《专题07 最值类问题-备战2022年高考数学压轴题之解析几何真题模拟题分类汇编（全国通用）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题07 最值类问题-备战2022年高考数学压轴题之解析几何真题模拟题分类汇编（全国通用）（解析版）（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题07 最值类问题1（2021乙卷）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为4（1）求；（2）若点在上，为的两条切线，是切点，求面积的最大值【答案】（1）（2）见解析【详解】（1）点到圆上的点的距离的最小值为，解得；（2）由（1）知，抛物线的方程为，即，则，设切点，则易得，从而得到，设，联立抛物线方程，消去并整理可得，即，且，又点在圆上，故，代入得，而，当时，2（2021麒麟区校级模拟）已知椭圆的短轴端点与抛物线的交点重合，椭圆的离心率为（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）设是抛物线准线上的一个动点，过作抛物线的切线，为切点（）求证：直线经过一个顶点；（）若直线与椭圆交于，两点，椭圆的下
2、顶点为，求面积的最大值【答案】（1）椭圆方程为，抛物线方程为（2）见解析【详解】（1）由椭圆的离心率，由，则，所以，由抛物线的焦点为，则，则，所以椭圆方程为，抛物线方程为；（2）（）证明：抛物线的准线为，设，则，由，求导，则，所以的方程为，将代入可得的方程：，过点，代入得，由过点，同理可得，则直线，故直线恒过定点；（）由题意得直线斜率存在且不为0，设直线，代入椭圆，得，所以或，则，即有，当时，取得最大值，所以，面积的最大值2，此时直线的斜率，的方程为3（2021辽宁模拟）已知抛物线，椭圆，若抛物线过点，抛物线与椭圆有共同的焦点，且椭圆的离心率（）求椭圆与抛物线的方程；（）直线的方程为，若不经过
3、点的直线与抛物线交于，分别在轴两侧），与直线交于点，与椭圆交于点，设，的斜率分别为，若（）证明：直线恒过定点；（）点关于轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【答案】（1）椭圆的方程为，抛物线的方程为（2）见解析【详解】（）解：设椭圆的半焦距为，因为抛物线与椭圆有共同的焦点，则且，因为椭圆的离心率为，解得，所以，故椭圆的方程为，抛物线的方程为；（）证明：当直线的斜率时，不符合题意；当直线的存在且不为0时，设直线，令，可得，则点，设，联立，可得，则，所以，直线的斜率，同理可得直线的斜率为，直线的斜率为，因为，所以，即，整理可得，所以或，当时，与，在轴
4、两侧矛盾；当时，直线的方程为，即直线恒过定点；解：设，设直线的方程为，代入椭圆的方程可得，则，且，则直线的方程为，令，可得，所以过定点，故的面积为，当且仅当时等号成立，所以的面积存在最大值，最大值为4（2021赤峰模拟）已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，离心率为，过左焦点的直线交于，两点，过右焦点的直线交于，两点，且点，位于轴上方，当直线的倾斜角为时，恰有（1）求椭圆的方程；（2）若直线，的斜率之积为，求四边形面积的最大值【答案】（1）（2）四边形的面积最大最大值【详解】（1）设椭圆的方程为，则，因为当直线的倾斜角为时，恰有所以此时直线的方程为，代入椭圆的方程，解得，所以，所以，又因为，解得
5、，所以椭圆的方程为（2）设直线的方程为，代入，得，设，则，设直线的斜率为，由（1）中的结论可得，其中，设直线，的倾斜角为，夹角，则或，其，所以四边形的面积，因为，所以，则，当且仅当，即时，四边形的面积最大最大值5（2021香坊区校级模拟）如图，为坐标原点，点为抛物线的焦点，且抛物线上点处的切线与圆相切于点（1）当直线的方程为时，求抛物线的方程；（2）当正数变化时，记，分别为，的面积，求的最小值【答案】（1）（2）【详解】（1）设点，由，可得，因为直线的斜率为1，所以，且，解得，所以抛物线方程；（2）因为点处的切线方程为，即，又切线与圆相切，则圆心到切线的距离化简得，联立方程组，解得，所以，点到
6、切线的距离所以，由，可得，即，所以，当且仅当时等号成立，即，此时，所以的最小值为，所以的最小值为6（2021江西模拟）已知抛物线上一点，到其焦点的距离为2（1）求抛物线的方程；（2）如图，过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为，且直线与轴交于点设直线，与轴的交点分别为，求四边形面积的最小值【答案】（1）（2）【详解】由,得,所以抛物线的方程为设,由可得在处的切线方程为,整理可得,同理在处的切线方程为,又因为两切线都过,即可得直线的方程为,所以直线过点，即,又,四边形的面积,联立,可得,所以(当时取等号），四边形面积的最小值为7（2021龙岩模拟）已知，曲线由曲线和曲线组成，其中曲线的右焦点
