=C 可得 AB=AC,同（ 1) 的方法可证得 :AE=AF，平行四边形AEDF是菱形 .14。 【答案】 AB=AC ，答案不唯一【解析】根据DE AC,DF AB ，可直接判断出四边形AEDF是平行四边形，要使其变为菱形，只要邻边相等即可，从而可以得出条件AE=AF(或 AD平分角 BA
14、C ，等)DE AC ，DF AB,四边形 AEDF是平行四边形，又AE=AF ，四边形AEDF是菱形考点：菱形的判定 .15。 【答案】 AB=AD ，答案不唯一【解析】由已知条件可证四边形ABCD 是平行四边形，而要使平行四边形是菱形，根据菱形的判定方法可添加：（1）四边形 ABCD 中, 有一组邻边相等；(2 ）四边形 ABCD 的对角线互相垂直；因此，本题的答案不唯一, 如可添加 :AB=AD ，证明如下：四边形ABCD 的对角线 AC 、BD相交于点 O,且 OA=OC ，OB=OD 四边形ABCD 是平行四边形。又 AB=AD ，平行四边形ABCD 是菱形。点睛 : 本题方法不唯一
15、，由已知条件可证得四边形ABCD 是平行四边形 , 结合菱形判定方法中的：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线相等的平行四边形是菱形；就可得到本题添加条件的方法有3 种: （1）直接添加四组邻边中的任意一组相等；（2) 直接添加对角线 AC BD ；（ 3) 在题中添加能够证明（1）或（ 2）的其它条件 .16。 【答案】菱形【解析】分别以A和 B 为圆心 , 大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，AC=AD=BD=BC,四边形ADBC 是菱形故答案为：菱形三、解答题 ( 共 5 题)17. 【答案】 (1) 证明见解析； (2 ）证明见解析 .【解析】（ 1）由 ABC中， ACB
16、=90 ,CE 是中线 , 可证得 :CE=AE，再由 ACD与 ACE关于直线 AC对称，可得AD=AE=CE=CD,从而可得四边形ADCE 是菱形；（ 2）由 (1 ）可得 DC BE ，DC=AE=BE ，从而可证得：四边形BCDE 是平行四边形，就可得到：BC=DE.（1）证明： C=90 ，点E 为 AB的中点， EA=EC 。ACD与ACE关于直线 AC对称ACD ACE,EA=EC=DA=DC，四边形 ADCE 是菱形；（2)四边形ADCE 是菱形 ,CD AE 且 CD=AE ，AE=EB, CD EB 且 CD=EB四边形 BCDE 为平行四边形，DE=BC 18. 【答案】（ 1）证明见解析；（2)【解析】（ 1）由ABC是等边三角形，点E、F 分别为 AC 、BC的中点可证得：EF=EC=FC ；由DEC是等边三角形可得:DE=DC=EC, 从而可得 EF=FC=CD=DE，由此可得：四边形EFCD 是菱形；（ 2）连接 DF交 AC于点 G，由已知易证EF=EC=4 ，再由菱形的对角线互相垂直平分，可得 EG=2 ，再由勾股定理可得：FG=，从而可得DF=.解：