7、为，曲线的左焦点（1）求，的值；（2）若直线过点交曲线于点，求面积的最大值【答案】（1）,4（2）【详解】解（1）由题意可得,解得,所以,的值分别为,4；由（1）可得椭圆的方程：,双曲线的方程为,设过的直线方程为,设,联立整理可得,可得所以,且,可得弦长,到直线的距离为,所以,令,所以,当且仅当：,即时取等号；所以面积的最大值为8（2021海宁市模拟）抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上一点，过的直线交抛物线于，两点，直线、分别交准线于、当，点恰好与原点重合时，的面积为4（1）求抛物线的方程；（2）记，点的横坐标与中点的横坐标相等，若，求的最小值【答案】（1）（2）8【详解】（1）由题意可知，当
8、且点恰好与原点重合，的面积为4，所以，即，解得，所以抛物线的方程为；（2）由题意，可设为，设，联立方程，可得，则，所以，则，因为点的横坐标与中点的横坐标相等，所以，则，若点在第一象限，则，所以点到的距离为，则，由上面可知，直线的方程为：，直线的方程为：，令，则，所以，所以所以，可得，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为89（2021浙江模拟）如图，已知抛物线，点，为抛物线上一点，过点的圆与轴相切于点，且与抛物线在点处有相同切线，过点的直线交抛物线于点，直线，的斜率分别为，满足（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；（2）求点到直线的距离的最小值【答案】（1）焦点坐标，准线方程（2）见解析【详解】（
9、1）抛物线，即，焦点坐标，准线方程；（2）已知，则点处的切线方程：，依题意得：，化简得：由得：，设，则由得：，即，所以，由得，所以，直线，则，关于单调递增，所以，当时，此时，直线与抛物线相交10（2021浙江二模）如图，点在轴正半轴上，抛物线上有三个不同的点，使得四边形是菱形，点在第四象限（）若点与坐标原点重合，求菱形的面积；（）求的最小值【答案】（1）（2）的最小值为【详解】（）设，若点与坐标原点重合，可得，由，可得，由菱形的四条边相等，可得，所以，所以，所以四边形的面积为；（）设，由，可得，即，且，又，则，所以，由，可得，因为，所以，由，解得，当时，函数递减；当时，函数递增，所以函数在处取
10、得最小值即的最小值为11（2021郊区校级三模）曲线上动点到和到的斜率之积为（1）求曲线的轨迹方程；（2）若点，为直线上任意一点，交椭圆于，两点，求四边形面积的最大值【答案】（1）（2）【详解】（1）设点，因为曲线上动点到和到的斜率之积为，所以，化简得所以曲线的轨迹方程为：（2）设，（不妨设，则直线的方程为，即，代入椭圆的方程可得：，化简得，所以或，所以，同理可得，所以，令，其中，则，令，在，上单调递减，所以最大值为所以四边形面积的最大值12（2021浙江模拟）如图，已知椭圆，抛物线，且，的公共弦过的上焦点（）若，求直线的斜率；（）若为抛物线的顶点，求面积的最大值【答案】（1）见解析（2）见解
11、析【详解】设，直线方程，联立 得，则，由 可知，联立 式解得联立 得，则，因为是公共弦，所以由， 可得：，又，故，令，则，记，故，所以，即 面积的最大值为13（2021郑州三模）已知抛物线和圆，过抛物线上一点，作圆的两条切线，分别与轴交于、两点（）若切线与抛物线也相切，求直线的斜率；（）若，求面积的最小值【答案】（1）（2）2【详解】（）设切线的方程为，代入抛物线方程得，由相切条件可得，即，由直线与圆相切，可得，即，解得或（舍去），则，即；（）设切线方程为，即，圆心到直线的距离，整理得设、的斜率分别为，则，令，得，令，则，则在，上单调递增，（2）即的最小值为214（2021江苏模拟）已知圆与抛
12、物线相交于点，且在四边形中，（1）若，求实数的值；（2）设与相交于点，与组成蝶形的面积为，求点的坐标及的最大值【答案】（1）（2），取最大值为3【详解】（1）依据圆与抛物线的对称性，四边形是以轴为对称轴的等腰梯形，不妨设，在第一象限，则，联立，得上述方程有互异两正根，则，解得由，得，即；（2）由对称性，点在轴上，可设，由，得，则，即当且仅当，即时，取最大值为315（2021云南模拟）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线经过抛物线的焦点（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线相交于、两点，过、两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点求面积的最小值【答案】（1）（2）9【详解】（
13、1）设抛物线的方程为，直线经过抛物线的焦点，得，抛物线的方程为，（2）设，由得，则，由，得，则，抛物线经过点的切线方程是，同理抛物线经过点的切线方程是，解方程组，得，到直线的距离，面积，即当时，面积的最小值是916（2021河南模拟）已知椭圆的右焦点为，离心率为，经过且垂直于轴的直线交于第一象限的点，为坐标原点，且（）求椭圆的方程；（）设不经过原点且斜率为的直线交椭圆于，两点，关于原点对称的点分别是，试判断四边形的面积有没有最大值若有，请求出最大值；若没有，请说明理由【答案】（1）（2）4【详解】（）由题意知，即，由，可得，联立，解得，则点，则，联立，解得，所以椭圆的方程为（）设直线的方程为，联立，得，所以，解得，则，则，原点到直线的距离为，显然四边形是平行四边形，所以，当且仅当，即时，取等号，所以四边形的面积存在最大
